Nachtermin Teil B

geg.: gleichschenkliges Dreieck $OP_1Q_1$ mit $φ=60°$ und Symmetrieachse $S: y=x$

ges.: Koordinaten $\overrightarrow {OP_2}$ und Zeichnung $\triangle OP_2Q_2$ für $\varphi=220^\circ$

Ansatz und Rechnung:

1. Koordinaten von $\overrightarrow{OP_2}(\varphi=220^\circ)$

$\overrightarrow{OP_2}(\varphi=220^\circ)=\begin{pmatrix} 5-\sin(220°)\\ {2}\cdot {\cos(220°)}\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix} 5-(-0{,}643) \\ {2}\cdot (-0{,}766)\end{pmatrix}$

$\qquad$$\qquad\qquad$$=\begin{pmatrix} 5{,}643 \\ -1{,}532\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix} 5{,}6\\ -1{,}5\end{pmatrix}$

2. Zeichnung $\triangle OP_2Q_2$

$\overrightarrow{OP_2}(\varphi=220^\circ)=\begin{pmatrix} 5{,}6\\ -1{,}5\end{pmatrix}$ einzeichnen; $Q_2$ symmetrisch zur Symmetrieachse $S:y=x$

Zeichnung der Dreiecke $OP_1Q_1$ mit $φ=60°$ und $OP_2Q_2$ mit $φ=220°$

geg.: gleichschenklige Dreiecke $OP_3Q_3$ und $OP_4Q_4$ mit $\sphericalangle P_3OQ_3=\sphericalangle P_4OQ_4 =90^∘$

ges.: Wert $φ$

Ansatz & Rechnung

Setze für beide Dreiecke $OP_3Q_3$ und $OP_4Q_4$ die $y$-Komponente von $\overrightarrow{OP_n}(\varphi)=\begin{pmatrix} 5-\sin φ \\ \blue{2\cdot \cos φ} \end{pmatrix}$ gleich null:

$y_{P3,P4}=0=\blue {2\cdot \cosφ}$ für $φ\in [0°; 360°]$

$\Rightarrow$ im Bereich $φ\in [0°; 360°]$ ist die Gleichung erfüllt für $cos( \frac {π}{2}) ≙ 0$ und für $cos(\frac {3}{2}π)≙0$

Damit muss $φ=90°$ oder $φ=270°$sein.

$\mathbb{L}=\{90^\circ;270^\circ\}$$$

Nachweis

Der Punkt $P_5(3|3)$ liegt auf der Symmetrieachse, die durch $y=x$ gegeben ist.

Wenn $P_5(3|3)$ auf der Symmetrieachse $s$ liegt, liegen auch $Q_5$ und $O$ darauf. Das ergibt kein Dreieck.

$\Rightarrow$ Es gibt kein Dreieck $OP_5Q_5$ mit $P_5(3|3)$

geg.: $\triangle ABC$ gleichschenklig mit Basis $\overline{AB} =6\:cm$, als Grundfläche der Pyramide ABCS,

$h_{Pyramide}=\overline{RS}=5\:cm$ (mit $R\in\overline {AB}$, $M=$Mittelpunkt $\overline{AB}$;

Schrägbild mit Schrägbildachse $\overline {AB}$, mit $q=0{,}5$ und $ω=45°$;

$|\overline{MC}|=4\:cm$; $|\overline{AS}|=5{,}5\:cm$ ;

ges.: Zeichnung aus Aufgabenstellung ergänzen, $∢BAS$ berechnen

Ansatz und Rechnung:

1. Schrägbild der Pyramide ergänzen:

2. Winkel BAS berechnen:

aus Zeichnung $∢BAS ≙ ∢ RAS$; Berechnung $∢BAS$ mithilfe Sinus

$\Rightarrow \sin ∢BAS=[\frac{GK}{HY}]=\frac{\overline{RS}}{\overline{AS}}=\frac{5}{5{,}5}=0{,}9090$

$\mathbf{\Rightarrow ∢BAS=65{,}38°}$

geg.: $∢ASP_n=φ \qquad$mit $φ\in]0°;61{,}18°]$

ges.:

1. Einzeichnung Strecke $\overline {SP_1}$ für $φ=45°$ in das Schrägbild der Pyramide

2. Berechnung $\overline {SP_n}(φ)$ mit Sinus-Supplementwinkel-Beziehung

Ansatz und Rechnung:

1. Schenkel in $S$ mit $45°$ an Strecke $\overline {AS}$ schneidet Strecke $\overline {AB}$ in $P_1$

2. Berechnung $\overline {SP_n}(φ)$ mit Sinus-Supplementwinkel-Beziehung

$\sin(180°-(φ+∢BAS)) =\frac{|\overline{RS}|}{|\overline{SP_n}|}=\frac{5\:cm}{|\overline{SP_n}|}\qquad$für $φ\in]0°;61{,}18°]$

Entsprechend der Supplementwinkel-Beziehung $\color{green}\sin(180°-α)=\sin(α)$

ergibt sich für $\color{green}\sin(180°-(φ+∢BAS)) =\sin(φ+∢BAS)$

$\Rightarrow\quad \sin(φ+65{,}38°)=\frac{5\:cm}{{|\overline{SP_n}|}}$

nach Äquivalenzumformung (Multiplikation mit $\color{blue}|\overline{SP_n}|$ und Division durch $\color{blue}\sin(φ+65{,}38°)$ ) folgt

${{\mathbf{|\overline {SP_n}|(φ)=\dfrac{5}{\sin(φ+65{,}38°)}\:cm}}}$

ges.:

1. Pyramide $AP_1SC$ mit C als Spitze $\Rightarrow h≙ |\overline{MC}|=4\:cm$

2. . Volumen $V(\varphi)$ der Pyramiden $AP_nSC$

Ansatz und Rechnung:

1. Pyramide $AP_1SC$ siehe Skizze in Aufgabe B a)

2. Volumen der Pyramiden $AP_nSC$

$\mathbf{V_{\text{Pyr}}=\frac{1}{3}\cdot G_{AP_nS}\cdot h}$

$G_{AP_nS}$ mithilfe Sinussatz: $\mathbf{{G=\frac{1}{2}\cdot c \cdot b \cdot \sin(α)}}$

$\Rightarrow G_{AP_nS}=\frac{1}{2}\cdot {|\overline{AS}|\cdot {|\overline{SP_n}|(\varphi)}}\cdot\sin(\varphi)$

mit $h≙MC=4\:cm$, ${|\overline{AS}|}=5{,}5\:cm$ und ${{|\overline{SP_n}|}}(\varphi)= \frac{5}{\sin(65{,}38°+φ)}cm$

eingestzt in $V_{\text{Pyr}}$ ergibt das

$\Rightarrow\quad V_{\text{Pyr}}(\varphi)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot {|\overline{AS}|\cdot {|\overline{SP_n}|(\varphi)}}\cdot\sin(\varphi)\cdot 4$

$\Rightarrow\quad V_{\text{Pyr}}(\varphi)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot5{,}5\cdot\frac{5}{\sin(65{,}38°+φ)}\cdot\sin(\varphi)\cdot 4 \: [cm^3]$ mit $φ\in]0°;61{,}18°]$

$\Rightarrow\quad \mathbf{V_{\text{Pyr}}(\varphi)=18{,}33\cdot\frac{sin(\varphi)}{\sin(65{,}38°+φ)}}\: [cm^3]$

geg.: $y=-2\cdot \log_{0{,}5}({x+3})+1{,}5\qquad$jeweils mit $x,y\in\mathbb{R}$

Anwendung der Identität von $\log_{0{,}5}(...)\:≙\:\log_\frac{1}{2}(...)\:≙-\log_{2}(...)$ auf $f_1$

$\Rightarrow y=-2\cdot({-\log_{2}}{(x+3))+1{,}5}$

$\Rightarrow y=2\cdot\log_{2}{(x+3)+1{,}5}$

Für die Zeichung gilt: $LE ≙ 1 cm;\quad −3\leq x\leq{5};\quad −3\leq {y}\leq {8}$

ges.:

1. Wertemenge $W$ von $f_1$

2. Gleichung der Asymptote $h$ des Graphen von $f_1$ für $x\in[-2{,}5;5]$

Ansatz und Rechnung:

1. Wertemenge: $\mathbb{W}=\mathbb{R}$

2. Graph: gezeichnet mit https://www.mathway.com

geg.: Funktionsgraph $f_1$; Verschiebungsvektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1\\ 5 \end{pmatrix}$

ges.: $f_2$ (=gespiegelte und parallel verschobene $f_1$) mit Graph

Ansatz und Rechnung:

1. Spiegelung $f_1$ an x-Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit $\mathbf−1$

$\Rightarrow {\begin{pmatrix} x^{'}\\y^{'} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\-1\cdot(-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)+1{,}5}\end{pmatrix}}\qquad x, x‘,y‘\in \mathbb {R}$

$x'=x$ einsetzen in $y'$ :

$\Rightarrow \quad \mathbf{f_{1\:\text{gespiegelt}}: y^{'}=2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)-1{,}5}}$

Jetzt kann man natürlich wieder $y'$ in $y$ umbenennen:

$\hphantom{\Rightarrow} \quad \mathbf{f_{1\:\text{gespiegelt}}: y=2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)-1{,}5}}$

2. Parallelverschiebung der gespiegelten Funktion durch Vektoraddition

mit $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1\\ 5 \end{pmatrix}$

$\Rightarrow\quad {\begin{pmatrix} x^{'}\\y^{'} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\2\cdot \log_{0{,}5}{(x +3)-1{,}5}\end{pmatrix}} ⊕ \begin{pmatrix} -1\\ 5 \end{pmatrix}\qquad x, x‘,y‘\in \mathbb {R}$

$x'=x-1\quad \Rightarrow x=x'+1\qquad$eingesetzt in $y'$

$y^{'}=2\cdot \log_{0{,}5}{(x+1+3)-1{,}5+5}=2\cdot \log_{0{,}5}{(x+4)+3{,}5}\qquad \mathbb {G}={\R}x{\R}$

Jetzt wird wieder $y'$ in $y$ umbenannt:

$\Rightarrow f_2:\quad y=2\cdot \log_{0{,}5}{(x+4)+3{,}5}\qquad x, y\in \mathbb {R}$

Anwendung der Identität von $\log_{0{,}5}(...)\quad ≙\quad \log_\frac{1}{2}(...)\quad ≙\quad -\log_{2}(...)$

$\Rightarrow \quad \mathbf{f_{2\:verschoben}\mathbf {\quad y=-2\cdot \log_{2}{(x+4)+3{,}5}}}$

3. Einzeichnen des Graphen zu $f_2$ für $x\in[−3;5]:$

Graph wurde gezeichnet mit https://www.mathway.com

geg.: $A_n (x│-2\cdot\log_{0{,}5}({x+3})+1{,}5)$ auf $f_1$ und $C_n (x│2\cdot\log_{0{,}5}({x+4})+3{,}5)$ auf $f_2$ sind für $x>-1{,}26$ mit den Punkten $B_n$ und $D_n$ die Eckpunkte von Drachenvierecken $A_nB_nC_nD_n$ mit den Symmetrieachsen $A_nC_n$

ges.: Zeichnung der Drachenvierecke $A_1B_1C_1D_1$ für $x=−1$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x=3$ mit ihren Diagonalen $A_nC_n$ und $B_nD_n$ ins KOSY

Ansatz & Rechnung:

1. Eckpunkte $A_1$ und $C_1$ für $x=−1$ sowie $A_2$ und $C_2$ für $x=3$ berechnen und einzeichnen.

Unter Berücksichtigung der Identität von $\log_{0{,}5}(...)\quad ≙\quad \log_\frac{1}{2}(...)\quad ≙\quad -\log_{2}(...)$

$A_1:y=-2\cdot \log_{0{,}5}{(-1+3)}+1{,}5=-2\cdot (-\log_{2}(2)+1{,}5=-2\cdot(-1)+1{,}5=3{,}5$

