Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier als PDF.

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben sind die Trapeze $B_{n} C D E_{n}$ mit den parallelen Seiten $[C D]$ und $[B_{n} E_{n}]$ . Die Winkel $C B_{n} E_{n}$ haben das Maß $φ$ mit $φ \in] 0^{\circ}; 90^{\circ} [$ .
Kreise $k_{n}$ mit den Mittelpunkten $E_{n}$ haben die Radien $r_{n}$ $=$ $B_{n} E_{n}$ und schneiden die Halbgeraden $[D E_{n}$ in den Punkten $A_{n}$ .
Die Figuren $A_{n} B_{n} C D$ werden von den Kreisbögen $\overset{⌢}{A_{n}}$ sowie den Strecken $[B_{n} C]$ , $[C D]$ und $[D A_{n}]$ begrenzt.
Es gilt: $C D = 2,5 cm$ ; $B_{n} C = 4 cm$ ; $∢ E_{n} D C = 90^{\circ}$ . Die Skizze zeigt die Figur $A_{1} B_{1} C D$ für $φ = 25^{\circ}$ .
1. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[B_{n} E_{n}]$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt:
  $B_{n} E_{n} (φ) = (4 \cdot \cos (φ) + 2,5) cm .$
  
  Man zeichnet eine Parallele zur y-Achse durch den Punkt $C$ . Diese Parallele schneidet die Strecke $[E B]$ im Punkt $F$ . Die Strecke $[F B]$ werde mit $x$ bezeichnet. Dann gilt im rechtwinkligen Dreieck $C B F$ :
  $\cos φ = \frac{x}{4} \Rightarrow x = 4 \cdot \cos φ$
  Und dann
  $B E (φ) = (4 \cdot \cos φ + 2,5) cm$
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2. Die Figuren $A_{n} B_{n} C D$ rotieren um die Geraden $A_{n} D$ . Bestandteile der entstehenden Rotationskörper sind Halbkugeln. Bei dem Körper, der durch Rotation der Figur $A_{2} B_{2} C D$ entsteht, hat die Halbkugel ein Volumen von $135 {cm}^{3}$ .
  Bestimmen Sie rechnerisch den Radius $r_{2}$ sowie das zugehörige Maß für $φ$ .
  Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
  
