Nachtermin Teil B

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1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B1
Pfeile $\vec{O P_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} 5 - \sin φ \\ 2 \cdot \cos φ \end{array})$ und $\vec{O Q_{n}}$ mit $O (0 | 0)$ spannen für $φ \in [0^{\circ}; 360^{\circ}]$ gleichschenklige Dreiecke $O P_{n} Q_{n}$ mit den Basen $P_{n} Q_{n}$ auf. Die Gerade $s$ mit der Gleichung $y = x (x, y \in ℝ)$ ist die Symmetrieachse der Dreiecke $O P_{n} Q_{n}$ .
In das Koordinatensystem ist das Dreieck $O P_{1} Q_{1}$ für $φ = 60^{\circ}$ bereits eingezeichnet.
1. Geben Sie die Koordinaten des Pfeils $\vec{O P_{2}}$ für $φ = 220^{\circ}$ an und zeichnen Sie das Dreieck $O P_{2} Q_{2}$ in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein.
  Runden Sie auf eine Nachkommastelle. (2 P)
  
  geg.: gleichschenkliges Dreieck $O P_{1} Q_{1}$ mit $φ = 60 °$ und Symmetrieachse $S : y = x$
  ges.: Koordinaten $\vec{O P_{2}}$ und Zeichnung $△ O P_{2} Q_{2}$ für $φ = 220^{\circ}$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Koordinaten von $\vec{O P_{2}} (φ = 220^{\circ})$
  $\vec{O P_{2}} (φ = 220^{\circ}) = (\begin{array}{c} 5 - \sin (220 °) \\ 2 \cdot \cos (220 °) \end{array}) \approx (\begin{array}{c} 5 - (- 0,643) \\ 2 \cdot (- 0,766) \end{array})$
  $= (\begin{array}{c} 5,643 \\ - 1,532 \end{array}) \approx (\begin{array}{c} 5,6 \\ - 1,5 \end{array})$
  2. Zeichnung $△ O P_{2} Q_{2}$
  $\vec{O P_{2}} (φ = 220^{\circ}) = (\begin{array}{c} 5,6 \\ - 1,5 \end{array})$ einzeichnen; $Q_{2}$ symmetrisch zur Symmetrieachse $S : y = x$
  Zeichnung der Dreiecke $O P_{1} Q_{1}$ mit $φ = 60 °$ und $O P_{2} Q_{2}$ mit $φ = 220 °$
  Skizze mit dem Dreieck $O P_{2} Q_{2}$ .
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  Koordinaten berechnen, gleichschenkliges Dreieck zeichnen
2. Für die Dreiecke $O P_{3} Q_{3}$ und $O P_{4} Q_{4}$ gilt: $∢ P_{3} O Q_{3} = ∢ P_{4} O Q_{4} = 90^{\circ}$ .
  Bestimmen Sie die zugehörigen Werte von $φ$ . (2 P)
  
  geg.: gleichschenklige Dreiecke $O P_{3} Q_{3}$ und $O P_{4} Q_{4}$ mit $∢ P_{3} O Q_{3} = ∢ P_{4} O Q_{4} = 90^{\circ}$
  ges.: Wert $φ$
  Ansatz & Rechnung
  Setze für beide Dreiecke $O P_{3} Q_{3}$ und $O P_{4} Q_{4}$ die $y$ -Komponente von $\vec{O P_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} 5 - \sin φ \\ \blue 2 \cdot \cos φ \end{array})$ gleich null:
  $y_{P 3, P 4} = 0 = \blue 2 \cdot \cos φ$ für $φ \in [0 °; 360 °]$
  $\Rightarrow$ im Bereich $φ \in [0 °; 360 °]$ ist die Gleichung erfüllt für $c o s (\frac{π}{2}) ≙ 0$ und für $c o s (\frac{3}{2} π) ≙ 0$
  Damit muss $φ = 90 °$ oder $φ = 270 °$ sein.
  $𝕃 = {90^{\circ}; 270^{\circ}}$
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  Bestimme $φ$ durch den Vektor $O P_{n} (φ)$ . Wenn der Winkel im Punkt $O$ $90^{\circ}$ ist, dann muss der Vektor auf der x-Achse liegen. Setze also den $y$ -Wert des Vektors gleich 0.
3. Begründen Sie, weshalb es unter den Dreiecken $O P_{n} Q_{n}$ kein Dreieck $O P_{5} Q_{5}$ mit $P_{5} (3 | 3)$ gibt. (1 P)
  
  Nachweis
  Der Punkt $P_{5} (3 | 3)$ liegt auf der Symmetrieachse, die durch $y = x$ gegeben ist.
  Wenn $P_{5} (3 | 3)$ auf der Symmetrieachse $s$ liegt, liegen auch $Q_{5}$ und $O$ darauf. Das ergibt kein Dreieck.
  $\Rightarrow$ Es gibt kein Dreieck $O P_{5} Q_{5}$ mit $P_{5} (3 | 3)$
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  Skizziere den Punkt in das Koordinatensystem.
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B2
Das gleichschenklige Dreieck $A B C$ mit der Basis $A B$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C S$ mit der Höhe $R S (R \in A B)$ .
Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Basis $A B$ .
Es gilt: $A B = 6 cm$ ; $M C = 4 cm$ ;
$A S = 5,5 cm$ ; $R S = 5 cm$ .
Die Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C S$ .
In der Zeichnung gilt:
$q = \frac{1}{2}$ ; $ω = 45^{\circ}$ ; $A B$ liegt auf der Schrägbildachse.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Berechnen Sie das Maß des Winkels $B A S$ . (1 P)
  $[$ Ergebnis: $∢ B A S = {65,38}^{\circ}]$
  
  geg.: $△ A B C$ gleichschenklig mit Basis $A B = 6 c m$ , als Grundfläche der Pyramide ABCS,
  $h_{P y r a m i d e} = R S = 5 c m$ (mit $R \in A B$ , $M =$ Mittelpunkt $A B$ ;
  Schrägbild mit Schrägbildachse $A B$ , mit $q = 0,5$ und $ω = 45 °$ ;
  $| M C | = 4 c m$ ; $| A S | = 5,5 c m$ ;
  ges.: Zeichnung aus Aufgabenstellung ergänzen, $∢ B A S$ berechnen
  Ansatz und Rechnung:
  1. Schrägbild der Pyramide ergänzen:
  Schrägbild Pyramide ABCS
  2. Winkel BAS berechnen:
  aus Zeichnung $∢ B A S ≙ ∢ R A S$ ; Berechnung $∢ B A S$ mithilfe Sinus
  $\Rightarrow \sin ∢ B A S = [\frac{G K}{H Y}] = \frac{R S}{A S} = \frac{5}{5,5} = 0,9090$
  $\Rightarrow ∢ 𝐁 𝐀 𝐒 = 𝟔𝟓,𝟑𝟖 °$
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  Zeichnung mit gegebenen Werten ergänzen und Winkel BAS berechnen
2. Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke $A B$ . Die Winkel $A S P_{n}$ haben das Maß $φ$ mit
  $φ \in] 0^{\circ}; {61,18}^{\circ}]$ .
  Zeichnen Sie die Strecke $S P_{1}$ für $φ = 45^{\circ}$ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein.
  Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken $S P_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt:
  $| S P_{n} | (φ) = \frac{5}{\sin ({65,38}^{\circ} + φ)} cm .$ (2,5 P)
  
  geg.: $∢ A S P_{n} = φ$ mit $φ \in] 0 °; 61,18 °]$
  ges.:
  1. Einzeichnung Strecke $S P_{1}$ für $φ = 45 °$ in das Schrägbild der Pyramide
  2. Berechnung $S P_{n} (φ)$ mit Sinus-Supplementwinkel-Beziehung
  Ansatz und Rechnung:
  1. Schenkel in $S$ mit $45 °$ an Strecke $A S$ schneidet Strecke $A B$ in $P_{1}$
  Schrägbild Pyramide mit Strecke $S P_{1}$
  2. Berechnung $S P_{n} (φ)$ mit Sinus-Supplementwinkel-Beziehung
  $\sin (180 ° - (φ + ∢ B A S)) = \frac{| R S |}{| S P_{n} |} = \frac{5 c m}{| S P_{n} |}$ für $φ \in] 0 °; 61,18 °]$
  Entsprechend der Supplementwinkel-Beziehung $\sin (180 ° - α) = \sin (α)$
  ergibt sich für $\sin (180 ° - (φ + ∢ B A S)) = \sin (φ + ∢ B A S)$
  $\Rightarrow \sin (φ + 65,38 °) = \frac{5 c m}{| S P_{n} |}$
  nach Äquivalenzumformung (Multiplikation mit $| S P_{n} |$ und Division durch $\sin (φ + 65,38 °)$ ) folgt
  $| 𝐒 𝐏_{𝐧} | (𝛗) = \frac{𝟓}{\sin (𝛗 + 𝟔𝟓,𝟑𝟖 °)} 𝐜 𝐦$
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  Pyramide mit gegebenen Werten ergänzen,
  Streckenberechnung mithilfe der Sinus-Supplementwinkel-Beziehung
3. Die Dreiecke $A P_{n} S$ sind die Grundflächen von Pyramiden $A P_{n} S C$ mit der Spitze $C$ .
  Zeichnen Sie die Pyramide $A P_{1} S C$ in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein.
  Berechnen Sie sodann das Volumen $V$ der Pyramiden $A P_{n} S C$ in Abhängigkeit von $φ$ . (2,5 P)
  
