geg.: $|\overline {AB}|= 11\:cm;\:|\overline {AD}|= 8\:cm; \: \sphericalangle CBA=65°; \: \sphericalangle ADC=105°; \: \sphericalangle BAD=90°$

ges.: Winkel $DCB$ und Länge der Strecke $|\overline {BD}|$

Ansatz und Rechnung:

Grundwissen: Pythagoras, allgemeine Vierecke, Sinussatz, Kosinussatz, Kreisbogen, Prozentrechnung.

1. Zeichnen des Vierecks ABCD und der Strecke $|\overline {BD}|$

2. Berechnung von $|\overline {BD}|$ mithilfe Pythagoras:

$BD^2=AB^2+AD^2$

$\Rightarrow |\overline {BD}|=\sqrt {AB^2+AD^2}=\sqrt {11^2+8^2 }=\sqrt{121+64}=\sqrt {185}\: cm$

$\bold {\Rightarrow |\overline {BD}|=13{,}60 \:cm}$

3. Berechnung von Winkel $DCB$

$\sphericalangle DCB=360°-\sphericalangle CBA-\sphericalangle ADC -\sphericalangle BAD$

$⇒ \sphericalangle DCB=360°-65°-105° -90°$

$\bold {\Rightarrow \sphericalangle DCB=100°}$

geg.: $|\overline {AB}|= 11\:cm;\:|\overline {AD}|= 8\:cm; \: \sphericalangle CBA=65°; \: \sphericalangle ADC=105°;$

$\: \sphericalangle BAD=90°; \: \sphericalangle DCB=100°;\:\overline {BD}|= 13{,}60\:cm$

ges.: Längen der Strecken $\overline {DC}$ und $\overline {BC}$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der Strecke $\overline {DC}$ mit Sinussatz und Tangens:

Im Dreieck $BCD$ sind bisher nur die Strecke $\overline{BD}$ und der Winkel $\sphericalangle BCD$ bekannt.

Daher muss zunächst eine dritte Größe berechnet werden:

berechne den Winkel $\sphericalangle DBA$ im rechtwinkligen Dreieck $ABD$ und mit dem bekannten Winkel $\sphericalangle ADC$ den Winkel $\sphericalangle BDC$.

$\sphericalangle DBA$ wird berechnet mit $\tan \sphericalangle DBA =\frac{8}{11}\quad \Rightarrow \quad \sphericalangle DBA=36{,}06°$

Somit ist $\sphericalangle CBD=\sphericalangle CBA-\sphericalangle DBA =65°-36{,}03° \Rightarrow \quad \sphericalangle CBD=28{,}97°$

Sinussatz $\displaystyle\frac {\red a}{\sin \red α }=\frac {\blue b}{\sin \blue β }=\frac {\green c}{\sin\green γ}$ angewandt auf Dreieck $BCD$ ergibt:

$\displaystyle\frac {|\overline {DC}|}{\sin \sphericalangle CBD }=\frac {|\overline {BD}|}{sin \sphericalangle DCB}$ $\displaystyle\quad \Rightarrow \frac {|\overline {DC}|}{\sin28{,}97^\circ }=\frac {13{,}60\text{ cm}}{\sin 100^\circ}$

Aufgelöst nach $\overline {DC}$ ergibt das:

$\displaystyle\bold {|\overline {DC}|} =\frac {13{,}60\: cm \cdot \sin(28{,}97^\circ)}{\sin(100^\circ)}=\frac {13{,}60 \cdot 0{,}48435}{0{,}98481}=6{,}6887 \bold {\approx 6{,}69\text{ cm}}$

2. Berechnung der Strecke $\overline {BC}$ mit Kosinussatz:

Zuerst wird der Winkel $\sphericalangle BDC$ mit Hilfe der Winkelsumme im Dreieck bestimmt:

$\sphericalangle BDC=180^\circ-100^\circ-28{,}97^\circ=51{,}03^\circ$

Der Kosinussatz $\red {a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c\cdot \cos\sphericalangle BDC }$ angewandt auf die Strecke $\overline {BC}$ ergibt:

$|\overline {BC}^2|= |\overline {BD}^2|+|\overline {DC}^2|-2\cdot\overline {BD}\cdot \overline {DC} \cdot \cos\sphericalangle BDC$

$\Rightarrow |\overline {BC}|= \sqrt {|\overline {BD}^2|+|\overline {DC}^2|-2\cdot\overline {BD}\cdot \overline {DC} \cdot \cos\sphericalangle BDC}$

$\Rightarrow |\overline {BC}|= \sqrt {13{,}6^2+6{,}69^2-2\cdot 13{,}60 \cdot 6{,}69 \cdot \cos(51{,}03°)}$

$\Rightarrow |\overline {BC}|= \sqrt {184{,}96+44{,}76-181{,}97 \cdot 0{,}62891}$

$\Rightarrow \bold {|\overline {BC}|}= \sqrt {184{,}96+44{,}76-114{,}44}= \sqrt {115{,}28}=10{,}7368 \approx \bold {10{,}74 \: cm}$

Hinweis: Diese Berechnung kannst du auch mit den bekannten Größen $|\overline{BD}|$, $\sphericalangle DCB$ und dem Winkel $\sphericalangle BDC$, den du wie in der Rechnung oben bestimmst und dem Sinussatz durchführen.

geg.: Wertangaben und Rechenergebnisse aus Aufgabe $B 3.a$ und $B 3.b$

ges.: Gesamtfläche $A_{ABCD}$ bestehend aus $\triangle ABD$ und $\triangle BCD$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der Fläche des rechtwinkligen $\triangle ABD$:

$A_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h$ mit $g= |\overline {AB}|=11\: cm$ und $h= |\overline {AD}|=8\: cm$

$\bold {A_{\triangle ABD}}=\frac{1}{2}\cdot 11\: cm \cdot 8 \:cm=\bold {44\:cm^2}$

2. Berechnung der Fläche des allgemeinen $\triangle BCD$ mithilfe des Sinussatzes:

Der Sinussatz mit zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkelmaß lautet:

$\blue {\bold {A=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot sinγ}}$

mit $a=|\overline {BD}|= 13{,}60\:cm;\quad b=|\overline {BC}|= 10{,}74\:cm; \quad \sin\measuredangle CBD=28{,}97°$

$\Rightarrow \bold { A_{\triangle BCD}}=\:\frac{1}{2}\cdot 13{,}6 \cdot 10{,}74 \cdot \sin(28{,}97°)\quad =73{,}032\cdot0{,}48435\quad =\bold {35{,}37\: cm^2}$

3. Berechnung der Gesamtfläche des Vierecks $ABCD$:

$\bold {A_{\square ABCD}}=A_{\triangle ABD}+A_{\triangle BCD}=44+35{,}37=\bold {79{,}37\: cm^3}$

1. Einzeichnen des Kreisbogens $\overset\frown{PQ}$ mit Radius $r=4\: cm$ um Mittelpunkt $C$.

2. Kreisbogen schneidet die Strecke $\overline {DC}$ in Punkt $P$ und die Strecke $\overline {BC}$ in $Q$

geg.: Kreismittelpunkt ist Eckpunkt $C$ des Vierecks $ABCD$; Kreisradius ist $r=4\:cm ≙\overline {CP}≙\overline {CQ}$; Öffnungswinkel des Kreisbogensektors ist $∢ PCQ=100°$

ges.: Kreisbogenlänge $|\overset\frown{PQ}|$ und Strecke $|\overline {PQ}|$ (=Kreissehne)

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der Kreisbogenlänge mithilfe der Kreisbogenformel:

$\bold {{b=\dfrac{\alpha }{360^\circ}\cdot 2\cdot π\cdot r}}\qquad$ mit $\alpha=100^\circ$; $\:π =3{,}14$; $\:r=4\:cm$