$A_2:y=-2\cdot \log_{0{,}5}{(3+3)}+1{,}5=-2\cdot (-\log_{2}(6)+1=-2\cdot(-2{,}58)+1{,}5=6{,}66$

$C_1:y=2\cdot \log_{0{,}5}{(-1+4)}+3{,}5=2\cdot (-\log_{2}(3)+3{,}5=2\cdot(-1{,}58)+3{,}5=0{,}34$

$C_2:y=2\cdot \log_{0{,}5}{(3+4)}+3{,}5=2\cdot (-\log_{2}(7)+3{,}5=2\cdot(-2{,}81)+3{,}5=-2{,}12$

$\Rightarrow \quad$$\mathbf{A_1 (-1│3{,}5) \qquad C_1 (-1│0{,}34)\qquad A_2 (3|6{,}66)\qquad C_2(3│-2{,}12)}$

Diagonalen $A_1 C_1=e$ und $A_2 C_2=f$ einzeichnen.

2. Eckpunkte $B_1,B_2$ sowie $D_1,D_2$ berechnen und einzeichnen:

aus Vektor $\overrightarrow {A_n B_n}=\begin{pmatrix} -2\\-2{,}5 \end{pmatrix}$ ergeben sich die $x-$ und $y-$Komponenten für die Abstandsverhältnisse der Punkte $B_n =−2 LE$ Abstand von Diagonale $f$ und $−2{,}5 LE$ Abstand von $A_n$, siehe nachfolgende Zeichnung.

Damit ergeben sich die Koordinaten von $B_n$ und $D_n$ wie folgt:

aus $A_1 (-1|3{,}5): \quad \Rightarrow B_1(-1-2│3{,}5-2{,}5) \Rightarrow B_1 (-3│1)$

aus $A_2 (3|6{,}66): \quad \Rightarrow B_2(3-2|6{,}66-2{,}5) \Rightarrow B_2 (1|4{,}16)$

$D_n$ liegen spiegelbildlich zu $B_n$, d.h. $x-$Komponenten der $B_n$ werden mit $(2+2)=+4 LE$ berechnet:

aus $B_1 (-3│1): \quad\Rightarrow D_1 (-3+4│1) \Rightarrow D_1 (1│1)$

aus $B_2(1|4{,}16):\quad \Rightarrow D_2(1+4|4{,}16) \Rightarrow D_2 (5|4{,}16)$

Graphen $f_1$ und $f_2$ gezeichnet mit https://www.mathway.com,

Drachenvierecke $A_1B_1C_1D_1$ und $A_2B_2C_2D_2$ mit den zuvor berechneten Werten einzeichnen

geg.: Punkte $A_n$ auf $f_1: y=-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)+1{,}5}$ ;

Punkte $C_n$ auf $f_2: y=2\cdot \log_{0{,}5}{(x+4)+3{,}5}$;

ges.: $|\overline {A_n C_n}|(x)$

Ansatz und Rechnung:

$|\overline {A_n C_n}|=f_1(x)-f_2(x)$

$|\overline {A_n C_n}|(x)=[-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)+1{,}5}]-[2\cdot \log_{0{,}5}{(x+4)+3{,}5}]$

$|\overline {A_n C_n}|(x)=-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)+1{,}5}-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+4)-3{,}5}$

$|\overline {A_n C_n}|(x)=-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)}-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+4)-2}$

$|\overline {A_n C_n}|(x)=-2\cdot [\log_{0{,}5}{(x+3)}+ \log_{0{,}5}{(x+4)]-2}$

mit 1. Logarithmusgesetz: $\log_{a}{(x)}+\log_{a}{(y)}=\log_{a}{(x\cdot y)}$ folgt:

$|\overline {A_n C_n}|(x)=-2\cdot \log_{0{,}5}[{(x+3)}\cdot (x+4)]-2$

$\mathbf{{|\overline {A_n C_n}|(x)=-2\cdot \log_{0{,}5}({x^{2}+7x+12)}}-2}\quad LE\qquad x\in \mathbb{R};\quad x>-1{,}26$

geg.: Drachenviereck $A_3B_3C_3D_3$ wird Raute

ges.: $x-$Koordinate von Punkt $A_3(x|y)$

Ansatz und Rechnung:

Bei einer Raute halbieren sich die Diagonalen. Die Entfernung von $A_3$ zum Schnittpunkt $M$ beträgt $2{,}5LE$.

