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Das gleichschenklige Dreieck ABC ist die Grundfläche der Pyramide ABCS.

Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Basis [BC]. Die Pyramidenspitze S ist Eckpunkt des Dreiecks AMS, das senkrecht auf der Grundfläche ABC steht.

Es gilt: AM=6cm\overline{AM}=6cm ; BC=9cm\overline{BC}=9cm ;

AS=8cm\overline{AS}=8cm ; MAS=120°\measuredangle MAS=120° .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

  1. Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCS, wobei [AM]\left[AM\right] auf der Schrägbildachse und der Punkt A links vom Punkt M liegen soll.

    Für die Zeichnung gilt: q=12q=\frac{1}{2}; ω=45°\omega=45°.

    Zeichnen Sie die Höhe [SF] der Pyramide ABCS ein und berechnen Sie sodann deren Volumen.

  2. Punkte PnP_n auf [AS] bilden zusammen mit den Punkten B und C Dreiecke PnBCP_nBC. Die Winkel PnMAP_nMA haben das Maß φ\varphi mit φ\varphi\in ]0°;34,72°0°;34{,}72°[ .

    Zeichnen Sie das Dreieck P1BCP_1BC für φ=20°\varphi=20° in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.

  3. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [MPn]\left[MP_n\right] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

    MPn(φ)=5,20sin(120°+φ)cm\overline{MP_n}\left(\varphi\right)=\dfrac{5{,}20}{\sin\left(120°+\varphi\right)}cm .

  4. Unter den Dreiecken PnBCP_nBC gibt es das gleichseitige Dreieck PnBCP_nBC .

    Bestimmen Sie rechnerisch das zugehörige Winkelmaß φ\varphi.

  5. Berechnen Sie das Volumen V der Pyramiden ABCPnABCP_n mit der Grundfläche ABC und den Spitzen PnP_n in Abhängigkeit von φ\varphi .

    [\Big[Ergebnis : V(φ)=46,80sinφsin(120°+φ)cm3V\left(\varphi\right)=\dfrac{46{,}80\cdot\sin\varphi}{\sin\left(120°+\varphi\right)}cm^3]\Big]

  6. Die Pyramide SBCP3SBCP_3 mit der Grundfläche SBC und der Spitze P3P_3 hat dasselbe Volumen wie die Pyramide ABCP3ABCP_3 . Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß φ\varphi.