  ges.:
  1. Pyramide $A P_{1} S C$ mit C als Spitze $\Rightarrow h ≙ | M C | = 4 c m$
  2. . Volumen $V (φ)$ der Pyramiden $A P_{n} S C$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Pyramide $A P_{1} S C$ siehe Skizze in Aufgabe B a)
  2. Volumen der Pyramiden $A P_{n} S C$
  $𝐕_{Pyr} = \frac{𝟏}{𝟑} \cdot 𝐆_{𝐀 𝐏_{𝐧} 𝐒} \cdot 𝐡$
  $G_{A P_{n} S}$ mithilfe Sinussatz: $𝐆 = \frac{𝟏}{𝟐} \cdot 𝐜 \cdot 𝐛 \cdot \sin (𝛂)$
  $\Rightarrow G_{A P_{n} S} = \frac{1}{2} \cdot | A S | \cdot | S P_{n} | (φ) \cdot \sin (φ)$
  mit $h ≙ M C = 4 c m$ , $| A S | = 5,5 c m$ und $| S P_{n} | (φ) = \frac{5}{\sin (65,38 ° + φ)} c m$
  eingestzt in $V_{Pyr}$ ergibt das
  $\Rightarrow V_{Pyr} (φ) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot | A S | \cdot | S P_{n} | (φ) \cdot \sin (φ) \cdot 4$
  $\Rightarrow V_{Pyr} (φ) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 5,5 \cdot \frac{5}{\sin (65,38 ° + φ)} \cdot \sin (φ) \cdot 4 [c m^{3}]$ mit $φ \in] 0 °; 61,18 °]$
  $\Rightarrow 𝐕_{Pyr} (𝛗) = 𝟏𝟖,𝟑𝟑 \cdot \frac{𝐬 𝐢 𝐧 (𝛗)}{\sin (𝟔𝟓,𝟑𝟖 ° + 𝛗)} [c m^{3}]$
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  Pyramide $A P_{1} S C$ zeichnen und Volumen $V (φ)$ berechnen
3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B3
Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5$ und $x$ , $y \in ℝ$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Geben Sie die Wertemenge der Funktion $f_{1}$ und die Gleichung der Asymptote $h$ des Graphen zu $f_{1}$ an.
  Zeichnen Sie zudem den Graphen zu $f_{1}$ für $x \in [- 2,5; 5]$ in ein Koordinatensystem ein. (3 P)
  Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 3 \leq x \leq 5; - 3 \leq y \leq 8$
  
  geg.: $y = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5$ jeweils mit $x, y \in ℝ$
  Anwendung der Identität von $\log_{0,5} (. . .) ≙ \log_{\frac{1}{2}} (. . .) ≙ - \log_{2} (. . .)$ auf $f_{1}$
  $\Rightarrow y = - 2 \cdot (- \log_{2} (x + 3)) + 1,5$
  $\Rightarrow y = 2 \cdot \log_{2} (x + 3) + 1,5$
  Für die Zeichung gilt: $L E ≙ 1 c m; - 3 \leq x \leq 5; - 3 \leq y \leq 8$
  ges.:
  1. Wertemenge $W$ von $f_{1}$
  2. Gleichung der Asymptote $h$ des Graphen von $f_{1}$ für $x \in [- 2,5; 5]$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Wertemenge: $𝕎 = ℝ$
  2. Graph: gezeichnet mit https://www.mathway.com
  Graph von $f_{1}$ mit Asymptote $h$
  
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  Schreibe den Logarithmus auf einen mit der Basis $2$ um.
  Benutze, dass alle Logarithmen bei Null eine senkrechte Asymptote haben.
2. Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse sowie
  anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \end{array})$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet.
  Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{2}$ die Gleichung $y = 2 \cdot \log_{0,5} (x + 4) + 3,5$ $(x, y \in ℝ)$ besitzt und zeichnen Sie den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 3; 5]$ in das Koordinatensystem zu a) ein. (3 P)
  
  geg.: Funktionsgraph $f_{1}$ ; Verschiebungsvektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \end{array})$
  ges.: $f_{2}$ (=gespiegelte und parallel verschobene $f_{1}$ ) mit Graph
  Ansatz und Rechnung:
  1. Spiegelung $f_{1}$ an x-Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit $- 1$
  $\Rightarrow (\begin{array}{c} x^{^{'}} \\ y^{^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ - 1 \cdot (- 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5 \end{array}) x, x ‘, y ‘ \in ℝ$
  $x^{'} = x$ einsetzen in $y^{'}$ :
  $\Rightarrow 𝐟_{𝟏 gespiegelt} : 𝐲^{^{'}} = 𝟐 \cdot \log_{𝟎,𝟓} (𝐱 + 𝟑) - 𝟏,𝟓$
  Jetzt kann man natürlich wieder $y^{'}$ in $y$ umbenennen:
  $𝐟_{𝟏 gespiegelt} : 𝐲 = 𝟐 \cdot \log_{𝟎,𝟓} (𝐱 + 𝟑) - 𝟏,𝟓$
  2. Parallelverschiebung der gespiegelten Funktion durch Vektoraddition
  mit $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \end{array})$
  $\Rightarrow (\begin{array}{c} x^{^{'}} \\ y^{^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) - 1,5 \end{array}) \oplus︎ (\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \end{array}) x, x ‘, y ‘ \in ℝ$
  $x^{'} = x - 1 \Rightarrow x = x^{'} + 1$ eingesetzt in $y^{'}$
  $y^{^{'}} = 2 \cdot \log_{0,5} (x + 1 + 3) - 1,5 + 5 = 2 \cdot \log_{0,5} (x + 4) + 3,5 𝔾 = ℝ x ℝ$
  Jetzt wird wieder $y^{'}$ in $y$ umbenannt:
  $\Rightarrow f_{2} : y = 2 \cdot \log_{0,5} (x + 4) + 3,5 x, y \in ℝ$
  Anwendung der Identität von $\log_{0,5} (. . .) ≙ \log_{\frac{1}{2}} (. . .) ≙ - \log_{2} (. . .)$
  $\Rightarrow 𝐟_{𝟐 𝐯 𝐞 𝐫 𝐬 𝐜 𝐡 𝐨 𝐛 𝐞 𝐧} 𝐲 = - 𝟐 \cdot \log_{𝟐} (𝐱 + 𝟒) + 𝟑,𝟓$
  3. Einzeichnen des Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 3; 5] :$
  Graph wurde gezeichnet mit https://www.mathway.com
  Graph von $f_{2}$
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  1. Spiegelung von $f_{1}$ an x-Achse;
  2. Parallelverschiebung von $f_{1}$ ;
  3. Graph der gespiegelten und verschobenen Funktion $f_{2}$ ins KOSY einzeichnen
3. Punkte $A_{n} (x | - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $C_{n} (x | 2 \cdot \log_{0,5} (x + 4) + 3,5)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ . Sie sind für $x > - 1,26$ zusammen mit Punkten $B_{n}$ und $D_{n}$ die Eckpunkte von Drachenvierecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ mit den Symmetrieachsen $A_{n} C_{n}$ .
  Es gilt: $\vec{A_{n} B_{n}} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2,5 \end{array})$ .
  Zeichnen Sie die Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 3$ mit ihren Diagonalen in das Koordinatensystem zu a) ein. (2 P)
  
  geg.: $A_{n} (x │ - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5)$ auf $f_{1}$ und $C_{n} (x │ 2 \cdot \log_{0,5} (x + 4) + 3,5)$ auf $f_{2}$ sind für $x > - 1,26$ mit den Punkten $B_{n}$ und $D_{n}$ die Eckpunkte von Drachenvierecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ mit den Symmetrieachsen $A_{n} C_{n}$
  ges.: Zeichnung der Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 3$ mit ihren Diagonalen $A_{n} C_{n}$ und $B_{n} D_{n}$ ins KOSY
  Ansatz & Rechnung:
  1. Eckpunkte $A_{1}$ und $C_{1}$ für $x = - 1$ sowie $A_{2}$ und $C_{2}$ für $x = 3$ berechnen und einzeichnen.
  Unter Berücksichtigung der Identität von $\log_{0,5} (. . .) ≙ \log_{\frac{1}{2}} (. . .) ≙ - \log_{2} (. . .)$
  $A_{1} : y = - 2 \cdot \log_{0,5} (- 1 + 3) + 1,5 = - 2 \cdot (- \log_{2} (2) + 1,5 = - 2 \cdot (- 1) + 1,5 = 3,5$
  $A_{2} : y = - 2 \cdot \log_{0,5} (3 + 3) + 1,5 = - 2 \cdot (- \log_{2} (6) + 1 = - 2 \cdot (- 2,58) + 1,5 = 6,66$
  $C_{1} : y = 2 \cdot \log_{0,5} (- 1 + 4) + 3,5 = 2 \cdot (- \log_{2} (3) + 3,5 = 2 \cdot (- 1,58) + 3,5 = 0,34$
  $C_{2} : y = 2 \cdot \log_{0,5} (3 + 4) + 3,5 = 2 \cdot (- \log_{2} (7) + 3,5 = 2 \cdot (- 2,81) + 3,5 = - 2,12$
  $\Rightarrow$ $𝐀_{𝟏} (- 𝟏 │ 𝟑,𝟓) 𝐂_{𝟏} (- 𝟏 │ 𝟎,𝟑𝟒) 𝐀_{𝟐} (𝟑 | 𝟔,𝟔𝟔) 𝐂_{𝟐} (𝟑 │ - 𝟐,𝟏𝟐)$
  Diagonalen $A_{1} C_{1} = e$ und $A_{2} C_{2} = f$ einzeichnen.
  2. Eckpunkte $B_{1}, B_{2}$ sowie $D_{1}, D_{2}$ berechnen und einzeichnen:
  aus Vektor $\vec{A_{n} B_{n}} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2,5 \end{array})$ ergeben sich die $x -$ und $y -$ Komponenten für die Abstandsverhältnisse der Punkte $B_{n} = - 2 L E$ Abstand von Diagonale $f$ und $- 2,5 L E$ Abstand von $A_{n}$ , siehe nachfolgende Zeichnung.
  Damit ergeben sich die Koordinaten von $B_{n}$ und $D_{n}$ wie folgt:
  aus $A_{1} (- 1 | 3,5) : \Rightarrow B_{1} (- 1 - 2 │ 3,5 - 2,5) \Rightarrow B_{1} (- 3 │ 1)$
  aus $A_{2} (3 | 6,66) : \Rightarrow B_{2} (3 - 2 | 6,66 - 2,5) \Rightarrow B_{2} (1 | 4,16)$
  $D_{n}$ liegen spiegelbildlich zu $B_{n}$ , d.h. $x -$ Komponenten der $B_{n}$ werden mit $(2 + 2) = + 4 L E$ berechnet:
  aus $B_{1} (- 3 │ 1) : \Rightarrow D_{1} (- 3 + 4 │ 1) \Rightarrow D_{1} (1 │ 1)$
  aus $B_{2} (1 | 4,16) : \Rightarrow D_{2} (1 + 4 | 4,16) \Rightarrow D_{2} (5 | 4,16)$
  Graphen $f_{1}$ und $f_{2}$ gezeichnet mit https://www.mathway.com,
  Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ mit den zuvor berechneten Werten einzeichnen
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  Eckpunkte $A_{1}$ und $C_{1}$ sowie $A_{2}$ und $C_{2}$ der Drachenvierecke berechnen und ins KOSY einzeichnen;
  Eckpunkte $B_{1}$ und $B_{2}$ sowie $D_{1}$ und $D_{2}$ der Drachenvierecke berechnen und ins KOSY einzeichenen
4. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $A_{n} C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $| A_{n} C_{n} | (x) = [- 2 \cdot \log_{0,5} (x^{2} + 7 x + 12) - 2] LE$ . (2 P)
  