Daher ist $|\overline {A_3 C_3}|= 2\cdot2{,}5LE$ .

siehe Daten aus Aufgabe B_3c und B_3d

$\Rightarrow -2\cdot \log_{0{,}5}({x^{2}+7x+12)}-2≙2\cdot2{,}5LE \qquad x\in \mathbb{R};\quad x>-1{,}26\\$$\Rightarrow -2\cdot\log_{0{,}5}({x^{2}+7x+12)}-2=5$ | $:(-2)$

$\Rightarrow \log_{0{,}5}({x^{2}+7x+12)}+1=-2{,}5$ | $+2{,}5$

Anwendung der Identität von $\log_\frac{1}{a}(x) ≙-\log_{a}(x)$

$\Rightarrow -\log_{2}({x^{2}+7x+12)}+3{,}5=0$ |$\cdot(-1)$

$\Rightarrow \log_{2}({x^{2}+7x+12)}-3{,}5=0$ | Logarithmus in Potenz umwandeln

$x=\log_{a}{(y)\Leftrightarrow}y=a^x\\$$\Rightarrow x^{2}+7x+12-2^{3{,}5}=0$ | Potenz ausrechnen

$\Rightarrow x^{2}+7x+12=11{,}31$ | $-11{,}31$

$\mathbf{\Rightarrow x^{2}+7x+0{,}69=0}\\$

a-b-c-Formel ("Mitternachtsformel") anwenden: $x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

1. Diskriminante berechnen mit $a=1$, $b=7$, $c=0{,}69$:

$\mathbf {D=b^2 -4\cdot a\cdot c}=7^2 -4\cdot 1\cdot 0{,}69=49-2{,}76=46{,}24$

$\Rightarrow \mathbf{D>0} \Leftrightarrow$ 2 Lösungen

2. D in a-b-c-Formel einsetzen:

$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-7\pm\sqrt{46{,}24}}{2}=\frac{-7\pm 6{,}8}{2}$

$\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{-7+ 6{,}8}{2}=-\frac{0{,}2}{2}=-0{,}1$

$\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{-7- 6{,}8}{2}=-\frac{13{,}8}{2}=-6{,}9$ Wegen $x>-1{,}26$ fällt diese Lösung weg.

Die $x$-Koordinate von $A_3$ ist also $-0{,}1$.

geg.: Zur Berechnung der Punkte $B_n$ werden die $x-$ und $y-$Komponenten der Gleichungen $f_1$ und $f_2$ jeweils mit den Koordinaten von $\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix} -2 \\ -2{,}5 \end{pmatrix}$ ergänzt.

Abstand der Punkte $A_n$ zu $B_n$ ist $-2LE$;

Abstand der Punkte $A_n$ zu Diagonale $f$ ist $-2{,}5LE$

Die Punkte $D_n$ liegen spiegelbildlich zur Ordinatenachse, also $+2LE$ von Diagonale $f$ und $-2{,}5LE$ von den Punkten $A_n$

ges.: Trägergraph $t$ für Punkte $B_n$ und Trägergraph $k$ für Punkte $Dn$.

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung $t$ von $B_n$ mithilfe von

$f_1$: $y=-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)+1{,}5}$ und $\mathbf{\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix} -2 \\ -2{,}5 \end{pmatrix}}$

$x_{B_n}=x-2\qquad \Rightarrow x=x_{B_n}+2$

$\wedge \quad y_{B_n}=-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)+1{,}5}-2{,}5\qquad x_{Bn},\:y_{Bn},\: x\in \mathbb{R};\quad x>-1{,}26$

$x$ in $y_{B_n}$ einsetzen:

$y_{B_n}= -2\cdot \log_{0{,}5}{(x_{B_n}+2+3)+1{,}5}-2{,}5$