geg.: gleichschenkliges Dreieck $O{P}_1{Q}_1$ mit $\phi =60°$ und Symmetrieachse $S:y=x$

ges.: Koordinaten $\overrightarrow{O{P}_2}$ und Zeichnung $△O{P}_2{Q}_2$ für $\phi ={220}^{\circ }$

Ansatz und Rechnung:

1. Koordinaten von $\overrightarrow{O{P}_2}(\phi ={220}^{\circ })$

$\overrightarrow{O{P}_2}(\phi ={220}^{\circ })=\left(\begin{array}{c}5-\sin (220°)\\ 2\cdot \cos (220°)\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{c}5-(-\mathrm{0,643})\\ 2\cdot (-\mathrm{0,766})\end{array}\right)$

$$$$$=\left(\begin{array}{c}\mathrm{5,643}\\ -\mathrm{1,532}\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{c}\mathrm{5,6}\\ -\mathrm{1,5}\end{array}\right)$

2. Zeichnung $△O{P}_2{Q}_2$

$\overrightarrow{O{P}_2}(\phi ={220}^{\circ })=\left(\begin{array}{c}\mathrm{5,6}\\ -\mathrm{1,5}\end{array}\right)$ einzeichnen; $Q_2$ symmetrisch zur Symmetrieachse $S:y=x$

Zeichnung der Dreiecke $O{P}_1{Q}_1$ mit $\phi =60°$ und $O{P}_2{Q}_2$ mit $\phi =220°$

geg.: gleichschenklige Dreiecke $O{P}_3{Q}_3$ und $O{P}_4{Q}_4$ mit $\sphericalangle P_{3}O{Q}_3=\sphericalangle P_{4}O{Q}_4={90}^{\circ }$

ges.: Wert $\phi$

Ansatz & Rechnung

Setze für beide Dreiecke $O{P}_3{Q}_3$ und $O{P}_4{Q}_4$ die $y$-Komponente von $\overrightarrow{O{P}_n}(\phi )=\left(\begin{array}{c}5-\sin \phi \\ \text{blue}2\cdot \cos \phi \end{array}\right)$ gleich null:

$y_{P3,P4}=0=\text{blue}2\cdot \cos \phi$ für $\phi \in [0°;360°]$

$\Rightarrow$ im Bereich $\phi \in [0°;360°]$ ist die Gleichung erfüllt für $cos(\frac{\pi }{2})\stackrel{\wedge}{=}0$ und für $cos(\frac{3}{2}\pi )\stackrel{\wedge}{=}0$

Damit muss $\phi =90°$ oder $\phi =270°$sein.

$𝕃=\{{90}^{\circ };{270}^{\circ }\}$$$

Nachweis

Der Punkt $P_5(3|3)$ liegt auf der Symmetrieachse, die durch $y=x$ gegeben ist.

Wenn $P_5(3|3)$ auf der Symmetrieachse $s$ liegt, liegen auch $Q_5$ und $O$ darauf. Das ergibt kein Dreieck.

$\Rightarrow$ Es gibt kein Dreieck $O{P}_5{Q}_5$ mit $P_5(3|3)$