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Nachtermin Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

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  1. 1

    Aufgabe B1

    Pfeile OPn(φ)=(5sinφ2cosφ)\overrightarrow{OP_n}(\varphi)=\begin{pmatrix}5-\sin\varphi\\2\cdot \cos\varphi\end{pmatrix} und OQn\overrightarrow{OQ_n} mit O(00)O(0|0) spannen für φ[0;360]\varphi\in [0^\circ; 360^\circ] gleichschenklige Dreiecke OPnQnOP_nQ_n mit den Basen PnQn\overline{P_nQ_n} auf. Die Gerade ss mit der Gleichung y=x    (x,yR)y = x \;\;(x, y \in \mathbb{R}) ist die Symmetrieachse der Dreiecke OPnQnOP_nQ_n .

    In das Koordinatensystem ist das Dreieck OP1Q1OP_1Q_1 für φ=60\varphi=60^\circ bereits eingezeichnet.

    Dreieck im Koordinatensystem
    1. Geben Sie die Koordinaten des Pfeils OP2\overrightarrow{OP_2} für φ=220\varphi=220^\circ an und zeichnen Sie das Dreieck OP2Q2OP_2Q_2 in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein.

      Runden Sie auf eine Nachkommastelle. (2 P)

    2. Für die Dreiecke OP3Q3OP_3Q_3 und OP4Q4OP_4Q_4 gilt: P3OQ3=P4OQ4=90\sphericalangle P_3OQ_3=\sphericalangle P_4OQ_4 =90^\circ.

      Bestimmen Sie die zugehörigen Werte von φ\varphi. (2 P)

    3. Begründen Sie, weshalb es unter den Dreiecken OPnQnOP_nQ_n kein Dreieck OP5Q5OP_5Q_5 mit P5(33)P_5 (3|3) gibt. (1 P)

  2. 2

    Aufgabe B2

    Pyramide

    Das gleichschenklige Dreieck ABCABC mit der Basis AB\overline{AB} ist die Grundfläche der Pyramide ABCSABCS mit der Höhe RS    (RAB)\overline{RS} \;\;(R \in\overline{AB}).

    Der Punkt MM ist der Mittelpunkt der Basis AB\overline{AB}.

    Es gilt: AB=6  cm\overline{AB}= 6\;\text{cm}; MC=4  cm\overline{MC}= 4\;\text{cm};

    AS=5,5  cm\overline{AS}= 5{,}5\;\text{cm}; RS=5  cm\overline{RS}= 5\;\text{cm}.

    Die Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCSABCS.

    In der Zeichnung gilt:

    q=12q=\dfrac{1}{2}; ω=45\omega=45^\circ; AB\overline{AB} liegt auf der Schrägbildachse.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Berechnen Sie das Maß des Winkels BASBAS. (1 P)

      [[Ergebnis: BAS=65,38]\sphericalangle BAS =65{,}38^\circ]

    2. Punkte PnP_n liegen auf der Strecke AB\overline{AB}. Die Winkel ASPnASP_n haben das Maß φ\varphi mit

      φ  ]0;61,18]\varphi \in\; ]0^\circ; 61{,}18^\circ].

      Zeichnen Sie die Strecke SP1\overline{SP_1} für φ=45\varphi= 45^\circ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein.

      Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken SPn\overline{SP_n} in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

      SPn(φ)=5sin(65,38+φ)  cm.\left|\overline{SP_n} \right|(\varphi)=\dfrac{5}{\sin(65{,}38^\circ+\varphi)}\;\text{cm}. (2,5 P)

    3. Die Dreiecke APnSAP_nS sind die Grundflächen von Pyramiden APnSCAP_nSC mit der Spitze CC.

      Zeichnen Sie die Pyramide AP1SCAP_1SC in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein.

      Berechnen Sie sodann das Volumen VV der Pyramiden APnSCAP_nSC in Abhängigkeit von φ\varphi. (2,5 P)

  3. 3

    Aufgabe B3

    Gegeben ist die Funktion f1f_1 mit der Gleichung y=2log0,5(x+3)+1,5y =-2\cdot \log_{0{,}5}(x+ 3)+1{,}5 und xx, yRy \in \mathbb{R}.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Geben Sie die Wertemenge der Funktion f1f_1 und die Gleichung der Asymptote hh des Graphen zu f1f_1 an.

