Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y = - 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5 (𝔾 = ℝ \times ℝ)$ .
Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch orthogonale Affinität mit der $x$ -Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k = - 0,5$ sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1,5 \end{array})$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{2}$ die Gleichung
  $y = \log_{0,5} x - 0,75$ mit $𝔾 = ℝ$ $\times$ $ℝ$ hat.
  
  Die Gleichung von $f_{1}$ wird zunächst mit Hilfe der orthogonalen Affinität zur $x$ -Achse mit dem Affinitätsfaktor $k = - 0,5$ abgebildet:
  $\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 0,5 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} x \\ - 0,5 \cdot (- 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5) \end{array}) \\ (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{c} x \\ \log_{0,5} x + 0,75 \end{array}) \end{array}$
  Im zweiten Schritt wird die Funktion $f^{'}$ parallel um den Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1,5 \end{array})$ verschoben:
  $\begin{array}{l} \begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} x^{''} \\ y^{''} \end{array}) & = & (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x^{'} \\ \log_{0,5} x^{'} + 0,75 \end{array}) + (\begin{array}{c} v_{x} \\ v_{y} \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x^{'} \\ \log_{0,5} x^{'} + 0,75 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ - 1,5 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} x^{'} + 0 \\ \log_{0,5} x^{'} + 0,75 - 1,5 \end{array}) \\ (\begin{array}{c} x^{''} \\ y^{''} \end{array}) & = & (\begin{array}{c} x^{'} \\ \log_{0,5} x^{'} - 0,75 \end{array}) \end{array} \end{array}$
  Daraus ergibt sich nun $f_{2} : y = \log_{0,5} x - 0,75$ .
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2. Zeichnen Sie die Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$ für $x \in [0,5; 11]$ in ein Koordinatensystem. Berechnen Sie sodann die Nullstelle der Funktion $f_{1}$ .
  Für die Zeichnung: Längeneinheit $1$ cm; $- 1 \leq x \leq 12; - 5 \leq y \leq 6$ .
  
  Hinweis: die Zeichnung der Graphen der Funktionen ist nur im Bereich $x \in [0,5; 11]$ nötig.
  Berechnung der Nullstellen der Funktion $f_{1}$ :
  $\begin{array}{rcc} - 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5 & = & 0 \\ - 2 \cdot \log_{0,5} x & = & 1,5 \\ \log_{0,5} x & = & - 0,75 \\ x & = & {0,5}^{- 0,75} \\ x & \approx & 1,68 \end{array} 𝕃 = {1,68}$
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3. Punkte $A_{n} (x | - 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5$ ) auf dem Graphen zu $f_{1}$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $B_{n} (x | \log_{0,5} x - 0,75)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ . Sie sind für $x > 1,19$ zusammen mit Punkten $C_{n}$ Eckpunkte von Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ .
  Es gilt: $\vec{A_{n} C_{n}} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1,5 \end{array})$ .
  Zeichnen Sie das Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 2$ und das Dreieck $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 7$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe b) ein.
  
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4. Das Dreieck $A_{3} B_{3} C_{3}$ ist gleichschenklig mit der Basis $[A_{3} B_{3}]$ . Bestimmen Sie rechnerisch die $x$ -Koordinate des Punktes $A_{3}$ .
  
