Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier als PDF.

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben sind die Trapeze $B_nCDE_n$ mit den parallelen Seiten $[CD]$ und $[B_nE_n]$ . Die Winkel $CB_nE_n$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in\;\rbrack0^\circ;\;90^\circ\lbrack$ .
Kreise $k_n$ mit den Mittelpunkten $E_n$ haben die Radien $r_n$ $=$ $\overline{B_nE_n}$ und schneiden die Halbgeraden $[DE_n$ in den Punkten $A_n$ .
Die Figuren $A_nB_nCD$ werden von den Kreisbögen $\stackrel{\frown}{A_nB_n}$ sowie den Strecken $[B_nC]$ , $[CD]$ und $[DA_n]$ begrenzt.
Es gilt: $\overline{CD}=2{,}5\ \text{cm}$ ; $\overline{B_nC}=4\ \text{cm}$ ; $\sphericalangle E_nDC=90^{\circ}$ . Die Skizze zeigt die Figur $A_1B_1CD$ für $\varphi=25^\circ$ .
1. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[B_nE_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:
  
  Man zeichnet eine Parallele zur y-Achse durch den Punkt $C$ . Diese Parallele schneidet die Strecke $[EB]$ im Punkt $F$ . Die Strecke $[FB]$ werde mit $x$ bezeichnet. Dann gilt im rechtwinkligen Dreieck $CBF$ :
  $\cos\varphi = \dfrac x 4 \Rightarrow x = 4\cdot \cos \varphi$
  Und dann
  $\overline{BE}(\varphi) = (4 \cdot \cos \varphi + 2{,}5) \;\text{cm}$
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2. Die Figuren $A_nB_nCD$ rotieren um die Geraden $A_nD$ . Bestandteile der entstehenden Rotationskörper sind Halbkugeln. Bei dem Körper, der durch Rotation der Figur $A_2B_2CD$ entsteht, hat die Halbkugel ein Volumen von $135\ \text{cm}^3$ .
  Bestimmen Sie rechnerisch den Radius $r_2$ sowie das zugehörige Maß für $\varphi$ .
  Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
  
  Das Volumen einer Kugel berechnet sich nach der Formel:
  $V= \dfrac 4 3 \cdot \pi \cdot r^3$ .
  $V=270 \;\text{cm}^3$ und somit können wir die Formel nach $r$ auflösen:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array} {rcl} V &=& \dfrac 4 3 \cdot \pi \cdot r^3 \\ 270 \;\text{cm}^3 &=& \dfrac {4} {3} \cdot \pi \cdot r^3 \\ \dfrac {3} {4} \cdot 270\; \text{cm}^3 &=& \pi \cdot r^3\\ \dfrac {3} {4} \cdot \dfrac {1} {\pi} \cdot 270\; \text{cm}^3 &=&r^3 \end{array}$
  $\Rightarrow r = \sqrt[3]{\dfrac 3 4 \cdot \dfrac 1 \pi \cdot 270\; \text{cm}^3} \approx 4{,}01\ \text{cm}$
  Dadurch berechnet sich der Winkel $\varphi$ wie folgt:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array} {rcl} 4{,}01 &=&4\cdot \cos \varphi +2{,}5\\ 4{,}01-2{,}5 &=& 4 \cdot \cos \varphi \\ 1{,}51 &=& 4 \cdot \cos \varphi \\ \dfrac {1{,}51} {4} &=& \cos \varphi \\ 0{,}3775 &=& \cos \varphi \end{array}$
  $\Rightarrow \varphi \approx 67{,}82\degree$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f_1$ mit der Gleichung
$y=-1{,}5\cdot2^{x-6}-1$ ; $\left(\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}\right)$ eingezeichnet.
1. Durch Parallelverschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v}$ wird der Graph zu $f_1$ auf den Graphen der Funktion $f_2$ mit der Gleichung $y=-1{,}5\cdot2^{x-2}+4$ ; $\left(\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}\right)$ abgebildet.
  Zeichnen Sie den Graphen zu $f_2$ für $x\in\lbrack-6;\;4\rbrack$ in das Koordinatensystem zur Abbildung der Aufgabenstellung ein. Geben Sie sodann den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}$ an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
  Der Graph der Funktion $f_2:y=-1{,}5\cdot2^{x-2}+4$ ergibt sich aus dem Graph der Funktion $f_1:y=-1{,}5\cdot2^{x-6}-1$ durch Parallelverschiebung um den Vektor $\vec{v}$ .
  Variante 1: Verschiebung einer Funktion
  Der Graph von $f_1^\ast\:$ muss um vier Längeneinheiten in Richtung der negativen x-Achse verschoben werden, um den Graphen von $f_2^\ast\:$ zu erhalten.
  Wegen des konstanten Gliedes " $-1$ " von $f_1$ und des konstanten Gliedes " $+4$ " von $f_2$ muss man den Graphen von $f_1$ noch um fünf Längeneinheiten in Richtung der positiven y-Achse verschoben werden, um den Graphen der Funktion $f_2$ zu erhalten.
  Also gilt für den Verschiebungsvektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}-4\\5\end{pmatrix}$ .
  Variante 2: Abbildungsgleichung
  Du kannst auch die Abbildungsgleichung der Parallelverschiebung betrachten:
  Zunächst setzt man $\color{#ff6600}x'=x+v_x$ in die zweite Gleichung ein. Diese Gleichung muss eine wahre Aussage liefern.
  Dies ist nur möglich für $v_x=-4$ und $v_y=5$ .
  Also gilt für den Verschiebungsvektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}-4\\5\end{pmatrix}$ .
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2. Punkte $B_n(x|-1{,}5\cdot2^{x-6}-1)$ auf dem Graphen zu $f_1$ und Punkte $C_n(x|-1{,}5\cdot2^{x-2}+4)$ auf dem Graphen zu $f_2$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind zusammen mit dem Punkt $A(-5|1{,}5)$ für $-5<x<3{,}83$ Eckpunkte von Dreiecken $AB_nC_n$ .
  Zeichnen Sie das Dreieck $AB_1C_1$ für $x=-1$ in das Koordinatensystem zur Abbildung der Aufgabenstellung ein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
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3. Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[B_nC_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ gilt:
  $\overline{B_nC_n}(x)=(-1{,}41\cdot2^{x-2}+5)\ \text{LE}.$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
  Die Punkte $B_n$ und $C_n$ liegen übereinander (gleiche Abszisse $x$ ). Um nun die Länge der Strecke $[B_nC_n]$ zu berechnen, bildet man die Differenz aus den y-Werten.
  Man könnte auch sagen, man subtrahiert die "untere" Funktion von der "oberen":
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4. Das Dreieck $AB_2C_2$ ist rechtwinklig mit $\sphericalangle AB_2C_2=90^\circ$ .
  Zeichnen Sie das Dreieck $AB_2C_2$ in das Koordinatensystem zur Abbildung der Aufgabenstellung ein und berechnen Sie dessen Flächeninhalt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
  Die Punkte $B_2$ und $C_2$ besitzen die gleiche Abszisse $x$ und das Dreieck soll rechtwinklig sein.
  Daher muss die Strecke $[AC_2]$ parallel zur x-Achse sein. Somit müssen die y-Koordinaten von $A$ und $C_2$ gleich sein: $y_A=1{,}5=y_{C_2}$ .
  Daraus folgt für $x_{C_2}$ mithilfe des Logarithmus:
  Damit ergibt sich für die Länge $\overline{AC_2}$ des Dreiecks:
  Für die Länge $\overline{B_2C_2}$ (Höhe des Dreiecks) ergibt sich aus 2.3:
  Schließlich ergibt sich für die gesuchte Fläche des Dreiecks $AB_2C_2$ :
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Der Punkt $A(1{,}5|-1)$ legt zusammen mit Punkten
$B_n(\sin\varphi-3|4\cdot\cos^2\varphi-1)$ für $\varphi\in [0°; 360°]$ Pfeile $\overrightarrow{AB_n}$ fest.
Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
1. Im Koordinatensystem ist der Pfeil $\overrightarrow{AB_1}= \begin{pmatrix} -3{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}$
  eingezeichnet. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $\varphi$ .
  