      Zeichnen Sie zudem den Graphen zu f1f_1 für x[2,5;5]x\in[-2{,}5; 5] in ein Koordinatensystem ein. (3 P)

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 1  cm1\;\text{cm}; 3x5;  3y8-3\leq x \leq 5 ;\; -3 \leq y \leq 8

    2. Der Graph der Funktion f1f_1 wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse sowie

      anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor v=(15)\vec v =\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix} auf den Graphen der Funktion f2f_2 abgebildet.

      Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion f2f_2 die Gleichung y=2log0,5(x+4)+3,5y =2\cdot \log_{0{,}5}(x+ 4)+3{,}5 (x,  yR)(x,\;y \in \mathbb{R}) besitzt und zeichnen Sie den Graphen zu f2f_2 für x[3;5]x\in[-3; 5] in das Koordinatensystem zu a) ein. (3 P)

    3. Punkte An(x2log0,5(x+3)+1,5)A_n (x|-2\cdot \log_{0{,}5}(x+ 3)+1{,}5) auf dem Graphen zu f1f_1 haben dieselbe Abszisse xx wie Punkte Cn(x2log0,5(x+4)+3,5)C_n(x|2\cdot \log_{0{,}5}(x+ 4)+3{,}5) auf dem Graphen zu f2f_2. Sie sind für x>1,26x >-1{,}26 zusammen mit Punkten BnB_n und DnD_n die Eckpunkte von Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n mit den Symmetrieachsen AnCnA_nC_n.

      Es gilt: AnBn=(22,5)\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix}-2\\-2{,}5\end{pmatrix}.

      Zeichnen Sie die Drachenvierecke A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=1x=-1 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=3x=3 mit ihren Diagonalen in das Koordinatensystem zu a) ein. (2 P)

    4. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken AnCn\overline{A_nC_n} in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: AnCn(x)=[2log0,5(x2+7x+12)2]  LE\left|\overline {A_nC_n}\right|(x)=[-2\cdot \log_{0{,}5}(x^2+7x+ 12)-2]\;\text{LE}. (2 P)

    5. Das Drachenviereck A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 ist eine Raute.

      Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes A3A_3. (3 P)

    6. Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung des Trägergraphen tt der

      Punkte BnB_n gilt: y=2log0,5(x+5)1y =-2\cdot \log_{0{,}5}(x+ 5)-1 mit x,yRx, y\in \mathbb{R}.

      Geben Sie sodann die Gleichung des Trägergraphen kk der Punkte DnD_n an. (3 P)

  4. 4

    Aufgabe B4

    Der Punkt A(04)A(0|-4) legt mit den Pfeilen AB=(43)\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix} und ADn(φ)=(36sinφ910sin2φ)\overrightarrow{AD_n}(\varphi)=\begin{pmatrix}3-6\cdot\sin\varphi\\9-10\cdot\sin^2\varphi\end{pmatrix} für

    φ[0;90]\varphi\in [0^\circ; 90^\circ] Parallelogramme ABCnDnABC_nD_n fest.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Berechnen Sie die Koordinaten der Pfeile AD1\overrightarrow{AD_1} für φ=30\varphi=30^\circ und AD2\overrightarrow{AD_2} für φ=60\varphi=60^\circ.

      Zeichnen Sie sodann die Parallelogramme ABC1D1ABC_1D_1 und ABC2D2ABC_2D_2 in ein Koordinatensystem ein. (4 P)

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 1  cm1\;\text{cm}; 3x5;4y6-3\leq x\leq 5 ; -4 \leq y \leq 6

    2. Berechnen Sie das Maß des Winkels BAD1BAD_1. (1,5 P)

    3. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte CnC_n in Abhängigkeit

      von φ\varphi gilt: Cn(76sinφ810sin2φ)C_n(7 - 6\cdot \sin \varphi | 8-10\cdot \sin^2 \varphi ). (1,5 P)

    4. Der Punkt C3C_3 des Parallelogramms ABC3D3ABC_3D_3 liegt auf der xx-Achse.

      Berechnen Sie die xx-Koordinate des Punktes C3C_3. (2,5 P)

    5. Das Parallelogramm ABC4D4ABC_4D_4 ist ein Rechteck.

      Berechnen Sie den zugehörigen Wert für φ\varphi. (3,5 P)

    6. Begründen Sie, weshalb für die y-Koordinate aller Punkte CnC_n gilt: yCn2y_{C_n}\geq -2. (1,5 P)


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