Nachtermin Teil B

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1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B1
Pfeile $\overrightarrow{OP_n}(\varphi)=\begin{pmatrix}5-\sin\varphi\\2\cdot \cos\varphi\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{OQ_n}$ mit $O (0 ∣ 0)$ spannen für $\varphi\in [0^\circ; 360^\circ]$ gleichschenklige Dreiecke $O P_{n} Q_{n}$ mit den Basen $\overline{P_nQ_n}$ auf. Die Gerade $s$ mit der Gleichung $y = x \;\;(x, y \in \mathbb{R})$ ist die Symmetrieachse der Dreiecke $O P_{n} Q_{n}$ .
In das Koordinatensystem ist das Dreieck $O P_{1} Q_{1}$ für $\varphi=60^\circ$ bereits eingezeichnet.
1. Geben Sie die Koordinaten des Pfeils $\overrightarrow{OP_2}$ für $\varphi=220^\circ$ an und zeichnen Sie das Dreieck $O P_{2} Q_{2}$ in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein.
  Runden Sie auf eine Nachkommastelle. (2 P)
  
  geg.: gleichschenkliges Dreieck $O P_{1} Q_{1}$ mit $φ = 60 °$ und Symmetrieachse $S : y = x$
  ges.: Koordinaten $\overrightarrow {OP_2}$ und Zeichnung $\triangle OP_2Q_2$ für $\varphi=220^\circ$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Koordinaten von $\overrightarrow{OP_2}(\varphi=220^\circ)$
  $\overrightarrow{OP_2}(\varphi=220^\circ)=\begin{pmatrix} 5-\sin(220°)\\ {2}\cdot {\cos(220°)}\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix} 5-(-0{,}643) \\ {2}\cdot (-0{,}766)\end{pmatrix}$
  $\qquad$ $\qquad\qquad$ $=\begin{pmatrix} 5{,}643 \\ -1{,}532\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix} 5{,}6\\ -1{,}5\end{pmatrix}$
  2. Zeichnung $\triangle OP_2Q_2$
  $\overrightarrow{OP_2}(\varphi=220^\circ)=\begin{pmatrix} 5{,}6\\ -1{,}5\end{pmatrix}$ einzeichnen; $Q_{2}$ symmetrisch zur Symmetrieachse $S : y = x$
  Zeichnung der Dreiecke $O P_{1} Q_{1}$ mit $φ = 60 °$ und $O P_{2} Q_{2}$ mit $φ = 220 °$
  Skizze mit dem Dreieck $O P_{2} Q_{2}$ .
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  Koordinaten berechnen, gleichschenkliges Dreieck zeichnen
2. Für die Dreiecke $O P_{3} Q_{3}$ und $O P_{4} Q_{4}$ gilt: $\sphericalangle P_3OQ_3=\sphericalangle P_4OQ_4 =90^\circ$ .
  Bestimmen Sie die zugehörigen Werte von $\varphi$ . (2 P)
  
  geg.: gleichschenklige Dreiecke $O P_{3} Q_{3}$ und $O P_{4} Q_{4}$ mit $\sphericalangle P_3OQ_3=\sphericalangle P_4OQ_4 =90^∘$
  ges.: Wert $φ$
  Ansatz & Rechnung
  Setze für beide Dreiecke $O P_{3} Q_{3}$ und $O P_{4} Q_{4}$ die $y$ -Komponente von $\overrightarrow{OP_n}(\varphi)=\begin{pmatrix} 5-\sin φ \\ \blue{2\cdot \cos φ} \end{pmatrix}$ gleich null:
  $y_{P3,P4}=0=\blue {2\cdot \cosφ}$ für $φ\in [0°; 360°]$
  $\Rightarrow$ im Bereich $φ\in [0°; 360°]$ ist die Gleichung erfüllt für $cos( \frac {π}{2}) ≙ 0$ und für $cos(\frac {3}{2}π)≙0$
  Damit muss $φ = 90 °$ oder $φ = 270 °$ sein.