$\Rightarrow \bold {\overset\frown{PQ}}=\dfrac{100°}{360°}\cdot 2\cdot 3{,}14\cdot 4\:cm=\bold {6{,}98\text{ cm}}$

2. Berechnung der Strecke $|\overline {PQ}|$ mithilfe des Kosinussatzes:

$\bold { {a^2=b^2+c^2-2 \cdot b\cdot c \cdot \cos α}}$

mit $a= |\overline {PQ}|$; $\quad b=r=|\overline {CP}|= 4\: cm$; $\quad c=r=|\overline {CQ}|= 4\: cm$; $\quad \alpha=100$

$\Rightarrow \bold {|\overline {PQ}|^2}=4^2+4^2-2⋅4⋅4⋅\cos⁡(100°)$

$\Rightarrow \bold {|\overline {PQ}|^2}=16+16 \bold {−}32 ⋅ (\bold{−} 0{,}173648)=32 \bold {+} 5{,}5567= 37{,}5567$

$\Rightarrow \bold {|\overline {PQ}|}=\sqrt {37{,}5567}=6{,}1283 \approx \bold {6{,}13 \: cm}$

3. Berechnung des Umfangs der Figur (bestehend aus Kreisbogen $\overset\frown{PQ}$ und Sehne $|\overline {PQ}|$:

$\bold {U_{Figur}}=|\overset\frown{PQ}|+|\overline {PQ}|=6{,}98\: cm+6{,}13\: cm=\bold {13{,}11\: cm}$

Grundwissen: Kreissektorformel, Sinussatz für Dreiecksfläche, Prozentrechnung

geg.: Öffnungswinkel des Kreissektors ist $∢PCQ = 100°$; $\quad r=4\:cm$;

Kreisbogenlänge $|\overset\frown{PQ}|=6{,}98\: cm$ und Strecke $|\overline {PQ}|=6{,}13\:cm$ (Kreissehne)

ges.: $A_{\text{Figur}}$ und %-Anteil von $A_{\text{Figur}}$ an $A_{ABCD}$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der Fläche des Kreissektors $\bold {∢PCQ}$ mithilfe der Kreissektorformel:

Kreissektor $∢ PCQ ≔$ Teilfläche eines Kreises, die vom Kreisbogen $|\overset\frown{PQ}|$ und den zwei Kreisradien $r$ begrenzt wird:

$\bold { {A_{Kreissektor∢α}=\frac{α}{360°}\cdot π\cdot r^2}}\quad$ mit $r=4\:cm$ und $\alpha =100°$

$\bold {A_{Kreissektor∢α}}=\frac{100°}{360°}\cdot 3{,}14\cdot 4^2=\bold {13{,}95\:cm^2}$

2. Berechnung der Dreiecksfläche von $\triangle PCQ$ mithilfe Sinussatz:

Der Sinussatz mit zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkelmaß $\alpha$ lautet:

$A=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin\alpha \quad$mit $a= b=r=4\: cm$; $\quad \alpha$=100°

$\Rightarrow A_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin(100°)$

$\Rightarrow \bold {A_{\triangle PCQ}}=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 4 \cdot 0{,}98481=\bold {7{,}87\:cm^2}$

3. Berechnung der Figur (=Kreissegment) durch Subtraktion der Flächen:

Kreissektor $∢PCQ$ minus Dreiecksfläche von $\triangle PCQ$:

$\bold {A_{Figur}=A_{Kreissektor ∢\alpha}-A_{\triangle PCQ}}=13{,}95-7{,}87=6{,}08\:cm^2$

4. Berechnung des Prozentanteils der Figur (=Kreissegment $PQ$) an $A_{ABCD}=79{,}37\: cm2$ (gem. Aufgabe B 3.c)

$\displaystyle\frac{A_{Figur}}{A_{ABCD}}=\frac{6{,}08\:cm^2}{79{,}37\:cm^2}=0{,}0766$

$\Rightarrow$ Der $\%-$Anteil der Figur am Flächeninhalt des Vierecks $ABCD$ beträgt $\bold 7{,}66 \:\%$