Teil A

Zunächst sammeln wir unser Wissen und setzen es in den Kontext

• Damit es sich bei dem Parallelogramm $AB_nC_nD$ um ein Rechteck handelt, müssen alle Seiten senkrecht aufeinander stehen.

• Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren $= 0$, stehen die beiden senkrecht aufeinander.

Nun berechnen wir die relevanten Vektoren

• $\overrightarrow{AB_1}$ : Setze $x=1{,}5$ in den allgemeinen Vektor $\overrightarrow{AB_n}$

$\overrightarrow{AB_1}=\begin{pmatrix}1{,}5\\-2\cdot 1{,}5+6\end{pmatrix}=\color{red}\begin{pmatrix}1{,}5\\3\end{pmatrix}$

• $\overrightarrow{AD}=\color{green}\begin{pmatrix}-6\\2\end{pmatrix}$

Im nächsten Schritt Berechnen wir das Skalarprodukt aus diesen beiden Vektoren

$\color{red}\begin{pmatrix} 1{,}5\\3 \end{pmatrix}\color{black}\circ\color{green}\begin{pmatrix} -6\\2 \end{pmatrix}\color{black}=1{,}5\cdot (-6)+3\cdot 2=-9+6=\color{blue}-3$

Wir treffen eine Entscheidung

Für das Skalarprodukt gilt: $\overrightarrow{AB_1}\circ\overrightarrow{AD}=\color{blue}-3\color{black}\neq0$,

damit stehen die Vektoren nicht senktrecht aufeinander.

Das Parallelogramm $AB_nC_nD$ ist also kein Rechteck.

Funktion 0 setzen und Gleichung auflösen

Wir lösen so weit wie möglich nach $x$ auf:

Untersuche, wie oft die 2 mit sich selbst multipliziert werden muss

$x=3$, weil $2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$ ist.

$\Rightarrow\mathbb{L}=\{3\}\\$

Grenzwertverhalten der Funktion f

Die Funktion hat also eine waagrecht Asymptote bei $y=-24$

Einzelwahrscheinlichkeiten

• Von 3 Teilen, steht auf 1 Teil die Zahl 15, also: $P(15)=\dfrac{\color{red}1}{\color{lightblue}3}$

• Von 3 Teilen, steht auf 2 Teilen die Zahl 10, also: $P(10)=\dfrac{\color{red}2}{\color{lightblue}3}$

Gesuchte Wahrscheinlichkeit

Dafür stellen wir uns ein Baumdiagramm vor, bei dem wir dreimal den Pfad mit der Zahl 10 Entlanggehen.

Die Wahrscheinlichkeit, eine 10 zu drehen, beträgt $\color{green}\dfrac{2}{3}$

Die Gesamtwahrscheinlichkeit berechnen wir mit der Pfadregel:

Kombinationen, bei denen zweimal die gleiche Zahl gedreht wird

• Christiane zieht $2$ mal die $10$ mit $\color{red}P(10{,}10)=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}$

• Sie zieht $2$ mal die $15$ mit $\color{green}P(15{,}15)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}$

Gesamtwahrscheinlichkeit

Wir berechnen zunächst den Vektor $\overrightarrow{PQ_1}$

Dafür setzen wir $\varphi=0^\circ$ in $\overrightarrow{PQ_n}$ ein:

$\overrightarrow{PQ_1}(0) =\begin{pmatrix}2{,}5+\sin(0)\\3\end{pmatrix}=\color{red} \begin{pmatrix}2{,}5\\3\end{pmatrix}$

Nun berechnen wir die Koordinaten des Punktes $Q_1$

Der Vektor $\overrightarrow{PQ_1}$ ergibt sich aus den Koordinaten des Fußpunktes $\color{green}P(-3|1)$ und den Koordinaten der Spitze $\color{blue}{Q_1(q_{x_1}|q_{y_1})}$.

Nach dem Prinzip "Spitze minus Fuß" gilt:

$\color{red}\begin{pmatrix} 2{,}5\\3 \end{pmatrix}\color{black}=\underbrace{\begin{pmatrix} \color{blue}q_{1x}\color{black}-\color{green}(-3)\\\color{blue}q_{1y}\color{black}-\color{green}1 \end{pmatrix}}_{\text{Spitze - Fuß}}$

Wenn man den Vektor zeilenweise ließt, ergeben sich folgende Terme:

$(1)\quad 2{,}5=q_{1x}-(-3)\Longrightarrow \ q_{1x}=2{,}5-3=-0{,}5\\(2)\quad 3=q_{1y}-1\Longrightarrow \ q_{1y}=3+1=4\\\Longrightarrow Q_1(-0{,}5|4)\\$

Nun kennen wir beide Punkte und müssen diese nur noch in das Koordinatensystem einzeichnen.

Wir setzen $\overrightarrow{PQ_2}$ mit unserem Pfeil gleich:

Für die Berechnung von $\varphi$ ist nur die erste Zeile relevant.

Wir lösen die erste Zeile nach $\varphi$ auf:

$\mathbb{L}=\{30°;150°\}$