  $\mathbb{L}=\{90^\circ;270^\circ\}$
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  Bestimme $φ$ durch den Vektor $\overline{OP_n}(\varphi)$ . Wenn der Winkel im Punkt $O$ $90^\circ$ ist, dann muss der Vektor auf der x-Achse liegen. Setze also den $y$ -Wert des Vektors gleich 0.
3. Begründen Sie, weshalb es unter den Dreiecken $O P_{n} Q_{n}$ kein Dreieck $O P_{5} Q_{5}$ mit $P_{5} (3 ∣ 3)$ gibt. (1 P)
  
  Nachweis
  Der Punkt $P_{5} (3 ∣ 3)$ liegt auf der Symmetrieachse, die durch $y = x$ gegeben ist.
  Wenn $P_{5} (3 ∣ 3)$ auf der Symmetrieachse $s$ liegt, liegen auch $Q_{5}$ und $O$ darauf. Das ergibt kein Dreieck.
  $\Rightarrow$ Es gibt kein Dreieck $O P_{5} Q_{5}$ mit $P_{5} (3 ∣ 3)$
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  Skizziere den Punkt in das Koordinatensystem.
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B2
Das gleichschenklige Dreieck $A B C$ mit der Basis $\overline{AB}$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C S$ mit der Höhe $\overline{RS} \;\;(R \in\overline{AB})$ .
Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Basis $\overline{AB}$ .
Es gilt: $\overline{AB}= 6\;\text{cm}$ ; $\overline{MC}= 4\;\text{cm}$ ;
$\overline{AS}= 5{,}5\;\text{cm}$ ; $\overline{RS}= 5\;\text{cm}$ .
Die Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C S$ .
In der Zeichnung gilt:
$q=\dfrac{1}{2}$ ; $\omega=45^\circ$ ; $\overline{AB}$ liegt auf der Schrägbildachse.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Berechnen Sie das Maß des Winkels $B A S$ . (1 P)
  $[$ Ergebnis: $\sphericalangle BAS =65{,}38^\circ]$
  
  geg.: $\triangle ABC$ gleichschenklig mit Basis $\overline{AB} =6\:cm$ , als Grundfläche der Pyramide ABCS,
  $h_{Pyramide}=\overline{RS}=5\:cm$ (mit $R\in\overline {AB}$ , $M =$ Mittelpunkt $\overline{AB}$ ;
  Schrägbild mit Schrägbildachse $\overline {AB}$ , mit $q = 0,5$ und $ω = 45 °$ ;
  $|\overline{MC}|=4\:cm$ ; $|\overline{AS}|=5{,}5\:cm$ ;
  ges.: Zeichnung aus Aufgabenstellung ergänzen, $∢ B A S$ berechnen
  Ansatz und Rechnung:
  1. Schrägbild der Pyramide ergänzen:
  Schrägbild Pyramide ABCS
  2. Winkel BAS berechnen:
  aus Zeichnung $∢ B A S ≘ ∢ R A S$ ; Berechnung $∢ B A S$ mithilfe Sinus
  $\Rightarrow \sin ∢BAS=[\frac{GK}{HY}]=\frac{\overline{RS}}{\overline{AS}}=\frac{5}{5{,}5}=0{,}9090$
  $\mathbf{\Rightarrow ∢BAS=65{,}38°}$
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  Zeichnung mit gegebenen Werten ergänzen und Winkel BAS berechnen
2. Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke $\overline{AB}$ . Die Winkel $A S P_{n}$ haben das Maß $\varphi$ mit
  $\varphi \in\; ]0^\circ; 61{,}18^\circ]$ .
  Zeichnen Sie die Strecke $\overline{SP_1}$ für $\varphi= 45^\circ$ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein.
  Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken $\overline{SP_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:
  $\left|\overline{SP_n} \right|(\varphi)=\dfrac{5}{\sin(65{,}38^\circ+\varphi)}\;\text{cm}.$ (2,5 P)
  
  geg.: $∢ASP_n=φ \qquad$ mit $φ\in]0°;61{,}18°]$
  ges.:
  1. Einzeichnung Strecke $\overline {SP_1}$ für $φ = 45 °$ in das Schrägbild der Pyramide
  2. Berechnung $\overline {SP_n}(φ)$ mit Sinus-Supplementwinkel-Beziehung
  Ansatz und Rechnung:
  1. Schenkel in $S$ mit $45 °$ an Strecke $\overline {AS}$ schneidet Strecke $\overline {AB}$ in $P_{1}$
  Schrägbild Pyramide mit Strecke $\overline {SP_1}$
  2. Berechnung $\overline {SP_n}(φ)$ mit Sinus-Supplementwinkel-Beziehung
  $\sin(180°-(φ+∢BAS)) =\frac{|\overline{RS}|}{|\overline{SP_n}|}=\frac{5\:cm}{|\overline{SP_n}|}\qquad$ für $φ\in]0°;61{,}18°]$
  Entsprechend der Supplementwinkel-Beziehung $\color{green}\sin(180°-α)=\sin(α)$
  ergibt sich für $\color{green}\sin(180°-(φ+∢BAS)) =\sin(φ+∢BAS)$
  $\Rightarrow\quad \sin(φ+65{,}38°)=\frac{5\:cm}{{|\overline{SP_n}|}}$
  nach Äquivalenzumformung (Multiplikation mit $\color{blue}|\overline{SP_n}|$ und Division durch $\color{blue}\sin(φ+65{,}38°)$ ) folgt
  ${{\mathbf{|\overline {SP_n}|(φ)=\dfrac{5}{\sin(φ+65{,}38°)}\:cm}}}$
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  Pyramide mit gegebenen Werten ergänzen,
  Streckenberechnung mithilfe der Sinus-Supplementwinkel-Beziehung
3. Die Dreiecke $A P_{n} S$ sind die Grundflächen von Pyramiden $A P_{n} S C$ mit der Spitze $C$ .
  Zeichnen Sie die Pyramide $A P_{1} S C$ in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein.
  Berechnen Sie sodann das Volumen $V$ der Pyramiden $A P_{n} S C$ in Abhängigkeit von $\varphi$ . (2,5 P)
  
  ges.:
  1. Pyramide $A P_{1} S C$ mit C als Spitze $\Rightarrow h≙ |\overline{MC}|=4\:cm$
  2. . Volumen $V(\varphi)$ der Pyramiden $A P_{n} S C$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Pyramide $A P_{1} S C$ siehe Skizze in Aufgabe B a)
  2. Volumen der Pyramiden $A P_{n} S C$
  $\mathbf{V_{\text{Pyr}}=\frac{1}{3}\cdot G_{AP_nS}\cdot h}$
  $G_{AP_nS}$ mithilfe Sinussatz: $\mathbf{{G=\frac{1}{2}\cdot c \cdot b \cdot \sin(α)}}$
  $\Rightarrow G_{AP_nS}=\frac{1}{2}\cdot {|\overline{AS}|\cdot {|\overline{SP_n}|(\varphi)}}\cdot\sin(\varphi)$
  mit $h≙MC=4\:cm$ , ${|\overline{AS}|}=5{,}5\:cm$ und ${{|\overline{SP_n}|}}(\varphi)= \frac{5}{\sin(65{,}38°+φ)}cm$
  eingestzt in $V_{\text{Pyr}}$ ergibt das
  $\Rightarrow\quad V_{\text{Pyr}}(\varphi)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot {|\overline{AS}|\cdot {|\overline{SP_n}|(\varphi)}}\cdot\sin(\varphi)\cdot 4$
  $\Rightarrow\quad V_{\text{Pyr}}(\varphi)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot5{,}5\cdot\frac{5}{\sin(65{,}38°+φ)}\cdot\sin(\varphi)\cdot 4 \: [cm^3]$ mit $φ\in]0°;61{,}18°]$
  $\Rightarrow\quad \mathbf{V_{\text{Pyr}}(\varphi)=18{,}33\cdot\frac{sin(\varphi)}{\sin(65{,}38°+φ)}}\: [cm^3]$
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  Pyramide $A P_{1} S C$ zeichnen und Volumen $V(\varphi)$ berechnen
3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B3
Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y =-2\cdot \log_{0{,}5}(x+ 3)+1{,}5$ und $x$ , $y \in \mathbb{R}$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Geben Sie die Wertemenge der Funktion $f_{1}$ und die Gleichung der Asymptote $h$ des Graphen zu $f_{1}$ an.
