Durch Umstellen der Gleichung erhältst du $\overline{MS}={\displaystyle \frac{\overline{AM}}{\tan \left(\phi \right)}}$. Nun kannst du die Werte für $\overline{AM}$ und $\phi$ einsetzen. Die Lösung ist dann:

Die Strecke $\overline{MS}$ hat also die Länge $\mathrm{73,2}\text{cm}$.

Nun kannst du noch die Länge von $\overline{HC}$ berechnen, dazu verwendest du den 2.Strahlensatz für V-Figuren.

Mit dem Strahlensatz gilt nämlich:

$\overline{HO}$ ist halb so lang wie $\overline{HC}$ und den Wert von $\overline{HO}$ kannst du bestimmen, indem du die Gleichung danach auflöst:

Durch das Umstellen der Gleichung erhältst du $\overline{HO}={\displaystyle \frac{\overline{AM}\cdot \overline{OS}}{\overline{MS}}}$.

Den Wert $\overline{AM}=21\text{cm}$ kennst du bereits aus der Angabe, $\overline{MS}=\mathrm{73,2}\text{cm}$ hast du gerade berechnet. Jetzt fehlt dir nur noch der Wert für $\overline{OS}$, dafür kannst du die Strecke $\overline{MS}$ in zwei Teilstücke aufteilen: $\overline{MS}=\overline{OS}+\overline{MO}$.

Die Strecke $\overline{MO}$ ist $5\text{cm}$ kürzer als $\overline{MN}$ (wegen $\overline{NO}=\overline{FG}=5\text{cm}$), also gilt: $\overline{MO}=40\text{cm}$, damit hast du also auch $\overline{OS}=\mathrm{73,2}\text{cm}-40\text{cm}=\mathrm{33,2}\text{cm}$.

Zum Schluss kannst du jetzt die Werte einsetzen und erhältst:

Wenn du diesen Wert noch mit $2$ multiplizierst hast du das Ergebnis $\overline{HC}=2\cdot \overline{HO}=19\text{cm}.$

Das Volumen $V$des Rotationskörpers setzt sich zusammen aus dem Volumen $V_K$ des Kegelstumpfs, der durch Rotation des Trapezes $ABCH$ entsteht, und dem Volumen $V_Z$ des Zylinders, der durch Rotation des Rechtecks $GDEF$ entsteht.

Zylinder

Der Radius des Zylinders ist $\overline{GO}=21\text{cm}$ und seine Höhe beträgt $\overline{FG}=5\text{cm}$. Damit kannst du sein Volumen berechnen:

$V_{\text{Zylinder}}=\pi \cdot r^2\cdot h=\pi \cdot (21\text{cm}{)}^2\cdot 5\text{cm}=\mathrm{6927,2}{\text{cm}}^3$

Kegelstumpf

Um das Volumen des Kegelstumpfs zu berechnen, kannst du das Volumen $V_{\text{kleiner Kegel}}$ des kleinen Kegels (Rotation von $HCS$) vom Volumen $V_{\text{gesamter Kegel}}$ des gesamten Kegels (Rotation von $ABS$) abziehen.

Der kleine Kegel hat den Radius $\overline{HO}=\mathrm{9,5}\text{cm}$ und die Höhe $\overline{OS}=\mathrm{33,2}\text{cm}$.

Der gesamte Kegel hat den Radius $\overline{AM}=21\text{cm}$ und die Höhe $\overline{MS}=\mathrm{73,2}\text{cm}$.

Durchs Einsetzen der Werte erhältst du:

$\begin{array}{lll}{V}_K& =& V_{\text{gesamter Kegel}}-V_{\text{kleiner Kegel}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \cdot {\left(21\text{cm}\right)}^2\cdot \mathrm{73,2}\text{cm}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \cdot {\left(\mathrm{9,5}\text{cm}\right)}^2\cdot \mathrm{33,2}\text{cm}\\ & & \\ & =& \mathrm{33804,8}{\text{cm}}^3-\mathrm{3137,7}{\text{cm}}^3=\mathrm{30667,1}{\text{cm}}^3\end{array}$

Rotationskörper

Das Volumen des Rotationskörpers erhältst du jetzt, wenn du die beiden gerade berechneten Volumina addierst:

$V=V_K+V_Z=\mathrm{30667,1}{\text{cm}}^3+\mathrm{6927,2}{\text{cm}}^3=\mathrm{37594,3}{\text{cm}}^3.$