geg.: gleichschenkliges Dreieck $OP_1Q_1$ mit $φ=60°$ und Symmetrieachse $S: y=x$

ges.: Koordinaten $\overrightarrow {OP_2}$ und Zeichnung $\triangle OP_2Q_2$ für $\varphi=220^\circ$

Ansatz und Rechnung:

1. Koordinaten von $\overrightarrow{OP_2}(\varphi=220^\circ)$

$\overrightarrow{OP_2}(\varphi=220^\circ)=\begin{pmatrix} 5-\sin(220°)\\ {2}\cdot {\cos(220°)}\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix} 5-(-0{,}643) \\ {2}\cdot (-0{,}766)\end{pmatrix}$

$\qquad$$\qquad\qquad$$=\begin{pmatrix} 5{,}643 \\ -1{,}532\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix} 5{,}6\\ -1{,}5\end{pmatrix}$

2. Zeichnung $\triangle OP_2Q_2$

$\overrightarrow{OP_2}(\varphi=220^\circ)=\begin{pmatrix} 5{,}6\\ -1{,}5\end{pmatrix}$ einzeichnen; $Q_2$ symmetrisch zur Symmetrieachse $S:y=x$

Zeichnung der Dreiecke $OP_1Q_1$ mit $φ=60°$ und $OP_2Q_2$ mit $φ=220°$

geg.: gleichschenklige Dreiecke $OP_3Q_3$ und $OP_4Q_4$ mit $\sphericalangle P_3OQ_3=\sphericalangle P_4OQ_4 =90^∘$

ges.: Wert $φ$

Ansatz & Rechnung

Setze für beide Dreiecke $OP_3Q_3$ und $OP_4Q_4$ die $y$-Komponente von $\overrightarrow{OP_n}(\varphi)=\begin{pmatrix} 5-\sin φ \\ \blue{2\cdot \cos φ} \end{pmatrix}$ gleich null:

$y_{P3,P4}=0=\blue {2\cdot \cosφ}$ für $φ\in [0°; 360°]$

$\Rightarrow$ im Bereich $φ\in [0°; 360°]$ ist die Gleichung erfüllt für $cos( \frac {π}{2}) ≙ 0$ und für $cos(\frac {3}{2}π)≙0$

Damit muss $φ=90°$ oder $φ=270°$sein.

$\mathbb{L}=\{90^\circ;270^\circ\}$$$

Nachweis

Der Punkt $P_5(3|3)$ liegt auf der Symmetrieachse, die durch $y=x$ gegeben ist.

Wenn $P_5(3|3)$ auf der Symmetrieachse $s$ liegt, liegen auch $Q_5$ und $O$ darauf. Das ergibt kein Dreieck.

$\Rightarrow$ Es gibt kein Dreieck $OP_5Q_5$ mit $P_5(3|3)$