  Zeichnen Sie zudem den Graphen zu $f_{1}$ für $x\in[-2{,}5; 5]$ in ein Koordinatensystem ein. (3 P)
  Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\;\text{cm}$ ; $-3\leq x \leq 5 ;\; -3 \leq y \leq 8$
  
  geg.: $y=-2\cdot \log_{0{,}5}({x+3})+1{,}5\qquad$ jeweils mit $x,y\in\mathbb{R}$
  Anwendung der Identität von $\log_{0{,}5}(...)\:≙\:\log_\frac{1}{2}(...)\:≙-\log_{2}(...)$ auf $f_{1}$
  $\Rightarrow y=-2\cdot({-\log_{2}}{(x+3))+1{,}5}$
  $\Rightarrow y=2\cdot\log_{2}{(x+3)+1{,}5}$
  Für die Zeichung gilt: $LE ≙ 1 cm;\quad −3\leq x\leq{5};\quad −3\leq {y}\leq {8}$
  ges.:
  1. Wertemenge $W$ von $f_{1}$
  2. Gleichung der Asymptote $h$ des Graphen von $f_{1}$ für $x\in[-2{,}5;5]$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Wertemenge: $\mathbb{W}=\mathbb{R}$
  2. Graph: gezeichnet mit https://www.mathway.com
  Graph von $f_{1}$ mit Asymptote $h$
  
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  Schreibe den Logarithmus auf einen mit der Basis $2$ um.
  Benutze, dass alle Logarithmen bei Null eine senkrechte Asymptote haben.
2. Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse sowie
  anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec v =\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet.
  Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{2}$ die Gleichung $y =2\cdot \log_{0{,}5}(x+ 4)+3{,}5$ $(x,\;y \in \mathbb{R})$ besitzt und zeichnen Sie den Graphen zu $f_{2}$ für $x\in[-3; 5]$ in das Koordinatensystem zu a) ein. (3 P)
  
  geg.: Funktionsgraph $f_{1}$ ; Verschiebungsvektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1\\ 5 \end{pmatrix}$
  ges.: $f_{2}$ (=gespiegelte und parallel verschobene $f_{1}$ ) mit Graph
  Ansatz und Rechnung:
  1. Spiegelung $f_{1}$ an x-Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit $\mathbf−1$
  $\Rightarrow {\begin{pmatrix} x^{'}\\y^{'} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\-1\cdot(-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)+1{,}5}\end{pmatrix}}\qquad x, x‘,y‘\in \mathbb {R}$
  $x^{'} = x$ einsetzen in $y^{'}$ :
  $\Rightarrow \quad \mathbf{f_{1\:\text{gespiegelt}}: y^{'}=2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)-1{,}5}}$
  Jetzt kann man natürlich wieder $y^{'}$ in $y$ umbenennen:
  $\hphantom{\Rightarrow} \quad \mathbf{f_{1\:\text{gespiegelt}}: y=2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)-1{,}5}}$
  2. Parallelverschiebung der gespiegelten Funktion durch Vektoraddition
  mit $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1\\ 5 \end{pmatrix}$
  $\Rightarrow\quad {\begin{pmatrix} x^{'}\\y^{'} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\2\cdot \log_{0{,}5}{(x +3)-1{,}5}\end{pmatrix}} ⊕ \begin{pmatrix} -1\\ 5 \end{pmatrix}\qquad x, x‘,y‘\in \mathbb {R}$