  geg.: Punkte $A_{n}$ auf $f_{1} : y = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5$ ;
  Punkte $C_{n}$ auf $f_{2} : y = 2 \cdot \log_{0,5} (x + 4) + 3,5$ ;
  ges.: $| A_{n} C_{n} | (x)$
  Ansatz und Rechnung:
  $| A_{n} C_{n} | = f_{1} (x) - f_{2} (x)$
  $| A_{n} C_{n} | (x) = [- 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5] - [2 \cdot \log_{0,5} (x + 4) + 3,5]$
  $| A_{n} C_{n} | (x) = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5 - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 4) - 3,5$
  $| A_{n} C_{n} | (x) = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 4) - 2$
  $| A_{n} C_{n} | (x) = - 2 \cdot [\log_{0,5} (x + 3) + \log_{0,5} (x + 4)] - 2$
  mit 1. Logarithmusgesetz: $\log_{a} (x) + \log_{a} (y) = \log_{a} (x \cdot y)$ folgt:
  $| A_{n} C_{n} | (x) = - 2 \cdot \log_{0,5} [(x + 3) \cdot (x + 4)] - 2$
  $| 𝐀_{𝐧} 𝐂_{𝐧} | (𝐱) = - 𝟐 \cdot \log_{𝟎,𝟓} (𝐱^{𝟐} + 𝟕 𝐱 + 𝟏𝟐) - 𝟐 L E x \in ℝ; x > - 1,26$
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  Berechnung der Strecke $| A_{n} C_{n} | (x)$
5. Das Drachenviereck $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ ist eine Raute.
  Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes $A_{3}$ . (3 P)
  
  geg.: Drachenviereck $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ wird Raute
  ges.: $x -$ Koordinate von Punkt $A_{3} (x | y)$
  Ansatz und Rechnung:
  Bei einer Raute halbieren sich die Diagonalen. Die Entfernung von $A_{3}$ zum Schnittpunkt $M$ beträgt $2,5 L E$ .
  Daher ist $| A_{3} C_{3} | = 2 \cdot 2,5 L E$ .
  siehe Daten aus Aufgabe B_3c und B_3d
  $\begin{array}{l} \Rightarrow - 2 \cdot \log_{0,5} (x^{2} + 7 x + 12) - 2 ≙ 2 \cdot 2,5 L E x \in ℝ; x > - 1,26 \end{array}$ $\Rightarrow - 2 \cdot \log_{0,5} (x^{2} + 7 x + 12) - 2 = 5$ | $: (- 2)$
  $\Rightarrow \log_{0,5} (x^{2} + 7 x + 12) + 1 = - 2,5$ | $+ 2,5$
  Anwendung der Identität von $\log_{\frac{1}{a}} (x) ≙ - \log_{a} (x)$
  $\Rightarrow - \log_{2} (x^{2} + 7 x + 12) + 3,5 = 0$ | $\cdot (- 1)$
  $\Rightarrow \log_{2} (x^{2} + 7 x + 12) - 3,5 = 0$ | Logarithmus in Potenz umwandeln
  $\begin{array}{l} x = \log_{a} (y) \Leftrightarrow y = a^{x} \end{array}$ $\Rightarrow x^{2} + 7 x + 12 - 2^{3,5} = 0$ | Potenz ausrechnen
  $\Rightarrow x^{2} + 7 x + 12 = 11,31$ | $- 11,31$
  $\begin{array}{l} \Rightarrow 𝐱^{𝟐} + 𝟕 𝐱 + 𝟎,𝟔𝟗 = 𝟎 \end{array}$
  a-b-c-Formel ("Mitternachtsformel") anwenden: $x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
  1. Diskriminante berechnen mit $a = 1$ , $b = 7$ , $c = 0,69$ :
  $𝐃 = 𝐛^{𝟐} - 𝟒 \cdot 𝐚 \cdot 𝐜 = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0,69 = 49 - 2,76 = 46,24$
  $\Rightarrow 𝐃 > 𝟎 \Leftrightarrow$ 2 Lösungen
  2. D in a-b-c-Formel einsetzen:
  $x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 7 \pm \sqrt{46,24}}{2} = \frac{- 7 \pm 6,8}{2}$
  $\Rightarrow x_{1} = \frac{- 7 + 6,8}{2} = - \frac{0,2}{2} = - 0,1$
  $\Rightarrow x_{2} = \frac{- 7 - 6,8}{2} = - \frac{13,8}{2} = - 6,9$ Wegen $x > - 1,26$ fällt diese Lösung weg.
  Die $x$ -Koordinate von $A_{3}$ ist also $- 0,1$ .
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  Berechnung der x-Koordinate eines Punktes mithilfe a-b-c-Formel
6. Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung des Trägergraphen $t$ der
  Punkte $B_{n}$ gilt: $y = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 5) - 1$ mit $x, y \in ℝ$ .
  Geben Sie sodann die Gleichung des Trägergraphen $k$ der Punkte $D_{n}$ an. (3 P)
  
