Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung

$y=-1{,}5\cdot2^{x-6}-1$ ; $\left(\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}\right)$ eingezeichnet.

Durch Parallelverschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v}$ wird der Graph zu $f_{1}$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ mit der Gleichung $y=-1{,}5\cdot2^{x-2}+4$ ; $\left(\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}\right)$ abgebildet.
Zeichnen Sie den Graphen zu $f_{2}$ für $x\in\lbrack-6;\;4\rbrack$ in das Koordinatensystem zur Abbildung der Aufgabenstellung ein. Geben Sie sodann den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
Der Graph der Funktion $f_2:y=-1{,}5\cdot2^{x-2}+4$ ergibt sich aus dem Graph der Funktion $f_1:y=-1{,}5\cdot2^{x-6}-1$ durch Parallelverschiebung um den Vektor $\vec{v}$ .
Variante 1: Verschiebung einer Funktion
Der Graph von $f_1^\ast\:$ muss um vier Längeneinheiten in Richtung der negativen x-Achse verschoben werden, um den Graphen von $f_2^\ast\:$ zu erhalten.
Wegen des konstanten Gliedes " $- 1$ " von $f_{1}$ und des konstanten Gliedes " $+ 4$ " von $f_{2}$ muss man den Graphen von $f_{1}$ noch um fünf Längeneinheiten in Richtung der positiven y-Achse verschoben werden, um den Graphen der Funktion $f_{2}$ zu erhalten.
Also gilt für den Verschiebungsvektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}-4\\5\end{pmatrix}$ .
Variante 2: Abbildungsgleichung
Du kannst auch die Abbildungsgleichung der Parallelverschiebung betrachten:
Zunächst setzt man $\color{#ff6600}x'=x+v_x$ in die zweite Gleichung ein. Diese Gleichung muss eine wahre Aussage liefern.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \color{#ff6600}x'&=&\color{#ff6600}x+v_x \\ \wedge -1{,}5\cdot2^{{\color{#ff6600}x'}-2}+4&=&-1{,}5\cdot2^{x-6}-1+v_y\\ \\ x'&=&x+v_x \\ \wedge -1{,}5\cdot2^{{\color{#ff6600}(x+v_x)}-2}+4&=&-1{,}5\cdot2^{x-6}-1+v_y \end{array}$
Dies ist nur möglich für $v_{x} = - 4$ und $v_{y} = 5$ .
Also gilt für den Verschiebungsvektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}-4\\5\end{pmatrix}$ .
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Punkte $B_n(x|-1{,}5\cdot2^{x-6}-1)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte $C_n(x|-1{,}5\cdot2^{x-2}+4)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind zusammen mit dem Punkt $A (- 5 ∣ 1,5)$ für $- 5 < x < 3,83$ Eckpunkte von Dreiecken $A B_{n} C_{n}$ .
Zeichnen Sie das Dreieck $A B_{1} C_{1}$ für $x = - 1$ in das Koordinatensystem zur Abbildung der Aufgabenstellung ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
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Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[B_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ gilt:
$\overline{B_nC_n}(x)=(-1{,}41\cdot2^{x-2}+5)\ \text{LE}.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
Die Punkte $B_{n}$ und $C_{n}$ liegen übereinander (gleiche Abszisse $x$ ). Um nun die Länge der Strecke $[B_{n} C_{n}]$ zu berechnen, bildet man die Differenz aus den y-Werten.
Man könnte auch sagen, man subtrahiert die "untere" Funktion von der "oberen":
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \overline{B_nC_n}(x)&=& y_{C_n} - y_{B_n}\\ &=&-1{,}5\cdot2^{x-2}+4-(-1{,}5\cdot2^{x-6}-1)\\ &=&-1{,}5\cdot2^{x-2}+4+1{,}5\cdot2^{x-6}+1\\ &=&-1{,}5\cdot2^{x-2}+1{,}5\cdot{\color{#ff6600}2^{x-6}}+5\\ &=&-1{,}5\cdot2^{x-2}+1{,}5\cdot{\color{#ff6600}2^{-4}\cdot2^{x-2}}+5\\ \overline{B_nC_n}(x)&\approx&\left(-1{,}41\cdot2^{x-2}+5\right)\text{LE} \end{array}$
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Das Dreieck $A B_{2} C_{2}$ ist rechtwinklig mit $\sphericalangle AB_2C_2=90^\circ$ .
Zeichnen Sie das Dreieck $A B_{2} C_{2}$ in das Koordinatensystem zur Abbildung der Aufgabenstellung ein und berechnen Sie dessen Flächeninhalt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
Die Punkte $B_{2}$ und $C_{2}$ besitzen die gleiche Abszisse $x$ und das Dreieck soll rechtwinklig sein.
Daher muss die Strecke $[A C_{2}]$ parallel zur x-Achse sein. Somit müssen die y-Koordinaten von $A$ und $C_{2}$ gleich sein: $y_A=1{,}5=y_{C_2}$ .
Daraus folgt für $x_{C_2}$ mithilfe des Logarithmus:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} -1{,}5\cdot2^{x_{C_2}-2}+4&=&1{,}5\\ -1{,}5\cdot2^{x_{C_2}-2}&=&-2{,}5\\ 2^{x_{C_2}-2}&=&\frac5 3\\ x_{C_2}-2&=&\log_2\frac5 3\\ x_{C_2}&=&\log_2\frac5 3 + 2\\ x_{C_2}&\approx&2{,}74 \end{array}$
Damit ergibt sich für die Länge $\overline{AC_2}$ des Dreiecks:
$\displaystyle \overline{AC_2}=x_{C_2}-x_A=2{,}74-(-5)=7{,}74~\text{LE}$
Für die Länge $\overline{B_2C_2}$ (Höhe des Dreiecks) ergibt sich aus 2.3:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \overline{B_2C_2}&=&-1{,}41\cdot2^{2{,}74-2}+5 \\ \overline{B_2C_2}&=&2{,}65~\text{LE} \end{array}$
Schließlich ergibt sich für die gesuchte Fläche des Dreiecks $A B_{2} C_{2}$ :
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} A_{AB_2C_2}&=&0{,}5\cdot7{,}74\cdot2{,}65~\text{FE}\\ A_{AB_2C_2}&=&10{,}26~\text{FE} \end{array}$
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