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Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier als PDF.

  1. 1

    Gegeben sind die Trapeze BnCDEnB_nCDE_n mit den parallelen Seiten [CD][CD] und [BnEn][B_nE_n]. Die Winkel CBnEnCB_nE_n haben das Maß φ\varphi mit φ  ]0;  90[\varphi\in\;\rbrack0^\circ;\;90^\circ\lbrack.

    Kreise knk_n mit den Mittelpunkten EnE_n haben die Radien rnr_n = =BnEn\overline{B_nE_n} und schneiden die Halbgeraden [DEn[DE_n in den Punkten AnA_n.

    Die Figuren AnBnCDA_nB_nCD werden von den Kreisbögen AnBn \stackrel{\frown}{A_nB_n} sowie den Strecken [BnC][B_nC], [CD][CD] und [DAn][DA_n] begrenzt.

    Es gilt: CD=2,5 cm\overline{CD}=2{,}5\ \text{cm}; BnC=4 cm\overline{B_nC}=4\ \text{cm}; EnDC=90\sphericalangle E_nDC=90^{\circ}. Die Skizze zeigt die Figur A1B1CDA_1B_1CD für φ=25\varphi=25^\circ.

    Trapez
    1. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [BnEn][B_nE_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

    2. Die Figuren AnBnCDA_nB_nCD rotieren um die Geraden AnDA_nD. Bestandteile der entstehenden Rotationskörper sind Halbkugeln. Bei dem Körper, der durch Rotation der Figur A2B2CDA_2B_2CD entsteht, hat die Halbkugel ein Volumen von 135 cm3135\ \text{cm}^3.

      Bestimmen Sie rechnerisch den Radius r2r_2 sowie das zugehörige Maß für φ\varphi.

      Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

  2. 2

    Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f1f_1 mit der Gleichung

    y=1,52x61y=-1{,}5\cdot2^{x-6}-1; (G=R×R)\left(\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}\right) eingezeichnet.

    Graph einer Funktion
    1. Durch Parallelverschiebung mit dem Vektor v\overrightarrow{v} wird der Graph zu f1f_1 auf den Graphen der Funktion f2f_2 mit der Gleichung y=1,52x2+4y=-1{,}5\cdot2^{x-2}+4; (G=R×R)\left(\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}\right) abgebildet.

      Zeichnen Sie den Graphen zu f2f_2 für x[6;  4]x\in\lbrack-6;\;4\rbrack in das Koordinatensystem zur Abbildung der Aufgabenstellung ein. Geben Sie sodann den Verschiebungsvektor v\overrightarrow{v} an.

    2. Punkte Bn(x1,52x61)B_n(x|-1{,}5\cdot2^{x-6}-1) auf dem Graphen zu f1f_1 und Punkte Cn(x1,52x2+4)C_n(x|-1{,}5\cdot2^{x-2}+4) auf dem Graphen zu f2f_2 haben dieselbe Abszisse xx und sind zusammen mit dem Punkt A(51,5)A(-5|1{,}5) für 5<x<3,83-5<x<3{,}83 Eckpunkte von Dreiecken ABnCnAB_nC_n.

      Zeichnen Sie das Dreieck AB1C1AB_1C_1 für x=1x=-1 in das Koordinatensystem zur Abbildung der Aufgabenstellung ein.

    3. Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken [BnCn][B_nC_n] in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte BnB_n gilt:

      BnCn(x)=(1,412x2+5) LE.\overline{B_nC_n}(x)=(-1{,}41\cdot2^{x-2}+5)\ \text{LE}.

    4. Das Dreieck AB2C2AB_2C_2 ist rechtwinklig mit AB2C2=90\sphericalangle AB_2C_2=90^\circ.

      Zeichnen Sie das Dreieck AB2C2AB_2C_2 in das Koordinatensystem zur Abbildung der Aufgabenstellung ein und berechnen Sie dessen Flächeninhalt.

  3. 3

    Der Punkt A(1,51)A(1{,}5|-1) legt zusammen mit Punkten

    Bn(sinφ34cos2φ1)B_n(\sin\varphi-3|4\cdot\cos^2\varphi-1) für φ[0°;360°]\varphi\in [0°; 360°] Pfeile ABn\overrightarrow{AB_n} fest.

    Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

    1. Im Koordinatensystem ist der Pfeil AB1=(3,50)\overrightarrow{AB_1}= \begin{pmatrix} -3{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}

      eingezeichnet. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von φ\varphi.

      Pfeil im Koordinatensystem
    2. Zeichnen Sie den Pfeil AB2\overrightarrow{AB_2} für φ=150°\varphi=150°in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.

    3. Zeigen Sie, dass für den Trägergraphen der Punkte BnB_n gilt:


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