  geg.: Zur Berechnung der Punkte $B_{n}$ werden die $x -$ und $y -$ Komponenten der Gleichungen $f_{1}$ und $f_{2}$ jeweils mit den Koordinaten von $\vec{A_{n} B_{n}} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2,5 \end{array})$ ergänzt.
  Abstand der Punkte $A_{n}$ zu $B_{n}$ ist $- 2 L E$ ;
  Abstand der Punkte $A_{n}$ zu Diagonale $f$ ist $- 2,5 L E$
  Die Punkte $D_{n}$ liegen spiegelbildlich zur Ordinatenachse, also $+ 2 L E$ von Diagonale $f$ und $- 2,5 L E$ von den Punkten $A_{n}$
  ges.: Trägergraph $t$ für Punkte $B_{n}$ und Trägergraph $k$ für Punkte $D n$ .
  Ansatz und Rechnung:
  1. Berechnung $t$ von $B_{n}$ mithilfe von
  $f_{1}$ : $y = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5$ und $\vec{𝐀_{𝐧} 𝐁_{𝐧}} = (\begin{array}{c} - 𝟐 \\ - 𝟐,𝟓 \end{array})$
  $x_{B_{n}} = x - 2 \Rightarrow x = x_{B_{n}} + 2$
  $\land y_{B_{n}} = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5 - 2,5 x_{B n}, y_{B n}, x \in ℝ; x > - 1,26$
  $x$ in $y_{B_{n}}$ einsetzen:
  $y_{B_{n}} = - 2 \cdot \log_{0,5} (x_{B_{n}} + 2 + 3) + 1,5 - 2,5$
  $y_{B_{n}} = - 2 \cdot \log_{0,5} (x_{B_{n}} + 5) - 1 x_{B_{n}}, y_{B_{n}} \in ℝ$
  $\begin{array}{l} \Rightarrow 𝐭 : 𝐲 = - 𝟐 \cdot \log_{𝟎,𝟓} (𝐱 + 𝟓) - 𝟏 x, y \in ℝ \end{array}$
  2. Berechnung $k$ von $D_{n}$ mithilfe von
  $f_{1}$ : $y = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5$ und $\vec{𝐀_{𝐧} 𝐃_{𝐧}} = (\begin{array}{c} 𝟐 \\ - 𝟐,𝟓 \end{array})$
  $x_{D n} = x + 2 \Rightarrow x = x_{D n} - 2$
  $\land y_{D n} = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5 - 2,5 x_{B n}, y_{B n}, x \in ℝ; x > - 1,26$
  $x$ in $y_{D_{n}}$ einsetzen:
  $y_{D_{n}} = - 2 \cdot \log_{0,5} (x_{D_{n}} - 2 + 3) + 1,5 - 2,5$
  $y_{D_{n}} = - 2 \cdot \log_{0,5} (x_{D_{n}} + 1) - 1 x_{B_{n}}, y_{B_{n}} \in ℝ$
  $\Rightarrow 𝐤 : 𝐲 = - 𝟐 \cdot \log_{𝟎,𝟓} (𝐱 + 𝟏) - 𝟏 x, y \in ℝ$
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  Trägergraphen $t$ und $k$ für Punkte $B_{n}$ und $D_{n}$ berechnen
4
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B4
Der Punkt $A (0 | - 4)$ legt mit den Pfeilen $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$ und $\vec{A D_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot \sin φ \\ 9 - 10 \cdot \sin^{2} φ \end{array})$ für
$φ \in [0^{\circ}; 90^{\circ}]$ Parallelogramme $A B C_{n} D_{n}$ fest.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Berechnen Sie die Koordinaten der Pfeile $\vec{A D_{1}}$ für $φ = 30^{\circ}$ und $\vec{A D_{2}}$ für $φ = 60^{\circ}$ .
  Zeichnen Sie sodann die Parallelogramme $A B C_{1} D_{1}$ und $A B C_{2} D_{2}$ in ein Koordinatensystem ein. (4 P)
  Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 3 \leq x \leq 5; - 4 \leq y \leq 6$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorrechnung
  geg.: $A (0 | - 4)$ , Vektor $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$ ; $\vec{A D_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot \sin φ \\ 9 - 10 \cdot \sin^{2} φ \end{array})$ für $φ \in [0 °; 90 °]$
  ges.: Parallelogramme $A B C_{n} D_{n}$ : $A B C_{1} D_{1}$ und $A B C_{2} D_{2}$
  Ansatz und Rechnung:
  Benutze dabei $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} = 0,5$ und $\sin 60^{\circ} = \sqrt{\frac{3}{4}} \approx 0,87$
  1. Berechnung $\vec{A D_{1}} (für φ = 30 °)$ und $\vec{A D_{2}} (für φ = 60 °)$ :
  $\vec{A D_{1}} (φ) = (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot \sin 30 ° \\ 9 - 10 \cdot \sin^{2} 30 ° \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot 0,5 \\ 9 - 10 \cdot {0,5}^{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 - 3 \\ 9 - 10 \cdot 0,25 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 9 - 2,5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 6,5 \end{array})$
  $\vec{A D_{2}} (φ) = (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot \sin 60 ° \\ 9 - 10 \cdot \sin^{2} 60 ° \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot 0,87 \\ 9 - 10 \cdot {0,87}^{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 - 5,2 \\ 9 - 10 \cdot 0,75 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2,2 \\ 9 - 7,5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2,2 \\ 1,5 \end{array})$
  2. Zeichnung: $L E = 1 c m$ ; mit $x : - 3 ≦ x ≦ 5$ und $y : - 4 ≦ y ≦ 6$ ,
  mit $A (0 | - 4)$ , $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$ , $\vec{A D_{1}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 6,5 \end{array})$ und $\vec{A D_{2}} = (\begin{array}{c} - 2,2 \\ 1,5 \end{array})$ Parallelogramme $A B C_{1} D_{1}$ und $A B C_{2} D_{2}$ zeichnen:
  Parallelogramme $A B C_{1} D_{1}$ und $A B C_{2} D_{2}$
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  Berechnung der Vektoren $\vec{A D_{1}} (für φ = 30 °)$ und
2. Berechnen Sie das Maß des Winkels $B A D_{1}$ . (1,5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie, Tangens
  geg.: Strecke $X A = 3 L E$ , $X B = 4 L E$
  ges.: $∢ B A D_{1}$ , siehe Zeichnung Aufgabe 4a
  Ansatz und Rechnung:
  $∢ B A D_{1} ≙ ∢ B A X = \tan \frac{𝐆 𝐊}{𝐀 𝐊} = \frac{4}{3} = 1, 3$
  $\Rightarrow ∢ 𝐁 𝐀 𝐃_{𝟏} = 𝟓𝟑,𝟏𝟑 °$
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  Der Winkel $B A D_{1}$ ist derselbe wie der Winkel $B A X$ mit $X (0 | - 1)$ .
  Berechne den Tangens dieses Winkels.
3. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit
  von $φ$ gilt: $C_{n} (7 - 6 \cdot \sin φ | 8 - 10 \cdot \sin^{2} φ)$ . (1,5 P)
  