  $x'=x-1\quad \Rightarrow x=x'+1\qquad$ eingesetzt in $y^{'}$
  $y^{'}=2\cdot \log_{0{,}5}{(x+1+3)-1{,}5+5}=2\cdot \log_{0{,}5}{(x+4)+3{,}5}\qquad \mathbb {G}={\R}x{\R}$
  Jetzt wird wieder $y^{'}$ in $y$ umbenannt:
  $\Rightarrow f_2:\quad y=2\cdot \log_{0{,}5}{(x+4)+3{,}5}\qquad x, y\in \mathbb {R}$
  Anwendung der Identität von $\log_{0{,}5}(...)\quad ≙\quad \log_\frac{1}{2}(...)\quad ≙\quad -\log_{2}(...)$
  $\Rightarrow \quad \mathbf{f_{2\:verschoben}\mathbf {\quad y=-2\cdot \log_{2}{(x+4)+3{,}5}}}$
  3. Einzeichnen des Graphen zu $f_{2}$ für $x\in[−3;5]:$
  Graph wurde gezeichnet mit https://www.mathway.com
  Graph von $f_{2}$
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  1. Spiegelung von $f_{1}$ an x-Achse;
  2. Parallelverschiebung von $f_{1}$ ;
  3. Graph der gespiegelten und verschobenen Funktion $f_{2}$ ins KOSY einzeichnen
3. Punkte $A_n (x|-2\cdot \log_{0{,}5}(x+ 3)+1{,}5)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $C_n(x|2\cdot \log_{0{,}5}(x+ 4)+3{,}5)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ . Sie sind für $x > - 1,26$ zusammen mit Punkten $B_{n}$ und $D_{n}$ die Eckpunkte von Drachenvierecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ mit den Symmetrieachsen $A_{n} C_{n}$ .
  Es gilt: $\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix}-2\\-2{,}5\end{pmatrix}$ .
  Zeichnen Sie die Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 3$ mit ihren Diagonalen in das Koordinatensystem zu a) ein. (2 P)
  
  geg.: $A_n (x│-2\cdot\log_{0{,}5}({x+3})+1{,}5)$ auf $f_{1}$ und $C_n (x│2\cdot\log_{0{,}5}({x+4})+3{,}5)$ auf $f_{2}$ sind für $x > - 1,26$ mit den Punkten $B_{n}$ und $D_{n}$ die Eckpunkte von Drachenvierecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ mit den Symmetrieachsen $A_{n} C_{n}$
  ges.: Zeichnung der Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 3$ mit ihren Diagonalen $A_{n} C_{n}$ und $B_{n} D_{n}$ ins KOSY
  Ansatz & Rechnung:
  1. Eckpunkte $A_{1}$ und $C_{1}$ für $x = - 1$ sowie $A_{2}$ und $C_{2}$ für $x = 3$ berechnen und einzeichnen.
  Unter Berücksichtigung der Identität von $\log_{0{,}5}(...)\quad ≙\quad \log_\frac{1}{2}(...)\quad ≙\quad -\log_{2}(...)$
  $A_1:y=-2\cdot \log_{0{,}5}{(-1+3)}+1{,}5=-2\cdot (-\log_{2}(2)+1{,}5=-2\cdot(-1)+1{,}5=3{,}5$
  $A_2:y=-2\cdot \log_{0{,}5}{(3+3)}+1{,}5=-2\cdot (-\log_{2}(6)+1=-2\cdot(-2{,}58)+1{,}5=6{,}66$
  $C_1:y=2\cdot \log_{0{,}5}{(-1+4)}+3{,}5=2\cdot (-\log_{2}(3)+3{,}5=2\cdot(-1{,}58)+3{,}5=0{,}34$
  $C_2:y=2\cdot \log_{0{,}5}{(3+4)}+3{,}5=2\cdot (-\log_{2}(7)+3{,}5=2\cdot(-2{,}81)+3{,}5=-2{,}12$
  $\Rightarrow \quad$ $\mathbf{A_1 (-1│3{,}5) \qquad C_1 (-1│0{,}34)\qquad A_2 (3|6{,}66)\qquad C_2(3│-2{,}12)}$
  Diagonalen $A_{1} C_{1} = e$ und $A_{2} C_{2} = f$ einzeichnen.
