Nachtermin Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y = {1,5}^{x + 1} - 2$ ( $𝔾 = ℝ \times ℝ$ ). Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion $f_{1}$ und geben Sie die Gleichung der Asymptote an.
  Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{1}$ für $x \in [- 6; 4]$ in ein Koordinatensystem.
  Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; $- 6 ≦ x ≦ 6; - 3 ≦ y ≦ 6$
2. Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k = - 0,5$ sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array})$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet.
  Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Funktion $f_{2}$ gilt: $y = - \frac{2}{9} \cdot {1,5}^{x} + 2$ ( $𝔾 = ℝ \times ℝ$ ).
  Zeichnen Sie sodann den Graphen der Funktion $f_{2}$ für $x \in [- 6; 6]$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe (a) ein.
3. Punkte $A_{x}$ ( $x$ | ${1,5}^{x + 1} - 2$ ) auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte $B_{n}$ ( x| $- \frac{2}{9} \cdot {1,5}^{x} + 2$ ) auf dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse x und sind für x < 2,08 zusammen mit Punkten $C_{n}$ die Eckpunkte von gleichschenkligen Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ mit den Basen $[A_{n} B_{n}]$ . Für die Höhen $[C_{n} M_{n}]$ der Dreiecke $A_{n} B_{n} C_{n}$ gilt: $C_{n} M_{n} = 3 L E$ .
  Zeichnen Sie das Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = - 2,5$ und das Dreieck $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 1$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe (a) ein.
4. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $[A_{n} B_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte A gilt: $A_{n} B_{n} (x) = (- 1,72 \cdot {1,5}^{x} + 4) L E$ .
5. Unter den Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ gibt es das gleichseitige Dreieck $A_{3} B_{3} C_{3}$ . Bestimmen Sie durch Rechnung die x–Koordinate des Punktes $A_{3}$ .
6. Begründen Sie, dass es unter den Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ kein gleichschenklig- rechtwinkliges Dreieck gibt.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Das gleichschenklige Dreieck ABC ist die Grundfläche der Pyramide ABCS.
Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Basis [BC]. Die Pyramidenspitze S ist Eckpunkt des Dreiecks AMS, das senkrecht auf der Grundfläche ABC steht.
Es gilt: $A M = 6 c m$ ; $B C = 9 c m$ ;
$A S = 8 c m$ ; $∡ M A S = 120 °$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCS, wobei $[A M]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt A links vom Punkt M liegen soll.
  Für die Zeichnung gilt: $q = \frac{1}{2}$ ; $ω = 45 °$ .
  Zeichnen Sie die Höhe [SF] der Pyramide ABCS ein und berechnen Sie sodann deren Volumen.
2. Punkte $P_{n}$ auf [AS] bilden zusammen mit den Punkten B und C Dreiecke $P_{n} B C$ . Die Winkel $P_{n} M A$ haben das Maß $φ$ mit $φ \in$ ] $0 °; 34,72 °$ [ .
  Zeichnen Sie das Dreieck $P_{1} B C$ für $φ = 20 °$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.
3. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[M P_{n}]$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt:
  $M P_{n} (φ) = \frac{5,20}{\sin (120 ° + φ)} c m$ .
4. Unter den Dreiecken $P_{n} B C$ gibt es das gleichseitige Dreieck $P_{n} B C$ .
  Bestimmen Sie rechnerisch das zugehörige Winkelmaß $φ$ .
5. Berechnen Sie das Volumen V der Pyramiden $A B C P_{n}$ mit der Grundfläche ABC und den Spitzen $P_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ .
  $[$ Ergebnis : $V (φ) = \frac{46,80 \cdot \sin φ}{\sin (120 ° + φ)} c m^{3}$ $]$
6. Die Pyramide $S B C P_{3}$ mit der Grundfläche SBC und der Spitze $P_{3}$ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide $A B C P_{3}$ . Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß $φ$ .

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