  geg.: $A (0 | - 4)$ , $O (0 | 0)$ $\Rightarrow$ $\vec{O A} = (\begin{array}{c} 0 - 0 \\ - 4 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \end{array})$ ; $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$ ;
  $\vec{A D_{n}} = (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot \sin φ \\ 9 - 10 \cdot \sin^{2} φ \end{array})$ $= \vec{B C_{n}}$
  ges.: Koordinaten der Punkte $C_{n} (φ)$
  Ansatz und Rechnung:
  Berechnung mithilfe Vektoraddition $\vec{O C_{n}} = \vec{O A} \oplus︎ \vec{A B} \oplus︎ \vec{B C_{n}}$ mit $φ \in [0 °; 90 °]$
  $\Rightarrow \vec{O C_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \end{array}) \oplus︎ (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}) \oplus︎ (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot \sin φ \\ 9 - 10 \cdot \sin^{2} φ \end{array})$ mit $φ \in [0 °; 90 °]$
  $\Rightarrow \vec{𝐎 𝐂_{𝐧}} (𝛗) = (\begin{array}{c} 𝟕 - 𝟔 \cdot \sin 𝛗 \\ 𝟖 - 𝟏𝟎 \cdot \sin^{𝟐} 𝛗 \end{array})$
  somit ist $𝐂_{𝐧} (𝟕 - 𝟔 \cdot \sin 𝛗 | 𝟖 - 𝟏𝟎 \cdot \sin^{𝟐} 𝛗)$
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  Berechnung Vektor $\vec{O C_{n}} (φ)$ und damit die Koordinaten von $C_{n} (φ)$
4. Der Punkt $C_{3}$ des Parallelogramms $A B C_{3} D_{3}$ liegt auf der $x$ -Achse.
  Berechnen Sie die $x$ -Koordinate des Punktes $C_{3}$ . (2,5 P)
  
  geg.: $𝐂_{𝐧} (𝟕 - 𝟔 \cdot 𝐬 𝐢 𝐧 𝛗 | 𝟖 - 𝟏𝟎 \cdot 𝐬 𝐢 𝐧^{𝟐} 𝛗)$
  ges.: $x$ für $C_{3}$ auf der $x$ -Achse
  Ansatz und Rechnung:
  wenn $C_{3}$ auf der $x$ -Achse liegt, dann ist die $y$ -Koordinate $= 0$
  $\Rightarrow y : 8 - 10 \cdot \sin^{2} φ = 0 mit φ \in [0 °; 90 °]$
  $8 = 10 \cdot \sin^{2} φ | : 10$
  $\frac{8}{10} = \sin^{2} φ | \sqrt{}$
  $\sqrt{0,8} = \sqrt{\sin^{2} φ} \Rightarrow 0,8944 = \sin φ \Rightarrow φ ≙ 63,43 °$
  Berechnung der $x$ -Koordinate durch Einsetzen von $\sin φ = 0,8944$ :
  $\Rightarrow 𝐱_{𝐂_{𝟑}} = 77 - 6 \cdot 0,8944 = 7 - 5,37 = 𝟏,𝟔𝟑$
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  Punkte auf der $x$ -Achse haben die y-Koordinate Null. Berechne daraus $\sin φ$ und damit $x$ .
5. Das Parallelogramm $A B C_{4} D_{4}$ ist ein Rechteck.
  Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $φ$ . (3,5 P)
  