  2. Eckpunkte $B_{1}, B_{2}$ sowie $D_{1}, D_{2}$ berechnen und einzeichnen:
  aus Vektor $\overrightarrow {A_n B_n}=\begin{pmatrix} -2\\-2{,}5 \end{pmatrix}$ ergeben sich die $x -$ und $y -$ Komponenten für die Abstandsverhältnisse der Punkte $B_{n} = - 2 L E$ Abstand von Diagonale $f$ und $- 2,5 L E$ Abstand von $A_{n}$ , siehe nachfolgende Zeichnung.
  Damit ergeben sich die Koordinaten von $B_{n}$ und $D_{n}$ wie folgt:
  aus $A_1 (-1|3{,}5): \quad \Rightarrow B_1(-1-2│3{,}5-2{,}5) \Rightarrow B_1 (-3│1)$
  aus $A_2 (3|6{,}66): \quad \Rightarrow B_2(3-2|6{,}66-2{,}5) \Rightarrow B_2 (1|4{,}16)$
  $D_{n}$ liegen spiegelbildlich zu $B_{n}$ , d.h. $x -$ Komponenten der $B_{n}$ werden mit $(2 + 2) = + 4 L E$ berechnet:
  aus $B_1 (-3│1): \quad\Rightarrow D_1 (-3+4│1) \Rightarrow D_1 (1│1)$
  aus $B_2(1|4{,}16):\quad \Rightarrow D_2(1+4|4{,}16) \Rightarrow D_2 (5|4{,}16)$
  Graphen $f_{1}$ und $f_{2}$ gezeichnet mit https://www.mathway.com,
  Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ mit den zuvor berechneten Werten einzeichnen
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  Eckpunkte $A_{1}$ und $C_{1}$ sowie $A_{2}$ und $C_{2}$ der Drachenvierecke berechnen und ins KOSY einzeichnen;
  Eckpunkte $B_{1}$ und $B_{2}$ sowie $D_{1}$ und $D_{2}$ der Drachenvierecke berechnen und ins KOSY einzeichenen
4. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $\overline{A_nC_n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $\left|\overline {A_nC_n}\right|(x)=[-2\cdot \log_{0{,}5}(x^2+7x+ 12)-2]\;\text{LE}$ . (2 P)
  
  geg.: Punkte $A_{n}$ auf $f_1: y=-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)+1{,}5}$ ;
  Punkte $C_{n}$ auf $f_2: y=2\cdot \log_{0{,}5}{(x+4)+3{,}5}$ ;
  ges.: $|\overline {A_n C_n}|(x)$
  Ansatz und Rechnung:
  $|\overline {A_n C_n}|=f_1(x)-f_2(x)$
  $|\overline {A_n C_n}|(x)=[-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)+1{,}5}]-[2\cdot \log_{0{,}5}{(x+4)+3{,}5}]$
  $|\overline {A_n C_n}|(x)=-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)+1{,}5}-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+4)-3{,}5}$
  $|\overline {A_n C_n}|(x)=-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)}-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+4)-2}$
  $|\overline {A_n C_n}|(x)=-2\cdot [\log_{0{,}5}{(x+3)}+ \log_{0{,}5}{(x+4)]-2}$
  mit 1. Logarithmusgesetz: $\log_{a}{(x)}+\log_{a}{(y)}=\log_{a}{(x\cdot y)}$ folgt:
  $|\overline {A_n C_n}|(x)=-2\cdot \log_{0{,}5}[{(x+3)}\cdot (x+4)]-2$
  $\mathbf{{|\overline {A_n C_n}|(x)=-2\cdot \log_{0{,}5}({x^{2}+7x+12)}}-2}\quad LE\qquad x\in \mathbb{R};\quad x>-1{,}26$
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  Berechnung der Strecke $|\overline {A_n C_n}|(x)$
