Der Graph der Funktion $f_2:y=-1{,}5\cdot2^{x-2}+4$ ergibt sich aus dem Graph der Funktion $f_1:y=-1{,}5\cdot2^{x-6}-1$ durch Parallelverschiebung um den Vektor $\vec{v}$.

Variante 1: Verschiebung einer Funktion

Der Graph von $f_1^\ast\:$muss um vier Längeneinheiten in Richtung der negativen x-Achse verschoben werden, um den Graphen von $f_2^\ast\:$zu erhalten.

Wegen des konstanten Gliedes "$-1$" von $f_1$ und des konstanten Gliedes "$+4$" von $f_2$ muss man den Graphen von $f_1$ noch um fünf Längeneinheiten in Richtung der positiven y-Achse verschoben werden, um den Graphen der Funktion $f_2$ zu erhalten.

Also gilt für den Verschiebungsvektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}-4\\5\end{pmatrix}$.

Variante 2: Abbildungsgleichung

Du kannst auch die Abbildungsgleichung der Parallelverschiebung betrachten:

Zunächst setzt man $\color{#ff6600}x'=x+v_x$ in die zweite Gleichung ein. Diese Gleichung muss eine wahre Aussage liefern.

Dies ist nur möglich für $v_x=-4$ und $v_y=5$.

Also gilt für den Verschiebungsvektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}-4\\5\end{pmatrix}$.

Die Punkte $B_n$ und $C_n$ liegen übereinander (gleiche Abszisse $x$). Um nun die Länge der Strecke $[B_nC_n]$ zu berechnen, bildet man die Differenz aus den y-Werten.

Man könnte auch sagen, man subtrahiert die "untere" Funktion von der "oberen":

Die Punkte $B_2$ und $C_2$ besitzen die gleiche Abszisse $x$ und das Dreieck soll rechtwinklig sein.

Daher muss die Strecke $[AC_2]$ parallel zur x-Achse sein. Somit müssen die y-Koordinaten von $A$ und $C_2$ gleich sein: $y_A=1{,}5=y_{C_2}$.

Daraus folgt für $x_{C_2}$ mithilfe des Logarithmus:

Damit ergibt sich für die Länge $\overline{AC_2}$ des Dreiecks:

Für die Länge $\overline{B_2C_2}$ (Höhe des Dreiecks) ergibt sich aus 2.3:

Schließlich ergibt sich für die gesuchte Fläche des Dreiecks $AB_2C_2$: