Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben sind die Trapeze $B_{n} C D E_{n}$ mit den parallelen Seiten $[C D]$ und $[B_{n} E_{n}]$ . Die Winkel $C B_{n} E_{n}$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in\;\rbrack0^\circ;\;90^\circ\lbrack$ .
Kreise $k_{n}$ mit den Mittelpunkten $E_{n}$ haben die Radien $r_{n}$ $=$ $\overline{B_nE_n}$ und schneiden die Halbgeraden $[D E_{n}$ in den Punkten $A_{n}$ .
Die Figuren $A_{n} B_{n} C D$ werden von den Kreisbögen $\stackrel{\frown}{A_nB_n}$ sowie den Strecken $[B_{n} C]$ , $[C D]$ und $[D A_{n}]$ begrenzt.
Es gilt: $\overline{CD}=2{,}5\ \text{cm}$ ; $\overline{B_nC}=4\ \text{cm}$ ; $\sphericalangle E_nDC=90^{\circ}$ . Die Skizze zeigt die Figur $A_{1} B_{1} C D$ für $\varphi=25^\circ$ .
1. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[B_{n} E_{n}]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:
  $\displaystyle \overline{B_nE_n}(\varphi)=(4\cdot\cos\left(\varphi\right)+2{,}5)\ \text{cm}.$
  
  Man zeichnet eine Parallele zur y-Achse durch den Punkt $C$ . Diese Parallele schneidet die Strecke $[E B]$ im Punkt $F$ . Die Strecke $[F B]$ werde mit $x$ bezeichnet. Dann gilt im rechtwinkligen Dreieck $C B F$ :
  $\cos\varphi = \dfrac x 4 \Rightarrow x = 4\cdot \cos \varphi$
  Und dann
  $\overline{BE}(\varphi) = (4 \cdot \cos \varphi + 2{,}5) \;\text{cm}$
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2. Die Figuren $A_{n} B_{n} C D$ rotieren um die Geraden $A_{n} D$ . Bestandteile der entstehenden Rotationskörper sind Halbkugeln. Bei dem Körper, der durch Rotation der Figur $A_{2} B_{2} C D$ entsteht, hat die Halbkugel ein Volumen von $135\ \text{cm}^3$ .
  Bestimmen Sie rechnerisch den Radius $r_{2}$ sowie das zugehörige Maß für $\varphi$ .
  Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
  
  Das Volumen einer Kugel berechnet sich nach der Formel:
  $V= \dfrac 4 3 \cdot \pi \cdot r^3$ .
  $V=270 \;\text{cm}^3$ und somit können wir die Formel nach $r$ auflösen:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array} {rcl} V &=& \dfrac 4 3 \cdot \pi \cdot r^3 \\ 270 \;\text{cm}^3 &=& \dfrac {4} {3} \cdot \pi \cdot r^3 \\ \dfrac {3} {4} \cdot 270\; \text{cm}^3 &=& \pi \cdot r^3\\ \dfrac {3} {4} \cdot \dfrac {1} {\pi} \cdot 270\; \text{cm}^3 &=&r^3 \end{array}$
  $\Rightarrow r = \sqrt[3]{\dfrac 3 4 \cdot \dfrac 1 \pi \cdot 270\; \text{cm}^3} \approx 4{,}01\ \text{cm}$
  Dadurch berechnet sich der Winkel $\varphi$ wie folgt:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array} {rcl} 4{,}01 &=&4\cdot \cos \varphi +2{,}5\\ 4{,}01-2{,}5 &=& 4 \cdot \cos \varphi \\ 1{,}51 &=& 4 \cdot \cos \varphi \\ \dfrac {1{,}51} {4} &=& \cos \varphi \\ 0{,}3775 &=& \cos \varphi \end{array}$
  $\Rightarrow \varphi \approx 67{,}82\degree$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung
$y=-1{,}5\cdot2^{x-6}-1$ ; $\left(\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}\right)$ eingezeichnet.
1. Durch Parallelverschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v}$ wird der Graph zu $f_{1}$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ mit der Gleichung $y=-1{,}5\cdot2^{x-2}+4$ ; $\left(\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}\right)$ abgebildet.
  Zeichnen Sie den Graphen zu $f_{2}$ für $x\in\lbrack-6;\;4\rbrack$ in das Koordinatensystem zur Abbildung der Aufgabenstellung ein. Geben Sie sodann den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}$ an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
  Der Graph der Funktion $f_2:y=-1{,}5\cdot2^{x-2}+4$ ergibt sich aus dem Graph der Funktion $f_1:y=-1{,}5\cdot2^{x-6}-1$ durch Parallelverschiebung um den Vektor $\vec{v}$ .
  Variante 1: Verschiebung einer Funktion
  Der Graph von $f_1^\ast\:$ muss um vier Längeneinheiten in Richtung der negativen x-Achse verschoben werden, um den Graphen von $f_2^\ast\:$ zu erhalten.
  Wegen des konstanten Gliedes " $- 1$ " von $f_{1}$ und des konstanten Gliedes " $+ 4$ " von $f_{2}$ muss man den Graphen von $f_{1}$ noch um fünf Längeneinheiten in Richtung der positiven y-Achse verschoben werden, um den Graphen der Funktion $f_{2}$ zu erhalten.
  Also gilt für den Verschiebungsvektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}-4\\5\end{pmatrix}$ .
  Variante 2: Abbildungsgleichung
  Du kannst auch die Abbildungsgleichung der Parallelverschiebung betrachten:
  Zunächst setzt man $\color{#ff6600}x'=x+v_x$ in die zweite Gleichung ein. Diese Gleichung muss eine wahre Aussage liefern.
  $\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \color{#ff6600}x'&=&\color{#ff6600}x+v_x \\ \wedge -1{,}5\cdot2^{{\color{#ff6600}x'}-2}+4&=&-1{,}5\cdot2^{x-6}-1+v_y\\ \\ x'&=&x+v_x \\ \wedge -1{,}5\cdot2^{{\color{#ff6600}(x+v_x)}-2}+4&=&-1{,}5\cdot2^{x-6}-1+v_y \end{array}$
  Dies ist nur möglich für $v_{x} = - 4$ und $v_{y} = 5$ .
  Also gilt für den Verschiebungsvektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}-4\\5\end{pmatrix}$ .
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2. Punkte $B_n(x|-1{,}5\cdot2^{x-6}-1)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte $C_n(x|-1{,}5\cdot2^{x-2}+4)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind zusammen mit dem Punkt $A (- 5 ∣ 1,5)$ für $- 5 < x < 3,83$ Eckpunkte von Dreiecken $A B_{n} C_{n}$ .
  Zeichnen Sie das Dreieck $A B_{1} C_{1}$ für $x = - 1$ in das Koordinatensystem zur Abbildung der Aufgabenstellung ein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
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3. Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[B_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ gilt:
  $\overline{B_nC_n}(x)=(-1{,}41\cdot2^{x-2}+5)\ \text{LE}.$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
  Die Punkte $B_{n}$ und $C_{n}$ liegen übereinander (gleiche Abszisse $x$ ). Um nun die Länge der Strecke $[B_{n} C_{n}]$ zu berechnen, bildet man die Differenz aus den y-Werten.
  Man könnte auch sagen, man subtrahiert die "untere" Funktion von der "oberen":
  $\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \overline{B_nC_n}(x)&=& y_{C_n} - y_{B_n}\\ &=&-1{,}5\cdot2^{x-2}+4-(-1{,}5\cdot2^{x-6}-1)\\ &=&-1{,}5\cdot2^{x-2}+4+1{,}5\cdot2^{x-6}+1\\ &=&-1{,}5\cdot2^{x-2}+1{,}5\cdot{\color{#ff6600}2^{x-6}}+5\\ &=&-1{,}5\cdot2^{x-2}+1{,}5\cdot{\color{#ff6600}2^{-4}\cdot2^{x-2}}+5\\ \overline{B_nC_n}(x)&\approx&\left(-1{,}41\cdot2^{x-2}+5\right)\text{LE} \end{array}$
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4. Das Dreieck $A B_{2} C_{2}$ ist rechtwinklig mit $\sphericalangle AB_2C_2=90^\circ$ .
  Zeichnen Sie das Dreieck $A B_{2} C_{2}$ in das Koordinatensystem zur Abbildung der Aufgabenstellung ein und berechnen Sie dessen Flächeninhalt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
  Die Punkte $B_{2}$ und $C_{2}$ besitzen die gleiche Abszisse $x$ und das Dreieck soll rechtwinklig sein.
  Daher muss die Strecke $[A C_{2}]$ parallel zur x-Achse sein. Somit müssen die y-Koordinaten von $A$ und $C_{2}$ gleich sein: $y_A=1{,}5=y_{C_2}$ .
  Daraus folgt für $x_{C_2}$ mithilfe des Logarithmus:
  $\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} -1{,}5\cdot2^{x_{C_2}-2}+4&=&1{,}5\\ -1{,}5\cdot2^{x_{C_2}-2}&=&-2{,}5\\ 2^{x_{C_2}-2}&=&\frac5 3\\ x_{C_2}-2&=&\log_2\frac5 3\\ x_{C_2}&=&\log_2\frac5 3 + 2\\ x_{C_2}&\approx&2{,}74 \end{array}$
  Damit ergibt sich für die Länge $\overline{AC_2}$ des Dreiecks:
  $\displaystyle \overline{AC_2}=x_{C_2}-x_A=2{,}74-(-5)=7{,}74~\text{LE}$
  Für die Länge $\overline{B_2C_2}$ (Höhe des Dreiecks) ergibt sich aus 2.3:
  $\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \overline{B_2C_2}&=&-1{,}41\cdot2^{2{,}74-2}+5 \\ \overline{B_2C_2}&=&2{,}65~\text{LE} \end{array}$
  Schließlich ergibt sich für die gesuchte Fläche des Dreiecks $A B_{2} C_{2}$ :
  $\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} A_{AB_2C_2}&=&0{,}5\cdot7{,}74\cdot2{,}65~\text{FE}\\ A_{AB_2C_2}&=&10{,}26~\text{FE} \end{array}$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Der Punkt $A (1,5 ∣ - 1)$ legt zusammen mit Punkten
$B_n(\sin\varphi-3|4\cdot\cos^2\varphi-1)$ für $\varphi\in [0°; 360°]$ Pfeile $\overrightarrow{AB_n}$ fest.
Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
1. Im Koordinatensystem ist der Pfeil $\overrightarrow{AB_1}= \begin{pmatrix} -3{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}$
  eingezeichnet. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $\varphi$ .
  