5. Das Drachenviereck $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ ist eine Raute.
  Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes $A_{3}$ . (3 P)
  
  geg.: Drachenviereck $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ wird Raute
  ges.: $x -$ Koordinate von Punkt $A_{3} (x ∣ y)$
  Ansatz und Rechnung:
  Bei einer Raute halbieren sich die Diagonalen. Die Entfernung von $A_{3}$ zum Schnittpunkt $M$ beträgt $2,5 L E$ .
  Daher ist $|\overline {A_3 C_3}|= 2\cdot2{,}5LE$ .
  siehe Daten aus Aufgabe B_3c und B_3d
  $\Rightarrow -2\cdot \log_{0{,}5}({x^{2}+7x+12)}-2≙2\cdot2{,}5LE \qquad x\in \mathbb{R};\quad x>-1{,}26\\$ $\Rightarrow -2\cdot\log_{0{,}5}({x^{2}+7x+12)}-2=5$ | $: (- 2)$
  $\Rightarrow \log_{0{,}5}({x^{2}+7x+12)}+1=-2{,}5$ | $+ 2,5$
  Anwendung der Identität von $\log_\frac{1}{a}(x) ≙-\log_{a}(x)$
  $\Rightarrow -\log_{2}({x^{2}+7x+12)}+3{,}5=0$ | $\cdot(-1)$
  $\Rightarrow \log_{2}({x^{2}+7x+12)}-3{,}5=0$ | Logarithmus in Potenz umwandeln
  $x=\log_{a}{(y)\Leftrightarrow}y=a^x\\$ $\Rightarrow x^{2}+7x+12-2^{3{,}5}=0$ | Potenz ausrechnen
  $\Rightarrow x^{2}+7x+12=11{,}31$ | $- 11,31$
  $\mathbf{\Rightarrow x^{2}+7x+0{,}69=0}\\$
  a-b-c-Formel ("Mitternachtsformel") anwenden: $x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
  1. Diskriminante berechnen mit $a = 1$ , $b = 7$ , $c = 0,69$ :
  $\mathbf {D=b^2 -4\cdot a\cdot c}=7^2 -4\cdot 1\cdot 0{,}69=49-2{,}76=46{,}24$
  $\Rightarrow \mathbf{D>0} \Leftrightarrow$ 2 Lösungen
  2. D in a-b-c-Formel einsetzen:
  $x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-7\pm\sqrt{46{,}24}}{2}=\frac{-7\pm 6{,}8}{2}$
  $\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{-7+ 6{,}8}{2}=-\frac{0{,}2}{2}=-0{,}1$
  $\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{-7- 6{,}8}{2}=-\frac{13{,}8}{2}=-6{,}9$ Wegen $x > - 1,26$ fällt diese Lösung weg.
  Die $x$ -Koordinate von $A_{3}$ ist also $- 0,1$ .
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  Berechnung der x-Koordinate eines Punktes mithilfe a-b-c-Formel
6. Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung des Trägergraphen $t$ der
  Punkte $B_{n}$ gilt: $y =-2\cdot \log_{0{,}5}(x+ 5)-1$ mit $x, y\in \mathbb{R}$ .
  Geben Sie sodann die Gleichung des Trägergraphen $k$ der Punkte $D_{n}$ an. (3 P)
  
  geg.: Zur Berechnung der Punkte $B_{n}$ werden die $x -$ und $y -$ Komponenten der Gleichungen $f_{1}$ und $f_{2}$ jeweils mit den Koordinaten von $\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix} -2 \\ -2{,}5 \end{pmatrix}$ ergänzt.