  Das Volumen einer Kugel berechnet sich nach der Formel:
  $V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3}$ .
  $V = 270 {cm}^{3}$ und somit können wir die Formel nach $r$ auflösen:
  $\begin{array}{rcl} V & = & \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3} \\ 270 {cm}^{3} & = & \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3} \\ \frac{3}{4} \cdot 270 {cm}^{3} & = & π \cdot r^{3} \\ \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{π} \cdot 270 {cm}^{3} & = & r^{3} \end{array}$
  $\Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{π} \cdot 270 {cm}^{3}} \approx 4,01 cm$
  Dadurch berechnet sich der Winkel $φ$ wie folgt:
  $\begin{array}{rcl} 4,01 & = & 4 \cdot \cos φ + 2,5 \\ 4,01 - 2,5 & = & 4 \cdot \cos φ \\ 1,51 & = & 4 \cdot \cos φ \\ \frac{1,51}{4} & = & \cos φ \\ 0,3775 & = & \cos φ \end{array}$
  $\Rightarrow φ \approx 67,82 °$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung
$y = - 1,5 \cdot 2^{x - 6} - 1$ ; $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ eingezeichnet.
1. Durch Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v}$ wird der Graph zu $f_{1}$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ mit der Gleichung $y = - 1,5 \cdot 2^{x - 2} + 4$ ; $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ abgebildet.
  Zeichnen Sie den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 6; 4]$ in das Koordinatensystem zur Abbildung der Aufgabenstellung ein. Geben Sie sodann den Verschiebungsvektor $\vec{v}$ an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
  Der Graph der Funktion $f_{2} : y = - 1,5 \cdot 2^{x - 2} + 4$ ergibt sich aus dem Graph der Funktion $f_{1} : y = - 1,5 \cdot 2^{x - 6} - 1$ durch Parallelverschiebung um den Vektor $\vec{v}$ .
  Variante 1: Verschiebung einer Funktion
  Der Graph von $f_{1}^{*}$ muss um vier Längeneinheiten in Richtung der negativen x-Achse verschoben werden, um den Graphen von $f_{2}^{*}$ zu erhalten.
  Wegen des konstanten Gliedes " $- 1$ " von $f_{1}$ und des konstanten Gliedes " $+ 4$ " von $f_{2}$ muss man den Graphen von $f_{1}$ noch um fünf Längeneinheiten in Richtung der positiven y-Achse verschoben werden, um den Graphen der Funktion $f_{2}$ zu erhalten.
  Also gilt für den Verschiebungsvektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 5 \end{array})$ .
  Variante 2: Abbildungsgleichung
  Du kannst auch die Abbildungsgleichung der Parallelverschiebung betrachten:
  Zunächst setzt man $x^{'} = x + v_{x}$ in die zweite Gleichung ein. Diese Gleichung muss eine wahre Aussage liefern.
  $\begin{array}{rcl} x^{'} & = & x + v_{x} \\ \land - 1,5 \cdot 2^{x^{'} - 2} + 4 & = & - 1,5 \cdot 2^{x - 6} - 1 + v_{y} \\ x^{'} & = & x + v_{x} \\ \land - 1,5 \cdot 2^{(x + v_{x}) - 2} + 4 & = & - 1,5 \cdot 2^{x - 6} - 1 + v_{y} \end{array}$
  Dies ist nur möglich für $v_{x} = - 4$ und $v_{y} = 5$ .
  Also gilt für den Verschiebungsvektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 5 \end{array})$ .
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2. Punkte $B_{n} (x | - 1,5 \cdot 2^{x - 6} - 1)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte $C_{n} (x | - 1,5 \cdot 2^{x - 2} + 4)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind zusammen mit dem Punkt $A (- 5 | 1,5)$ für $- 5 < x < 3,83$ Eckpunkte von Dreiecken $A B_{n} C_{n}$ .
  Zeichnen Sie das Dreieck $A B_{1} C_{1}$ für $x = - 1$ in das Koordinatensystem zur Abbildung der Aufgabenstellung ein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
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3. Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[B_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ gilt:
  $B_{n} C_{n} (x) = (- 1,41 \cdot 2^{x - 2} + 5) LE .$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
  Die Punkte $B_{n}$ und $C_{n}$ liegen übereinander (gleiche Abszisse $x$ ). Um nun die Länge der Strecke $[B_{n} C_{n}]$ zu berechnen, bildet man die Differenz aus den y-Werten.
  Man könnte auch sagen, man subtrahiert die "untere" Funktion von der "oberen":
  $\begin{array}{rcl} B_{n} C_{n} (x) & = & y_{C_{n}} - y_{B_{n}} \\ = & - 1,5 \cdot 2^{x - 2} + 4 - (- 1,5 \cdot 2^{x - 6} - 1) \\ = & - 1,5 \cdot 2^{x - 2} + 4 + 1,5 \cdot 2^{x - 6} + 1 \\ = & - 1,5 \cdot 2^{x - 2} + 1,5 \cdot 2^{x - 6} + 5 \\ = & - 1,5 \cdot 2^{x - 2} + 1,5 \cdot 2^{- 4} \cdot 2^{x - 2} + 5 \\ B_{n} C_{n} (x) & \approx & (- 1,41 \cdot 2^{x - 2} + 5) LE \end{array}$
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4. Das Dreieck $A B_{2} C_{2}$ ist rechtwinklig mit $∢ A B_{2} C_{2} = 90^{\circ}$ .
  Zeichnen Sie das Dreieck $A B_{2} C_{2}$ in das Koordinatensystem zur Abbildung der Aufgabenstellung ein und berechnen Sie dessen Flächeninhalt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
  Die Punkte $B_{2}$ und $C_{2}$ besitzen die gleiche Abszisse $x$ und das Dreieck soll rechtwinklig sein.
  Daher muss die Strecke $[A C_{2}]$ parallel zur x-Achse sein. Somit müssen die y-Koordinaten von $A$ und $C_{2}$ gleich sein: $y_{A} = 1,5 = y_{C_{2}}$ .
  Daraus folgt für $x_{C_{2}}$ mithilfe des Logarithmus:
  $\begin{array}{rcl} - 1,5 \cdot 2^{x_{C_{2}} - 2} + 4 & = & 1,5 \\ - 1,5 \cdot 2^{x_{C_{2}} - 2} & = & - 2,5 \\ 2^{x_{C_{2}} - 2} & = & \frac{5}{3} \\ x_{C_{2}} - 2 & = & \log_{2} \frac{5}{3} \\ x_{C_{2}} & = & \log_{2} \frac{5}{3} + 2 \\ x_{C_{2}} & \approx & 2,74 \end{array}$
  Damit ergibt sich für die Länge $A C_{2}$ des Dreiecks:
  $A C_{2} = x_{C_{2}} - x_{A} = 2,74 - (- 5) = 7,74 LE$
  Für die Länge $B_{2} C_{2}$ (Höhe des Dreiecks) ergibt sich aus 2.3:
  $\begin{array}{rcl} B_{2} C_{2} & = & - 1,41 \cdot 2^{2,74 - 2} + 5 \\ B_{2} C_{2} & = & 2,65 LE \end{array}$
  Schließlich ergibt sich für die gesuchte Fläche des Dreiecks $A B_{2} C_{2}$ :
  $\begin{array}{rcl} A_{A B_{2} C_{2}} & = & 0,5 \cdot 7,74 \cdot 2,65 FE \\ A_{A B_{2} C_{2}} & = & 10,26 FE \end{array}$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Der Punkt $A (1,5 | - 1)$ legt zusammen mit Punkten
$B_{n} (\sin φ - 3 | 4 \cdot \cos^{2} φ - 1)$ für $φ \in [0 °; 360 °]$ Pfeile $\vec{A B_{n}}$ fest.
Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
1. Im Koordinatensystem ist der Pfeil $\vec{A B_{1}} = (\begin{array}{c} - 3,5 \\ 0 \end{array})$
  eingezeichnet. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $φ$ .
  
