Teil B - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die Funktion $f_1$ mit der Gleichung $y=-2\cdot\log_{0{,}5}x-1{,}5~~(\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R})$ .

Der Graph der Funktion $f_1$ wird durch orthogonale Affinität mit der $x$ -Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k=-0{,}5$ sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} 0\\ -1{,}5\end{pmatrix}$ auf den Graphen der Funktion $f_2$ abgebildet. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_2$ die Gleichung
$y=\log_{0{,}5}x-0{,}75$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}$ $\times$ $\mathbb{R}$ hat.

Die Gleichung von $f_1$ wird zunächst mit Hilfe der orthogonalen Affinität zur $x$ -Achse mit dem Affinitätsfaktor $k=-0{,}5$ abgebildet:
Im zweiten Schritt wird die Funktion $f'$ parallel um den Vektor $\vec v=\begin{pmatrix} 0\\ -1{,}5\end{pmatrix}$ verschoben:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} x''\\ y''\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x' \\ \log_{0{,}5}x'+0{,}75 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} v_x\\ v_y\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x' \\ \log_{0{,}5}x'+0{,}75 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\ -1{,}5\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix} x'+0 \\ \log_{0{,}5}x'+0{,}75-1{,}5 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x''\\ y''\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} x' \\ \log_{0{,}5}x'-0{,}75\end{pmatrix} \end{array}\\$
Daraus ergibt sich nun $f_2:y=\log_{0{,}5}x-0{,}75$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Zeichnen Sie die Graphen zu $f_1$ und $f_2$ für $x\in\ [0{,}5;11]$ in ein Koordinatensystem. Berechnen Sie sodann die Nullstelle der Funktion $f_1$ .
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1$ cm; $-1\leq x\leq12; -5\leq y\leq6$ .

Hinweis: die Zeichnung der Graphen der Funktionen ist nur im Bereich $x \in [0{,}5;11]$ nötig.
Berechnung der Nullstellen der Funktion $f_1$ :
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Punkte $A_n(x|-2\cdot\log_{0{,}5}x-1{,}5$ ) auf dem Graphen zu $f_1$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $B_n(x|\log_{0{,}5}x-0{,}75)$ auf dem Graphen zu $f_2$ . Sie sind für $x \gt 1{,}19$ zusammen mit Punkten $C_n$ Eckpunkte von Dreiecken $A_nB_nC_n$ .
Es gilt: $\overrightarrow{A_nC_n}=\begin{pmatrix} 4 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}$ .
Zeichnen Sie das Dreieck $A_1B_1C_1$ für $x=2$ und das Dreieck $A_2B_2C_2$ für $x=7$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe b) ein.

Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Das Dreieck $A_3B_3C_3$ ist gleichschenklig mit der Basis $[A_3B_3]$ . Bestimmen Sie rechnerisch die $x$ -Koordinate des Punktes $A_3$ .

Das Dreieck $A_3B_3C_3$ soll gleichschenklig sein. Daher müssen einerseits die beiden Schenkel $\overline {A_3C_3}$ und $\overline {B_3C_3}$ des Dreiecks gleich lang sein. Dies bringt uns hier allerdings nicht weiter. Andererseits benötigen wir ja nur die $x$ -Koordinate das Punktes $A_3$ .
Da $x_{C_n}$ wegen $\vec v=\begin{pmatrix} 0\\ -1{,}5\end{pmatrix}$ immer $-1{,}5$ $\text{LE}$ unter $x_{A_n}$ liegt, muss für den Abstand $A_3$ und $B_3$ im gleichschenkligen Dreieck
gelten.
Die Länge der Strecke $\overline{A_nB_n}(x)$ berechnet sich durch Subtraktion der Funktionsgleichungen $f_1-f_2$ :
Nun soll die Länge $\overline{A_nB_n}(x)=3$ sein:
Damit gilt für $x_{A_3}=2{,}38$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Berechnen Sie die Koordinaten der Schwerpunkte $S_n$ der Dreiecke $A_nB_nC_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ und geben Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $S_n$ an.
Zeichnen Sie sodann die Schwerpunkte $S_1$ und $S_2$ der Dreiecke $A_1B_1C_1$ und $A_2B_2C_2$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe b) ein.

Zur Berechnung des Schwerpunkts im Dreieck mithilfe der Koordinaten seiner Eckpunkte gibt es eine Formel:
Die Koordinaten der Punkte $C_n$ erhältst du durch die Berechnung:
und damit
Daraufhin setzt du die Punktkoordinaten in die Schwerpunktformel ein:
Den Trägergraphen des Schwerpunkts $S_n$ erhältst du folgendermaßen:
Damit gilt für den Trägergraphen von $S_n$ :
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?