  Das Dreieck $A_{3} B_{3} C_{3}$ soll gleichschenklig sein. Daher müssen einerseits die beiden Schenkel $A_{3} C_{3}$ und $B_{3} C_{3}$ des Dreiecks gleich lang sein. Dies bringt uns hier allerdings nicht weiter. Andererseits benötigen wir ja nur die $x$ -Koordinate das Punktes $A_{3}$ .
  Da $x_{C_{n}}$ wegen $\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1,5 \end{array})$ immer $- 1,5$ $LE$ unter $x_{A_{n}}$ liegt, muss für den Abstand $A_{3}$ und $B_{3}$ im gleichschenkligen Dreieck
  $A_{3} B_{3} = 2 \cdot 1,5 LE = 3 LE$
  gelten.
  Die Länge der Strecke $A_{n} B_{n} (x)$ berechnet sich durch Subtraktion der Funktionsgleichungen $f_{1} - f_{2}$ :
  $\begin{array}{rcl} A_{n} B_{n} (x) & = & [- 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5 - (\log_{0,5} x - 0,75)] LE \\ = & [- 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5 - \log_{0,5} x + 0,75] LE \\ = & [- 3 \cdot \log_{0,5} x - 0,75] LE \end{array}$
  Nun soll die Länge $A_{n} B_{n} (x) = 3$ sein:
  $\begin{array}{rcl} - 3 \cdot \log_{0,5} x - 0,75 & = & 3 \\ - 3 \cdot \log_{0,5} x & = & 3,75 \\ \log_{0,5} x & = & - 1,25 \\ x & = & {0,5}^{- 1,25} \\ x & \approx & 2,38 \end{array}$
  Damit gilt für $x_{A_{3}} = 2,38$ .
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5. Berechnen Sie die Koordinaten der Schwerpunkte $S_{n}$ der Dreiecke $A_{n} B_{n} C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ und geben Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $S_{n}$ an.
  Zeichnen Sie sodann die Schwerpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ der Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe b) ein.
  
  Zur Berechnung des Schwerpunkts im Dreieck mithilfe der Koordinaten seiner Eckpunkte gibt es eine Formel:
  $S (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} | \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}) .$
  Die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ erhältst du durch die Berechnung:
  $\vec{O C_{n}} = \vec{A_{n} C_{n}} + \vec{O A_{n}}$
  und damit
  $\begin{array}{rcl} \vec{O C_{n}} & = & (\begin{array}{c} x \\ - 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5 \end{array}) + (\begin{array}{c} 4 \\ - 1,5 \end{array}) \\ \vec{O C_{n}} & = & (\begin{array}{c} x + 4 \\ - 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5 - 1,5 \end{array}) \\ \vec{O C_{n}} & = & (\begin{array}{c} x + 4 \\ - 2 \cdot \log_{0,5} x - 3 \end{array}) \\ C_{n} (x + 4 | - 2 \cdot \log_{0,5} x - 3) \end{array}$
  Daraufhin setzt du die Punktkoordinaten in die Schwerpunktformel ein:
  $\begin{aligned} S_{n} (\frac{x + x + x + 4}{3} | \frac{- 2 \cdot \log_{0,5} x - 1,5 + \log_{0,5} x - 0,75 - 2 \cdot \log_{0,5} x - 3}{3}) \\ \Rightarrow & S_{n} (\frac{3 x + 4}{3} | \frac{- 3 \cdot \log_{0,5} x - 5,25}{3}) \\ \Rightarrow & S_{n} (x + 1,33 | - \log_{0,5} x - 1,75) . \end{aligned}$
  Den Trägergraphen des Schwerpunkts $S_{n}$ erhältst du folgendermaßen:
  $\begin{array}{rrcl} (I) & x_{S_{n}} & = & x + 1,33 \\ (II) & \land y_{S_{n}} & = & - \log_{0,5} x - 1,75 \\ (I’) & x_{S_{n}} - 1,33 & = & x \\ (I’ in II): & y_{S_{n}} & = & - \log_{0,5} (x_{S_{n}} - 1,33) - 1,75. \end{array}$
  Damit gilt für den Trägergraphen von $S_{n}$ :
  $y = - \log_{0,5} (x - 1,33) - 1,75$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Punkte $A (- 2 | 2)$ und $C (3 | 3)$ sind für $x < 8$ gemeinsame Eckpunkte von Vierecken $A B_{n} C D_{n}$ . Die Eckpunkte $B_{n} (x | 0,5 x)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y = 0,5 x; (𝔾 = ℝ$ $\times$ $ℝ)$ . Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Diagonalen $[A C]$ .
Für die Diagonalen $[B_{n} D_{n}]$ gilt: $M \in [B_{n} D_{n}]$ und $\vec{B_{n} D_{n}} = 3,5 \cdot \vec{B_{n} M}$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie die Gerade $g$ und das Viereck $A B_{1} C D_{1}$ für $x = 0,5$ sowie die Diagonalen $[A C]$ und $[B_{1} D_{1}]$ in ein Koordinatensystem.
  Für die Zeichnung: Längeneinheit $1$ cm; $- 5 \leq x \leq 5; - 2 \leq y \leq 10$
  