  Um diese Aufgabe zu lösen, berechnet man zunächst mithilfe der angegebenen Punkte $A$ und $B_{n}$ den allgemeinen Vektor $\vec{A B_{n}}$ . Es gilt:
  $\begin{array}{c} \vec{A B_{n}} = \vec{O B_{n}} - \vec{O A} & = & (\begin{array}{c} \sin φ - 3 \\ 4 \cdot \cos^{2} φ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1,5 \\ - 1 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} \sin φ - 3 - 1,5 \\ 4 \cdot \cos^{2} φ - 1 - (- 1) \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} \sin φ - 4,5 \\ 4 \cdot \cos^{2} φ \end{array}) . \end{array}$
  Um den zum Vektor $\vec{A B_{1}}$ zugehörigen Winkel $φ$ zu bestimmen, kannst du die Einträge der Vektoren $\vec{A B_{1}}$ und $\vec{A B_{n}}$ miteinander vergleichen. Daraus erhältst du das Gleichungssystem:
  $\begin{array}{c} \sin φ - 4,5 & = & - 3,5 \\ 4 \cdot \cos^{2} φ & = & 0. \end{array}$
  Betrachtet man die erste Gleichung, so erhält man durch Umstellen der Gleichung den Zusammenhang
  $\sin φ = 1.$
  Da $φ \in [0; 360 °]$ gilt, ist aus dem Verlauf der Sinusfunktion in diesem Intervall klar, dass $φ = 90 °$ sein muss.
  Du kannst an dieser Stelle natürlich auch die Umkehrfunktion des Sinus verwenden und erhältst ebenfalls $φ = \sin^{- 1} (1) = 90 °$ .
  Da $φ = 90 °$ auch die Gleichung $4 \cdot \cos^{2} φ = 0$ erfüllt, löst das gefundene $φ$ unser Gleichungssystem und du bist fertig.
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2. Zeichnen Sie den Pfeil $\vec{A B_{2}}$ für $φ = 150 °$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.
  
  Du kannst bei dieser Teilaufgabe das Ergebnis für den Vektor $\vec{A B_{n}}$ aus Teilaufgabe a) verwenden und berechnest mit $φ = 150 °$ :
  $\vec{A B_{2}} = (\begin{array}{c} \sin (150 °) - 4,5 \\ 4 \cdot \cos^{2} (150 °) \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1}{2} - 4,5 \\ 4 \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \end{array}) .$
  Damit kannst du den Vektor in die Skizze einzeichnen:
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3. Zeigen Sie, dass für den Trägergraphen der Punkte $B_{n}$ gilt:
  $y = 3 - 4 \cdot (x + 3)^{2}; (𝔾 = ℝ \times ℝ) .$
  
  Um den Trägergraphen (oft auch als Ortskurve bekannt) berechnen zu können, musst du einen Zusammenhang zwischen der $y$ -Koordinate und der $x$ -Koordinate des Punktes $B_{n}$ herstellen.
  $\begin{array}{rcll} x_{B_{n}} & = & \sin φ - 3 & (1) \\ \land y_{B_{n}} & = & 4 \cdot \cos^{2} φ - 1 & (2) \end{array}$
  Aus Gleichung $(1)$ ergibt sich durch Äquivalenzumformung
  $x_{B_{n}} + 3 = \sin φ .$
  Nun hilft dir der trigonometrische Pythagoras, das heißt die Beziehung
  $\cos^{2} φ + \sin^{2} φ = 1$
  weiter, denn damit kannst du die $y$ -Koordinate wie folgt darstellen:
  $\begin{array}{rcl} y_{B_{n}} & = & 4 \cdot \cos^{2} φ - 1 \\ = & 4 \cdot (1 - \sin^{2} φ) - 1 \\ = & 4 \cdot (1 - (x_{B_{n}} + 3)^{2}) - 1 \\ = & 4 - 4 \cdot (x_{B_{n}} + 3)^{2} - 1 \\ y_{B_{n}} & = & 3 - 4 \cdot (x_{B_{n}} + 3)^{2} \end{array}$
  Für den Trägergraph der Punkte $B_{n}$ gilt somit
  $y = 3 - 4 \cdot (x + 3)^{2}$
  mit $𝔾 = ℝ \times ℝ$ .
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