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Nachtermin Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f1f_1 mit der Gleichung y=1,5x+12y=1{,}5^{x+1}-2 (G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R} ). Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion f1f_1 und geben Sie die Gleichung der Asymptote an.

      Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f1f_1 für x[6;4]x\in\left[-6;4\right] in ein Koordinatensystem.

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; 6x6;3y6-6\leqq x \leqq 6; -3\leqq y\leqq 6

    2. Der Graph der Funktion f1f_1 wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab k=0,5k=-0{,}5 sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor v=(31){\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}} auf den Graphen der Funktion f2f_2 abgebildet.

      Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Funktion f2f_2 gilt: y=291,5x+2y=-\frac{2}{9}\cdot1{,}5^x+2 (G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).

      Zeichnen Sie sodann den Graphen der Funktion f2f_2 für x[6;6]x\in [-6; 6] in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe (a) ein.

    3. Punkte AxA_x( xx| 1,5x+121{,}5^{x+1}-2) auf dem Graphen zu f1f_1 und Punkte BnB_n( x| 291,5x+2-\frac{2}{9}\cdot1{,}5^x+2 ) auf dem Graphen zu f2f_2 haben dieselbe Abszisse x und sind für x < 2,08 zusammen mit Punkten CnC_n die Eckpunkte von gleichschenkligen Dreiecken AnBnCnA_nB_nC_n mit den Basen [AnBn]\left[A_nB_n\right]. Für die Höhen [CnMn]\left[C_nM_n\right] der Dreiecke AnBnCnA_nB_nC_n gilt: CnMn=3 LE\overline{C_nM_n}=3\ LE.

      Zeichnen Sie das Dreieck A1B1C1A_1B_1C_1 für x=2,5x=-2{,}5 und das Dreieck A2B2C2A_2B_2C_2 für x=1x=1 in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe (a) ein.

    4. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken [AnBn]\left[A_nB_n\right] in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte A gilt: AnBn(x)=(1,721,5x+4)LE\overline{A_nB_n}\left(x\right)=\left(-1{,}72\cdot1{,}5^x+4\right)LE.

    5. Unter den Dreiecken AnBnCnA_nB_nC_n gibt es das gleichseitige Dreieck A3B3C3A_3B_3C_3 . Bestimmen Sie durch Rechnung die x–Koordinate des Punktes A3A_3.

    6. Begründen Sie, dass es unter den Dreiecken AnBnCnA_nB_nC_n kein gleichschenklig- rechtwinkliges Dreieck gibt.

  2. 2
    Bild

    Das gleichschenklige Dreieck ABC ist die Grundfläche der Pyramide ABCS.

    Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Basis [BC]. Die Pyramidenspitze S ist Eckpunkt des Dreiecks AMS, das senkrecht auf der Grundfläche ABC steht.

    Es gilt: AM=6cm\overline{AM}=6cm ; BC=9cm\overline{BC}=9cm ;

    AS=8cm\overline{AS}=8cm ; MAS=120°\measuredangle MAS=120° .

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCS, wobei [AM]\left[AM\right] auf der Schrägbildachse und der Punkt A links vom Punkt M liegen soll.

      Für die Zeichnung gilt: q=12q=\frac{1}{2}; ω=45°\omega=45°.

      Zeichnen Sie die Höhe [SF] der Pyramide ABCS ein und berechnen Sie sodann deren Volumen.

    2. Punkte PnP_n auf [AS] bilden zusammen mit den Punkten B und C Dreiecke PnBCP_nBC. Die Winkel PnMAP_nMA haben das Maß φ\varphi mit φ\varphi\in ]0°;34,72°0°;34{,}72°[ .

      Zeichnen Sie das Dreieck P1BCP_1BC für φ=20°\varphi=20° in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.

    3. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [MPn]\left[MP_n\right] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

      MPn(φ)=5,20sin(120°+φ)cm\overline{MP_n}\left(\varphi\right)=\dfrac{5{,}20}{\sin\left(120°+\varphi\right)}cm .

    4. Unter den Dreiecken PnBCP_nBC gibt es das gleichseitige Dreieck PnBCP_nBC .

      Bestimmen Sie rechnerisch das zugehörige Winkelmaß φ\varphi.

    5. Berechnen Sie das Volumen V der Pyramiden ABCPnABCP_n mit der Grundfläche ABC und den Spitzen PnP_n in Abhängigkeit von φ\varphi .

      [\Big[Ergebnis : V(φ)=46,80sinφsin(120°+φ)cm3V\left(\varphi\right)=\dfrac{46{,}80\cdot\sin\varphi}{\sin\left(120°+\varphi\right)}cm^3]\Big]

    6. Die Pyramide SBCP3SBCP_3 mit der Grundfläche SBC und der Spitze P3P_3 hat dasselbe Volumen wie die Pyramide ABCP3ABCP_3 . Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß φ\varphi.


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