  geg.: $A (0 | - 4)$ ; $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$ ; $\vec{A D_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot \sin φ \\ 9 - 10 \cdot \sin^{2} φ \end{array})$
  ges.: $φ$ unter der Bedingung, dass $A B C_{4} D_{4}$ Rechteck ist
  Ansatz und Rechnung:
  Bedingung für $A B C_{4} D_{4}$ ≙ Rechteck $\Rightarrow$ Skalarprodukt $\vec{A B} ⊙ \vec{A D_{n}} = 0$ :
  $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot \sin φ \\ 9 - 10 \cdot \sin^{2} φ \end{array}) = 0$ mit $φ \in [0 °; 90 °]$
  Formel für Berechnung Skalarprodukt: $\vec{a} ⊙ \vec{b} = (\begin{array}{c} a_{x} \\ a_{y} \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} b_{x} \\ b_{y} \end{array}) = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y}$
  $\Rightarrow 𝟒 \cdot (𝟑 - 𝟔 \cdot \sin 𝛗) + 𝟑 \cdot (𝟗 - 𝟏𝟎 \cdot \sin^{𝟐} 𝛗) = 𝟎 |$ ausmultiplizieren
  $12 - 24 \cdot \sin φ + 27 - 30 \cdot \sin^{2} φ = 0 |$ zusammenfassen
  $39 - 24 \cdot \sin φ - 30 \cdot \sin^{2} φ = 0 |$ :30
  $1,3 - 0,8 \cdot \sin φ - \sin^{2} φ = 0 |$ umschreiben in quadratische Gleichung
  $- \sin^{𝟐} 𝛗 - 𝟎,𝟖 \cdot \sin 𝛗 + 𝟏,𝟑 = 𝟎$
  Lösung mithilfe der a-b-c-Formel:
  1. Berechnung der Determinante $D$ mit $a = - 1$ ; $b = - 0,8$ ; $c = 1,3$
  $\Rightarrow 𝐃 = 𝐛^{𝟐} - 𝟒 \cdot 𝐚 \cdot 𝐜 = (- 0,8)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (1,3) = 0,64 + 5,2 = 5,84$
  $\Rightarrow D > 0 \leftrightarrow$ 2 Lösungen
  2. $D$ in a-b-c-Formel einsetzen:
  $\Rightarrow \sin 𝛗_{𝟏,𝟐} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- (- 0,8) \pm \sqrt{5,84}}{2 \cdot (- 1)} = \frac{𝟎,𝟖 \pm 𝟐,𝟒𝟏𝟔𝟔}{- 𝟐}$
  $\to \sin φ_{1} = \frac{0,8 + 2,4166}{- 2} = \frac{3,2166}{- 2} = - 1,6083$ nicht definiert!
  $\to \sin 𝛗_{𝟐} = \frac{𝟎,𝟖 - 𝟐,𝟒𝟏𝟔𝟔}{- 𝟐} = \frac{- 𝟏,𝟔𝟏𝟔𝟔}{- 𝟐} = 𝟎,𝟖𝟎𝟖𝟑$
  $\Rightarrow 𝛗_{𝟐} = 𝟓𝟑,𝟗𝟑 ° \to φ \in [0 °; 90 °]$
  $\Rightarrow 𝕃 = [𝟓𝟑,𝟗𝟑 °]$
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  Berechnung Skalarprodukt mit $\vec{A B}$ und $\vec{A D_{n}} (φ)$ ,
  Lösung der trigonometrischen Gleichung mit a-b-c-Formel
6. Begründen Sie, weshalb für die y-Koordinate aller Punkte $C_{n}$ gilt: $y_{C_{n}} \geq - 2$ . (1,5 P)
  
  geg.: $\vec{O C_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} 7 - 6 \cdot \sin φ \\ 8 - 10 \cdot \sin^{2} φ \end{array})$
  ges.: Nachweis, dass für $y -$ Koordinate aller Punkte $C_{n}$ gilt: $\begin{array}{l} 𝐲_{𝐜_{𝐧}} ≧ - 𝟐 \end{array}$
  Ansatz und Rechnung:
  $𝐲_{𝐂_{𝐧}} = 𝟖 - 𝟏𝟎 \cdot \underset{⏟}{\sin^{𝟐} 𝛗} ≧ - 𝟐$
  $\underset{⏟}{\sin^{2} φ ≦ 1}$
  $10 \cdot 1 ≦ 10$
  $\Rightarrow 𝐲_{𝐜_{𝐧}} ≧ 𝟖 - 𝟏𝟎 ≧ - 𝟐$ q.e.d.
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  Benutze, dass $\sin^{2} φ \leq 1$ ist.