  Um diese Aufgabe zu lösen, berechnet man zunächst mithilfe der angegebenen Punkte $A$ und $B_{n}$ den allgemeinen Vektor $\overrightarrow{AB_n}$ . Es gilt:
  $\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} \overrightarrow{AB_n} = \overrightarrow{OB_n} - \overrightarrow{OA} &=& \begin{pmatrix} \sin \varphi - 3 \\ 4\cdot \cos^2\varphi -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \\ &=& \begin{pmatrix} \sin \varphi - 3 - 1{,}5 \\ 4\cdot \cos^2\varphi -1 - (-1) \end{pmatrix} \\ \\&=& \begin{pmatrix} \sin \varphi - 4{,}5 \\ 4\cdot \cos^2\varphi\end{pmatrix}. \end{array}$
  Um den zum Vektor $\overrightarrow{AB_1}$ zugehörigen Winkel $\varphi$ zu bestimmen, kannst du die Einträge der Vektoren $\overrightarrow{AB_1}$ und $\overrightarrow{AB_n}$ miteinander vergleichen. Daraus erhältst du das Gleichungssystem:
  $\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} \sin \varphi - 4{,}5 &=& -3{,}5 \\ 4 \cdot \cos^2 \varphi &=& 0. \end{array}$
  Betrachtet man die erste Gleichung, so erhält man durch Umstellen der Gleichung den Zusammenhang
  $\displaystyle \sin\varphi=1.$
  Da $\varphi \in [0; 360°]$ gilt, ist aus dem Verlauf der Sinusfunktion in diesem Intervall klar, dass $\varphi = 90°$ sein muss.
  Du kannst an dieser Stelle natürlich auch die Umkehrfunktion des Sinus verwenden und erhältst ebenfalls $\varphi = \sin^{-1}(1) = 90°$ .
  Da $\varphi = 90°$ auch die Gleichung $4\cdot \cos^2 \varphi = 0$ erfüllt, löst das gefundene $\varphi$ unser Gleichungssystem und du bist fertig.
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2. Zeichnen Sie den Pfeil $\overrightarrow{AB_2}$ für $\varphi=150°$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.
  
  Du kannst bei dieser Teilaufgabe das Ergebnis für den Vektor $\overrightarrow{AB_n}$ aus Teilaufgabe a) verwenden und berechnest mit $\varphi = 150°$ :
  $\displaystyle \overrightarrow{AB_2} = \begin{pmatrix} \sin (150°) - 4{,}5 \\ 4\cdot \cos^2(150°)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac12 - 4{,}5 \\ 4\cdot \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3\end{pmatrix}.$
  Damit kannst du den Vektor in die Skizze einzeichnen:
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3. Zeigen Sie, dass für den Trägergraphen der Punkte $B_{n}$ gilt:
  $\displaystyle y=3-4\cdot(x+3)^2; (\mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}).$
  
  Um den Trägergraphen (oft auch als Ortskurve bekannt) berechnen zu können, musst du einen Zusammenhang zwischen der $y$ -Koordinate und der $x$ -Koordinate des Punktes $B_{n}$ herstellen.
  $\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} x_{B_n} &=& \sin \varphi - 3&(1)\\ \wedge~y_{B_n}&=& 4\cdot \cos^2 \varphi-1&(2) \end{array}$
  Aus Gleichung $(1)$ ergibt sich durch Äquivalenzumformung
  $\displaystyle {\color{#009999}x_{B_n} + 3} = {\color{#009999}\sin \varphi}.$
  Nun hilft dir der trigonometrische Pythagoras, das heißt die Beziehung
  $\displaystyle \color{#ff6600}\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1$
  weiter, denn damit kannst du die $y$ -Koordinate wie folgt darstellen:
  $\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} y_{B_n} &=& 4 \cdot {\color{#ff6600}\cos^2 \varphi} - 1 \\&=& 4 \cdot ({\color{#ff6600}1 - \sin^2 \varphi})-1 \\ &=& 4 \cdot (1 - ({\color{#009999}x_{B_n}+3})^2)-1 \\&=& 4 - 4 \cdot (x_{B_n}+3)^2 - 1 \\ y_{B_n} &=& 3 - 4 \cdot (x_{B_n}+3)^2 \end{array}$
  Für den Trägergraph der Punkte $B_{n}$ gilt somit
  $\displaystyle y=3-4\cdot(x+3)^2$
  mit $\mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ .
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