Teil A - lernen mit Serlo!

Aufgabe A1

Punkte $B_{n}$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y = - 2 x + 6$ $(x, y \in \mathbb{R})$ .

Die Pfeile $\overrightarrow{AB_n}(x)=\begin{pmatrix}x\\-2x+6\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}-6\\2\end{pmatrix}$ mit $A (0 ∣ 0)$ spannen zusammen mit

Punkten $C_{n}$ für $x < 3,6$ Parallelogramme $A B_{n} C_{n} D$ auf.

In das Koordinatensystem sind die Gerade $g$ sowie das Parallelogramm $A B_{1} C_{1} D$ für

$x = 1,5$ eingezeichnet.

Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Parallelogramm $A B_{1} C_{1} D$ ein Rechteck ist. (2,5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt von Vektoren
Zunächst sammeln wir unser Wissen und setzen es in den Kontext
Damit es sich bei dem Parallelogramm $A B_{n} C_{n} D$ um ein Rechteck handelt, müssen alle Seiten senkrecht aufeinander stehen.
Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren $= 0$ , stehen die beiden senkrecht aufeinander.
Nun berechnen wir die relevanten Vektoren
$\overrightarrow{AB_1}$ : Setze $x = 1,5$ in den allgemeinen Vektor $\overrightarrow{AB_n}$
$\overrightarrow{AB_1}=\begin{pmatrix}1{,}5\\-2\cdot 1{,}5+6\end{pmatrix}=\color{red}\begin{pmatrix}1{,}5\\3\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AD}=\color{green}\begin{pmatrix}-6\\2\end{pmatrix}$
Im nächsten Schritt Berechnen wir das Skalarprodukt aus diesen beiden Vektoren
$\color{red}\begin{pmatrix} 1{,}5\\3 \end{pmatrix}\color{black}\circ\color{green}\begin{pmatrix} -6\\2 \end{pmatrix}\color{black}=1{,}5\cdot (-6)+3\cdot 2=-9+6=\color{blue}-3$
Wir treffen eine Entscheidung
Für das Skalarprodukt gilt: $\overrightarrow{AB_1}\circ\overrightarrow{AD}=\color{blue}-3\color{black}\neq0$ ,
damit stehen die Vektoren nicht senktrecht aufeinander.
Das Parallelogramm $A B_{n} C_{n} D$ ist also kein Rechteck.
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Berechne zunächst den Vektor $\overrightarrow{AB_1}$
Überprüfe, ob $\overrightarrow{AB_1}$ und $\overrightarrow{AD}$ senkrecht aufeinander stehen, indem du das Skalarprodukt berechnest.
Triff nun eine Entscheidung: Was bedeutet es geometrisch, wenn die beiden Vektoren nicht senkrecht aufeinander stehen?

Aufgabe A1

Zunächst sammeln wir unser Wissen und setzen es in den Kontext

Nun berechnen wir die relevanten Vektoren

Im nächsten Schritt Berechnen wir das Skalarprodukt aus diesen beiden Vektoren

Wir treffen eine Entscheidung

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