  Für $x = 0,5$ ergibt sich der Punkt $B_{1} (0,5 | 0,25)$ . Um den Punkt $D_{1}$ zu bestimmen, betrachten wir die angegebene Gleichung $\vec{B_{n} D_{n}} = 3,5 \cdot \vec{B_{n} M}$ . Aus dieser wollen wir den Punkt $D_{1}$ bestimmen. Dazu berechnen wir zunächst die Koordinaten von $M$ . Dieser Punkt ist der Mittelpunkt der Diagonalen $[A C]$ . Seine Koordinaten berechnen sich zu:
  $x_{M} = \frac{- 2 + 3}{2} = \frac{1}{2}, y_{M} = \frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2},$
  sodass wir finden: $M (0,5 | 2,5)$ .
  Damit kannst du nun die Koordinaten von $D_{1}$ berechnen. Es gilt
  $\vec{O D_{1}} - \vec{O B_{1}} = 3,5 \cdot (\vec{O M} - \vec{O B_{1}})$
  beziehungsweise äquivalent
  $\vec{O D_{1}} = 3,5 \cdot (\vec{O M} - \vec{O B_{1}}) + \vec{O B_{1}},$
  also
  $\vec{O D_{1}} = 3,5 \cdot ((\begin{array}{c} 0,5 \\ 2,5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0,5 \\ 0,25 \end{array})) + (\begin{array}{c} 0,5 \\ 0,25 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0,5 \\ 8,125 \end{array}) .$
  Also ist $D_{1} (0,5 | 8,125)$ .
  Bemerkung: Diese Aufgabe ist ein schönes Beispiel dafür, dass es sich manchmal lohnen kann, die Aufgabenstellung erst vollständig zu lesen. Die Berechnung von $D_{1}$ ist zwar für die Skizze notwendig, aber in Teilaufgabe a) gar nicht explizit verlangt. Selbstverständlich kann man die Koordinaten wie oben gezeigt ausrechnen, wer jedoch Teilaufgabe b) gelesen hat, kann auch einfach das dort angegebene Ergebnis nutzen und $x = 0,5$ einsetzen und erhält so direkt die Koordinaten von $D_{1}$ .
  Mit diesen Ergebnissen lässt sich die Skizze bereits anfertigen und sollte bei dir so aussehen.
  Wie man Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnet, kannst du hier nochmal nachlesen.
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2. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte $D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ .
  [Ergebnis: $D_{n} (- 2,5 x + 1,75 | - 1,25 x + 8,75)$ ]
  
  Hier kannst du genau wie in Teilaufgabe a) vorgehen, nur dass du dieses Mal ein wenig allgemeiner rechnen musst.
  Die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ bleiben gleich, da sich die Punkte $A$ und $C$ nicht ändern und damit auch nicht ihre Diagonale. Es ist also nach wie vor $M (0,5 | 2,5)$ .
  Damit kannst du nun die Koordinaten von $D_{n}$ berechnen. Es gilt
  $\vec{O D_{n}} - \vec{O B_{n}} = 3,5 \cdot (\vec{O M} - \vec{O B_{n}})$
  beziehungsweise äquivalent
  $\vec{O D_{n}} = 3,5 \cdot (\vec{O M} - \vec{O B_{n}}) + \vec{O B_{n}},$
  also
  $\vec{O D_{n}} = 3,5 \cdot ((\begin{array}{c} 0,5 \\ 2,5 \end{array}) - (\begin{array}{c} x \\ 0,5 x \end{array})) + (\begin{array}{c} x \\ 0,5 x \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2,5 x + 1,75 \\ - 1,25 x + 8,75 \end{array}) .$
  Also ist $D_{n} (- 2,5 x + 1,75 | - 1,25 x + 8,75)$ .
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3. Bestimmen Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $D_{n}$ .
  
