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Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS mit der Höhe [MS][MS], deren Grundfläche die Raute ABCDABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt MM ist.

Es gilt: AC=13  cm;BD=12  cm;MS=12  cm\overline {AC}= 13\; \textrm{cm};\overline{ BD}= 12\;\textrm{cm} ;\overline {MS}= 12 \;\textrm{cm}. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

  1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS, wobei die Strecke [AC][AC] auf der Schrägbildachse und der Punkt A A links vom Punkt CC liegen soll. Für die Zeichnung gilt: q=12;ω=45°q=\frac{1}{2} ;\omega =45°. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [CS][CS] und das Maß des Winkels SCASCA. [[Teilergebnis: CS=13,65  cm\overline{CS}=13{,}65\;\textrm{cm}]]

  2. Punkte HnH_n liegen auf der Strecke [AM][AM] mit AHn(x)=xcm  (xR;0<x<6,5)\overline{AH_n} \,(\textrm{x})=\textrm{x}\,\textrm{cm}\;(\textrm{x}\in\mathbb{R};0< \textrm{x}<6{,}5). Sie sind Mittelpunkte von Strecken [PnQn][P_nQ_n] mit Pn[AB],Qn[AD]P_n \in [AB], Q_n\in [AD] und [PnQn][BD][P_nQ_n]\parallel[BD]. Punkte RnR_n sind Spitzen von Pyramiden APnCQnRnAP_nCQ_nR_n mit den Grundflächen APnCQnAP_nCQ_nund den Höhen [HnRn][H_nR_n], wobei gilt: CRn=CS\overline {CR_n}=\overline{CS}.

    Zeichnen Sie die Pyramide AP1CQ1R1AP_1CQ_1R_1 und die zugehörige Höhe [H1R1][H_1R_1] für x=3\textrm{x}=3 in das Schrägbild zur Teilaufgabe a) ein.

  3. Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen V1V_1 der Pyramide APnCQnRnAP_nCQ_nR_n gilt:

    V1=111,51  cm3V_1= 111{,}51\;\textrm{cm}^3.

    Bestimmen Sie sodann den prozentualen Anteil des Volumens V1V_1 am Volumen VVder Pyramide ABCDSABCDS.

  4. In der Pyramide AP2CQ2R2AP_2CQ_2R_2 gilt: H2R2=6  cm\overline{H_2R_2}=6\;\textrm{cm}.

    Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für x\textrm{x}.

  5. Zeigen Sie, dass für die Höhen [HnRn][H_nR_n] der Pyramiden APnCQnRnAP_nCQ_nR_n in Abhängigkeit von x\textrm{x} gilt: HnRn(x)=-x2+26x+17,32cm\overline{H_nR_n}\, (\textrm{x})=\sqrt{\textrm{-x}^2+26\textrm{x}+17{,}32}\, \textrm{cm}.

  6. Begründen Sie, weshalb es unter den Pyramiden APnCQnRnAP_nCQ_nR_n keine Pyramide AP3CQ3R3AP_3CQ_3R_3mit R3CA=15°\measuredangle{R_3CA}=15° gibt.