Teil B - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y = - 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5 (𝔾 = ℝ \times ℝ)$ .

Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch orthogonale Affinität mit der $x$ -Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k = - 0,5$ sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1,5 \end{array})$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{2}$ die Gleichung
$y = \log_{0,5} x - 0,75$ mit $𝔾 = ℝ$ $\times$ $ℝ$ hat.

Die Gleichung von $f_{1}$ wird zunächst mit Hilfe der orthogonalen Affinität zur $x$ -Achse mit dem Affinitätsfaktor $k = - 0,5$ abgebildet:
$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 0,5 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} x \\ - 0,5 \cdot (- 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5) \end{array}) \\ (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{c} x \\ \log_{0,5} x + 0,75 \end{array}) \end{array}$
Im zweiten Schritt wird die Funktion $f^{'}$ parallel um den Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1,5 \end{array})$ verschoben:
$\begin{array}{l} \begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} x^{''} \\ y^{''} \end{array}) & = & (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x^{'} \\ \log_{0,5} x^{'} + 0,75 \end{array}) + (\begin{array}{c} v_{x} \\ v_{y} \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x^{'} \\ \log_{0,5} x^{'} + 0,75 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ - 1,5 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} x^{'} + 0 \\ \log_{0,5} x^{'} + 0,75 - 1,5 \end{array}) \\ (\begin{array}{c} x^{''} \\ y^{''} \end{array}) & = & (\begin{array}{c} x^{'} \\ \log_{0,5} x^{'} - 0,75 \end{array}) \end{array} \end{array}$
Daraus ergibt sich nun $f_{2} : y = \log_{0,5} x - 0,75$ .
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Zeichnen Sie die Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$ für $x \in [0,5; 11]$ in ein Koordinatensystem. Berechnen Sie sodann die Nullstelle der Funktion $f_{1}$ .
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1$ cm; $- 1 \leq x \leq 12; - 5 \leq y \leq 6$ .

Hinweis: die Zeichnung der Graphen der Funktionen ist nur im Bereich $x \in [0,5; 11]$ nötig.
Berechnung der Nullstellen der Funktion $f_{1}$ :
$\begin{array}{rcc} - 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5 & = & 0 \\ - 2 \cdot \log_{0,5} x & = & 1,5 \\ \log_{0,5} x & = & - 0,75 \\ x & = & {0,5}^{- 0,75} \\ x & \approx & 1,68 \end{array} 𝕃 = {1,68}$
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Punkte $A_{n} (x | - 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5$ ) auf dem Graphen zu $f_{1}$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $B_{n} (x | \log_{0,5} x - 0,75)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ . Sie sind für $x > 1,19$ zusammen mit Punkten $C_{n}$ Eckpunkte von Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ .
Es gilt: $\vec{A_{n} C_{n}} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1,5 \end{array})$ .
Zeichnen Sie das Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 2$ und das Dreieck $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 7$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe b) ein.

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Das Dreieck $A_{3} B_{3} C_{3}$ ist gleichschenklig mit der Basis $[A_{3} B_{3}]$ . Bestimmen Sie rechnerisch die $x$ -Koordinate des Punktes $A_{3}$ .

Das Dreieck $A_{3} B_{3} C_{3}$ soll gleichschenklig sein. Daher müssen einerseits die beiden Schenkel $A_{3} C_{3}$ und $B_{3} C_{3}$ des Dreiecks gleich lang sein. Dies bringt uns hier allerdings nicht weiter. Andererseits benötigen wir ja nur die $x$ -Koordinate das Punktes $A_{3}$ .
Da $x_{C_{n}}$ wegen $\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1,5 \end{array})$ immer $- 1,5$ $LE$ unter $x_{A_{n}}$ liegt, muss für den Abstand $A_{3}$ und $B_{3}$ im gleichschenkligen Dreieck
$A_{3} B_{3} = 2 \cdot 1,5 LE = 3 LE$
gelten.
Die Länge der Strecke $A_{n} B_{n} (x)$ berechnet sich durch Subtraktion der Funktionsgleichungen $f_{1} - f_{2}$ :
$\begin{array}{rcl} A_{n} B_{n} (x) & = & [- 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5 - (\log_{0,5} x - 0,75)] LE \\ = & [- 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5 - \log_{0,5} x + 0,75] LE \\ = & [- 3 \cdot \log_{0,5} x - 0,75] LE \end{array}$
Nun soll die Länge $A_{n} B_{n} (x) = 3$ sein:
$\begin{array}{rcl} - 3 \cdot \log_{0,5} x - 0,75 & = & 3 \\ - 3 \cdot \log_{0,5} x & = & 3,75 \\ \log_{0,5} x & = & - 1,25 \\ x & = & {0,5}^{- 1,25} \\ x & \approx & 2,38 \end{array}$
Damit gilt für $x_{A_{3}} = 2,38$ .
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Berechnen Sie die Koordinaten der Schwerpunkte $S_{n}$ der Dreiecke $A_{n} B_{n} C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ und geben Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $S_{n}$ an.
Zeichnen Sie sodann die Schwerpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ der Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe b) ein.

Zur Berechnung des Schwerpunkts im Dreieck mithilfe der Koordinaten seiner Eckpunkte gibt es eine Formel:
$S (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} | \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}) .$
Die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ erhältst du durch die Berechnung:
$\vec{O C_{n}} = \vec{A_{n} C_{n}} + \vec{O A_{n}}$
und damit
$\begin{array}{rcl} \vec{O C_{n}} & = & (\begin{array}{c} x \\ - 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5 \end{array}) + (\begin{array}{c} 4 \\ - 1,5 \end{array}) \\ \vec{O C_{n}} & = & (\begin{array}{c} x + 4 \\ - 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5 - 1,5 \end{array}) \\ \vec{O C_{n}} & = & (\begin{array}{c} x + 4 \\ - 2 \cdot \log_{0,5} x - 3 \end{array}) \\ C_{n} (x + 4 | - 2 \cdot \log_{0,5} x - 3) \end{array}$
Daraufhin setzt du die Punktkoordinaten in die Schwerpunktformel ein:
$\begin{aligned} S_{n} (\frac{x + x + x + 4}{3} | \frac{- 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5 + \log_{0,5} x - 0,75 - 2 \cdot \log_{0,5} x - 3}{3}) \\ \Rightarrow & S_{n} (\frac{3 x + 4}{3} | \frac{- 3 \cdot \log_{0,5} x - 5,25}{3}) \\ \Rightarrow & S_{n} (x + 1,33 | - \log_{0,5} x - 1,75) . \end{aligned}$
Den Trägergraphen des Schwerpunkts $S_{n}$ erhältst du folgendermaßen:
$\begin{array}{rrcl} (I) & x_{S_{n}} & = & x + 1,33 \\ (II) & \land y_{S_{n}} & = & - \log_{0,5} x - 1,75 \\ (I’) & x_{S_{n}} - 1,33 & = & x \\ (I’ in II): & y_{S_{n}} & = & - \log_{0,5} (x_{S_{n}} - 1,33) - 1,75. \end{array}$
Damit gilt für den Trägergraphen von $S_{n}$ :
$y = - \log_{0,5} (x - 1,33) - 1,75$
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

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