  Um diese Aufgabe zu lösen, berechnet man zunächst mithilfe der angegebenen Punkte $A$ und $B_n$ den allgemeinen Vektor $\overrightarrow{AB_n}$ . Es gilt:
  Um den zum Vektor $\overrightarrow{AB_1}$ zugehörigen Winkel $\varphi$ zu bestimmen, kannst du die Einträge der Vektoren $\overrightarrow{AB_1}$ und $\overrightarrow{AB_n}$ miteinander vergleichen. Daraus erhältst du das Gleichungssystem:
  Betrachtet man die erste Gleichung, so erhält man durch Umstellen der Gleichung den Zusammenhang
  Da $\varphi \in [0; 360°]$ gilt, ist aus dem Verlauf der Sinusfunktion in diesem Intervall klar, dass $\varphi = 90°$ sein muss.
  Du kannst an dieser Stelle natürlich auch die Umkehrfunktion des Sinus verwenden und erhältst ebenfalls $\varphi = \sin^{-1}(1) = 90°$ .
  Da $\varphi = 90°$ auch die Gleichung $4\cdot \cos^2 \varphi = 0$ erfüllt, löst das gefundene $\varphi$ unser Gleichungssystem und du bist fertig.
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2. Zeichnen Sie den Pfeil $\overrightarrow{AB_2}$ für $\varphi=150°$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.
  
  Du kannst bei dieser Teilaufgabe das Ergebnis für den Vektor $\overrightarrow{AB_n}$ aus Teilaufgabe a) verwenden und berechnest mit $\varphi = 150°$ :
  Damit kannst du den Vektor in die Skizze einzeichnen:
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3. Zeigen Sie, dass für den Trägergraphen der Punkte $B_n$ gilt:
  
  Um den Trägergraphen (oft auch als Ortskurve bekannt) berechnen zu können, musst du einen Zusammenhang zwischen der $y$ -Koordinate und der $x$ -Koordinate des Punktes $B_n$ herstellen.
  Aus Gleichung $(1)$ ergibt sich durch Äquivalenzumformung
  Nun hilft dir der trigonometrische Pythagoras, das heißt die Beziehung
  weiter, denn damit kannst du die $y$ -Koordinate wie folgt darstellen:
  Für den Trägergraph der Punkte $B_n$ gilt somit
  mit $\mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ .
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