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Nachtermin Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

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  1. 1

    Aufgabe B1

    Pfeile OPn(φ)=(5sinφ2cosφ) und OQn mit O(0|0) spannen für φ[0;360] gleichschenklige Dreiecke OPnQn mit den Basen PnQn auf. Die Gerade s mit der Gleichung y=x(x,y) ist die Symmetrieachse der Dreiecke OPnQn .

    In das Koordinatensystem ist das Dreieck OP1Q1 für φ=60 bereits eingezeichnet.

    Dreieck im Koordinatensystem
    1. Geben Sie die Koordinaten des Pfeils OP2 für φ=220 an und zeichnen Sie das Dreieck OP2Q2 in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein.

      Runden Sie auf eine Nachkommastelle. (2 P)

    2. Für die Dreiecke OP3Q3 und OP4Q4 gilt: P3OQ3=P4OQ4=90.

      Bestimmen Sie die zugehörigen Werte von φ. (2 P)

    3. Begründen Sie, weshalb es unter den Dreiecken OPnQn kein Dreieck OP5Q5 mit P5(3|3) gibt. (1 P)

  2. 2

    Aufgabe B2

    Das gleichschenklige Dreieck ABC mit der Basis AB ist die Grundfläche der Pyramide ABCS mit der Höhe RS(RAB).

    Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Basis AB.

    Es gilt: AB=6cm; MC=4cm;

    AS=5,5cm; RS=5cm.

    Die Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCS.

    In der Zeichnung gilt:

    q=12; ω=45; AB liegt auf der Schrägbildachse.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Pyramide
    1. Berechnen Sie das Maß des Winkels BAS. (1 P)

      [Ergebnis: BAS=65,38]

    2. Punkte Pn liegen auf der Strecke AB. Die Winkel ASPn haben das Maß φ mit

      φ]0;61,18].

      Zeichnen Sie die Strecke SP1 für φ=45 in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein.

      Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken SPn in Abhängigkeit von φ gilt:

      |SPn|(φ)=5sin(65,38+φ)cm. (2,5 P)

    3. Die Dreiecke APnS sind die Grundflächen von Pyramiden APnSC mit der Spitze C.

      Zeichnen Sie die Pyramide AP1SC in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein.

      Berechnen Sie sodann das Volumen V der Pyramiden APnSC in Abhängigkeit von φ. (2,5 P)

  3. 3

    Aufgabe B3

    Gegeben ist die Funktion f1 mit der Gleichung y=2log0,5(x+3)+1,5 und x, y.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Geben Sie die Wertemenge der Funktion f1 und die Gleichung der Asymptote h des Graphen zu f1 an.

      Zeichnen Sie zudem den Graphen zu f1 für x[2,5;5] in ein Koordinatensystem ein. (3 P)

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 1cm; 3x5;3y8

    2. Der Graph der Funktion f1 wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse sowie

      anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor v=(15) auf den Graphen der Funktion f2 abgebildet.

      Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion f2 die Gleichung y=2log0,5(x+4)+3,5 (x,y) besitzt und zeichnen Sie den Graphen zu f2 für x[3;5] in das Koordinatensystem zu a) ein. (3 P)

    3. Punkte An(x|2log0,5(x+3)+1,5) auf dem Graphen zu f1 haben dieselbe Abszisse x wie Punkte Cn(x|2log0,5(x+4)+3,5) auf dem Graphen zu f2. Sie sind für x>1,26 zusammen mit Punkten Bn und Dn die Eckpunkte von Drachenvierecken AnBnCnDn mit den Symmetrieachsen AnCn.

      Es gilt: AnBn=(22,5).

      Zeichnen Sie die Drachenvierecke A1B1C1D1 für x=1 und A2B2C2D2 für x=3 mit ihren Diagonalen in das Koordinatensystem zu a) ein. (2 P)

    4. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken AnCn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An gilt: |AnCn|(x)=[2log0,5(x2+7x+12)2]LE. (2 P)

    5. Das Drachenviereck A3B3C3D3 ist eine Raute.

      Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes A3. (3 P)

    6. Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung des Trägergraphen t der

      Punkte Bn gilt: y=2log0,5(x+5)1 mit x,y.

      Geben Sie sodann die Gleichung des Trägergraphen k der Punkte Dn an. (3 P)

  4. 4

    Aufgabe B4

    Der Punkt A(0|4) legt mit den Pfeilen AB=(43) und ADn(φ)=(36sinφ910sin2φ) für

    φ[0;90] Parallelogramme ABCnDn fest.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Berechnen Sie die Koordinaten der Pfeile AD1 für φ=30 und AD2 für φ=60.

      Zeichnen Sie sodann die Parallelogramme ABC1D1 und ABC2D2 in ein Koordinatensystem ein. (4 P)

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 1cm; 3x5;4y6

    2. Berechnen Sie das Maß des Winkels BAD1. (1,5 P)

    3. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte Cn in Abhängigkeit

      von φ gilt: Cn(76sinφ|810sin2φ). (1,5 P)

    4. Der Punkt C3 des Parallelogramms ABC3D3 liegt auf der x-Achse.

      Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes C3. (2,5 P)

    5. Das Parallelogramm ABC4D4 ist ein Rechteck.

      Berechnen Sie den zugehörigen Wert für φ. (3,5 P)

    6. Begründen Sie, weshalb für die y-Koordinate aller Punkte Cn gilt: yCn2. (1,5 P)


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