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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f1f_1 mit der Gleichung y=2log0,5x1,5  (G=R×R)y=-2\cdot\log_{0{,}5}x-1{,}5~~(\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}).

    Der Graph der Funktion f1f_1 wird durch orthogonale Affinität mit der xx-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab k=0,5k=-0{,}5 sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor v=(01,5)\vec{v}=\begin{pmatrix} 0\\ -1{,}5\end{pmatrix} auf den Graphen der Funktion f2f_2 abgebildet. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion f2f_2 die Gleichung

      y=log0,5x0,75y=\log_{0{,}5}x-0{,}75 mit G=R\mathbb{G}=\mathbb{R} ×\times R\mathbb{R} hat.

    2. Zeichnen Sie die Graphen zu f1f_1 und f2f_2 für x [0,5;11]x\in\ [0{,}5;11] in ein Koordinatensystem. Berechnen Sie sodann die Nullstelle der Funktion f1f_1.

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 11 cm; 1x12;5y6-1\leq x\leq12; -5\leq y\leq6.

    3. Punkte An(x2log0,5x1,5A_n(x|-2\cdot\log_{0{,}5}x-1{,}5) auf dem Graphen zu f1f_1 haben dieselbe Abszisse xx wie Punkte Bn(xlog0,5x0,75)B_n(x|\log_{0{,}5}x-0{,}75) auf dem Graphen zu f2f_2. Sie sind für x>1,19x \gt 1{,}19 zusammen mit Punkten CnC_n Eckpunkte von Dreiecken AnBnCnA_nB_nC_n .

      Es gilt: AnCn=(41,5)\overrightarrow{A_nC_n}=\begin{pmatrix} 4 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}.

      Zeichnen Sie das Dreieck A1B1C1A_1B_1C_1 für x=2x=2 und das Dreieck A2B2C2A_2B_2C_2 für x=7x=7 in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe b) ein.

    4. Das Dreieck A3B3C3A_3B_3C_3 ist gleichschenklig mit der Basis [A3B3][A_3B_3]. Bestimmen Sie rechnerisch die xx-Koordinate des Punktes A3A_3.

    5. Berechnen Sie die Koordinaten der Schwerpunkte SnS_n der Dreiecke AnBnCnA_nB_nC_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n und geben Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte SnS_n an.

      Zeichnen Sie sodann die Schwerpunkte S1S_1 und S2S_2 der Dreiecke A1B1C1A_1B_1C_1 und A2B2C2A_2B_2C_2 in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe b) ein.

  2. 2

    Die Punkte A(22)A(-2|2) und C(33)C(3|3) sind für x<8x<8 gemeinsame Eckpunkte von Vierecken ABnCDnAB_nCD_n. Die Eckpunkte Bn(x0,5x)B_n(x|0{,}5x) liegen auf der Geraden gg mit der Gleichung y=0,5x;(G=Ry=0{,}5x; (\mathbb{G}=\mathbb{R} ×\times R) \mathbb{R}). Der Punkt MM ist der Mittelpunkt der Diagonalen [AC][AC].

    Für die Diagonalen [BnDn][B_nD_n] gilt: M[BnDn]M\in[B_nD_n] und BnDn=3,5BnM\overrightarrow{B_nD_n}=3{,}5\cdot\overrightarrow{B_nM}.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeichnen Sie die Gerade gg und das Viereck AB1CD1AB_1CD_1 für x=0,5x=0{,}5 sowie die Diagonalen [AC][AC] und [B1D1][B_1D_1] in ein Koordinatensystem.

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 11 cm; 5x5;2y10-5 \leq x \leq 5; -2 \leq y \leq 10

    2. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte DnD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte BnB_n.

      [Ergebnis: Dn(2,5x+1,751,25x+8,75)D_n(-2{,}5x+1{,}75|-1{,}25x+8{,}75)]

    3. Bestimmen Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte DnD_n.

    4. Unter den Vierecken ABnCDnAB_nCD_n gibt es das Drachenviereck AB2CD2AB_2CD_2.

      Zeigen Sie rechnerisch, dass für die xx-Koordinate des Punktes B2B_2 gilt: x=0,91x=0{,}91.

      Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Drachenvierecks AB2CD2AB_2CD_2.

    5. Der Punkt CC' entsteht durch Achsenspiegelung des Punktes CC an der Geraden gg. Für das Viereck AB3CD3AB_3CD_3 gilt: B3[AC]B_3 \in [AC'].

      Berechnen Sie die Koordinaten von CC' und zeichnen Sie sodann das Viereck AB3CD3AB_3CD_3 in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.

    6. Begründen Sie, dass für die Flächeninhalte der Dreiecke AMDnAMD_n und MBnCMB_nC gilt:


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