  Aus der letzten Teilaufgabe weißt du, dass $D_{n} (- 2,5 x + 1,75 | - 1,25 x + 8,75)$ gilt.
  Das bedeutet ganz konkret
  $x_{D_{n}} = - 2,5 x + 1,75$
  und
  $y_{D_{n}} = - 1,25 x + 8,75.$
  Löst du die Gleichung der $x$ -Koordinate $x_{D_{n}}$ nach der Variablen $x$ auf, ergibt sich
  $\frac{x_{D_{n}} - 1,75}{- 2,5} = x .$
  Einsetzen von $x$ in die Gleichung für $y_{D_{n}}$ liefert schließlich
  $y_{D_{n}} = - 1,25 \cdot (\frac{x_{D_{n}} - 1,75}{- 2,5}) + 8,75 = 0,5 \cdot x_{D_{n}} + 7,88.$
  Die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $D_{n}$ lautet also
  $y = 0,5 x + 7,88.$
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4. Unter den Vierecken $A B_{n} C D_{n}$ gibt es das Drachenviereck $A B_{2} C D_{2}$ .
  Zeigen Sie rechnerisch, dass für die $x$ -Koordinate des Punktes $B_{2}$ gilt: $x = 0,91$ .
  Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Drachenvierecks $A B_{2} C D_{2}$ .
  
  Für diese Teilaufgabe musst du dich an eine besondere Eigenschaft von Drachenvierecken erinnern. In einem Drachenviereck stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander oder mit anderen Worten: sie bilden einen rechten Winkel. Aus dieser Eigenschaft ist es möglich, folgende Bedingung ableiten:
  $\vec{B_{n} M} \circ \vec{A C} = 0.$
  Die in dieser Gleichung vorkommenden Vektoren kannst du genauer angeben:
  $\vec{A C} = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 - (- 2) \\ 3 - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array})$
  und
  $\vec{B_{n} M} = (\begin{array}{c} 0,5 \\ 2,5 \end{array}) - (\begin{array}{c} x \\ 0,5 x \end{array}) = (\begin{array}{c} 0,5 - x \\ 2,5 - 0,5 x \end{array}) .$
  Berechnest du nun das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren und setzt das Ergebnis wie in der ersten Gleichung gefordert gleich null, so erhältst du
  $(0,5 - x) \cdot 5 + (2,5 - 0,5 x) \cdot 1 = 0.$
  Hier kannst du den ersten Summanden ausmultiplizieren und die Terme mit $x$ und die Terme ohne $x$ zusammenfassen. Es bleibt stehen:
  $2,5 - 5 x + 2,5 - 0,5 x = 5 - 5,5 x = 0.$
  Also muss $5 - 5,5 x = 0$ erfüllt sein. Stellst du diese Gleichung nach $x$ um, so erhältst du
  $x = \frac{5}{5,5} = 0,91.$
  $𝕃 = {0,91}$
  Im zweiten Teil dieser Teilaufgabe soll nun noch der Flächeninhalt des Drachenvierecks $A B_{2} C D_{2}$ berechnet werden.
  Hierfür kann einfach die Flächeninhaltsformel für ein Drachenviereck verwendet werden. Sie lautet in unserem Fall unter Ausnutzung von $B_{n} D_{n} = 3,5 \cdot B_{n} M$ :
  $A_{A B_{2} C D_{2}} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B_{2} D_{2} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot 3,5 \cdot B_{2} M .$
  Um konkrete Zahlenwerte in die Formel einsetzen zu können, musst du nun die in der Formel vorkommenden Seitenlängen berechnen. Es gilt
  $A C = \sqrt{5^{2} + 1^{2}} = \sqrt{26} = 5,10 LE$
  und
  $B_{2} M = \sqrt{(0,5 - 0,91)^{2} + (2,5 - 0,5 \cdot 0,91)^{2}} = \sqrt{4,35} = 2,09 LE .$
  Der Flächeninhalt berechnet sich also zu:
  $A_{A B_{2} C D_{2}} = \frac{1}{2} \cdot 5,10 LE \cdot 3,5 \cdot 2,09 LE = 18,65 FE .$
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5. Der Punkt $C^{'}$ entsteht durch Achsenspiegelung des Punktes $C$ an der Geraden $g$ . Für das Viereck $A B_{3} C D_{3}$ gilt: $B_{3} \in [A C^{'}]$ .
  Berechnen Sie die Koordinaten von $C^{'}$ und zeichnen Sie sodann das Viereck $A B_{3} C D_{3}$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.
  
  Die Gerade $g$ beschreibt eine Ursprungsgerade, die zur $x$ -Achse den Winkel $φ = \tan^{- 1} (0,5) = 26,57 °$ einschließt.
  Die Koordinaten des Punktes $C^{'} (x^{'} | y^{'})$ berechnen sich somit mithilfe der Spiegelungsmatrix für Spiegelungen an Ursprungsgeraden zu
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (2 \cdot 26,57 °) & \sin (2 \cdot 26,57 °) \\ \sin (2 \cdot 26,57 °) & - \cos (2 \cdot 26,57 °) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4,2 \\ 0,6 \end{array})$
  $C^{'} (4,2 | 0,6)$
  Zeichnen wir den so berechneten Punkt $C^{'}$ und das Viereck $A B_{3} C D_{3}$ in die Skizze aus Teilaufgabe a) ein, so ergibt sich folgende erweiterte Skizze. Der Punkt $B_{3}$ ergibt sich dabei als Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Verbindungsstrecke der Punkte $A$ und $C^{'}$ . Der Punkt $D_{3}$ ergibt sich über die in der Aufgabenstellung angegebene Beziehung $\vec{B_{n} D_{n}} = 3,5 \cdot \vec{B_{n} M}$ .
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6. Begründen Sie, dass für die Flächeninhalte der Dreiecke $A M D_{n}$ und $M B_{n} C$ gilt:
  $A_{A M D_{n}} : A_{M B_{n} C} = 2,5 : 1.$
  
  Um diese Teilaufgabe zu lösen, musst du die Flächeninhalte der angegebenen Dreiecke berechnen. Dabei solltest du beachten, dass es sich hier nicht um rechtwinklige Dreiecke handelt und wir daher die allgemeine Flächeninhaltsformel für Dreiecke verwenden müssen.
  Der Flächeninhalt der Dreiecke $M B_{n} C$ berechnet sich zu
  $A_{M B_{n} C} = \frac{1}{2} \cdot M C \cdot M B_{n} \cdot \sin (∠ B_{n} M C),$
  während sich der Flächeninhalt der Dreiecke $A M D_{n}$ berechnen lässt, zu
  $A_{A M D_{n}} = \frac{1}{2} \cdot \underset{M C}{\underset{⏟}{A M}} \cdot \underset{(3,5 - 1) \cdot M B_{n}}{\underset{⏟}{M D_{n}}} \cdot \underset{\sin (∠ B_{n} M C)}{\underset{⏟}{\sin (∠ D_{n} M A)}} .$
  Also berechnet sich das Verhältnis gerade zu
  $\frac{A_{A M D_{n}}}{A_{M B_{n} C}} = \frac{2,5}{1} .$
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