  Abstand der Punkte $A_{n}$ zu $B_{n}$ ist $- 2 L E$ ;
  Abstand der Punkte $A_{n}$ zu Diagonale $f$ ist $- 2,5 L E$
  Die Punkte $D_{n}$ liegen spiegelbildlich zur Ordinatenachse, also $+ 2 L E$ von Diagonale $f$ und $- 2,5 L E$ von den Punkten $A_{n}$
  ges.: Trägergraph $t$ für Punkte $B_{n}$ und Trägergraph $k$ für Punkte $D n$ .
  Ansatz und Rechnung:
  1. Berechnung $t$ von $B_{n}$ mithilfe von
  $f_{1}$ : $y=-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)+1{,}5}$ und $\mathbf{\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix} -2 \\ -2{,}5 \end{pmatrix}}$
  $x_{B_n}=x-2\qquad \Rightarrow x=x_{B_n}+2$
  $\wedge \quad y_{B_n}=-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)+1{,}5}-2{,}5\qquad x_{Bn},\:y_{Bn},\: x\in \mathbb{R};\quad x>-1{,}26$
  $x$ in $y_{B_n}$ einsetzen:
  $y_{B_n}= -2\cdot \log_{0{,}5}{(x_{B_n}+2+3)+1{,}5}-2{,}5$
  $y_{B_n}= -2\cdot \log_{0{,}5}{(x_{B_n}+5)-1}\qquad\qquad x_{B_n},\:y_{B_n}\in \mathbb{R}$
  $\Rightarrow \quad \mathbf{t: y= -2\cdot \log_{0{,}5}{(x+5)-1}}\qquad x,\:y\in \mathbb{R}\\$
  2. Berechnung $k$ von $D_{n}$ mithilfe von
  $f_{1}$ : $y=-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)+1{,}5}$ und $\mathbf{\overrightarrow{A_nD_n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2{,}5 \end{pmatrix}}$
  $x_{Dn}=x+2\qquad \Rightarrow x=x_{Dn}-2$
  $\wedge \quad y_{Dn}=-2\cdot \log_{0{,}5}{(x+3)+1{,}5}-2{,}5\qquad x_{Bn},\:y_{Bn},\: x\in \mathbb{R};\quad x>-1{,}26$
  $x$ in $y_{D_n}$ einsetzen:
  $y_{D_n}=-2\cdot \log_{0{,}5}{(x_{D_n}-2+3)+1{,}5}-2{,}5$
  $y_{D_n}=-2\cdot \log_{0{,}5}{(x_{D_n}+1)}-1 \qquad \qquad x_{B_n},\:y_{B_n}\in \mathbb{R}$
  $\Rightarrow\quad \mathbf{k: y= -2\cdot \log_{0{,}5}{(x+1)-1}}\qquad x,\:y\in \mathbb{R}$
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  Trägergraphen $t$ und $k$ für Punkte $B_{n}$ und $D_{n}$ berechnen
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B4
Der Punkt $A (0 ∣ - 4)$ legt mit den Pfeilen $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{AD_n}(\varphi)=\begin{pmatrix}3-6\cdot\sin\varphi\\9-10\cdot\sin^2\varphi\end{pmatrix}$ für
$\varphi\in [0^\circ; 90^\circ]$ Parallelogramme $A B C_{n} D_{n}$ fest.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Berechnen Sie die Koordinaten der Pfeile $\overrightarrow{AD_1}$ für $\varphi=30^\circ$ und $\overrightarrow{AD_2}$ für $\varphi=60^\circ$ .
  Zeichnen Sie sodann die Parallelogramme $A B C_{1} D_{1}$ und $A B C_{2} D_{2}$ in ein Koordinatensystem ein. (4 P)
  Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\;\text{cm}$ ; $-3\leq x\leq 5 ; -4 \leq y \leq 6$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorrechnung
  geg.: $A (0 ∣ - 4)$ , Vektor $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{AD_n}(\varphi) =\begin{pmatrix} 3-6\cdot \sin\varphi\\ 9-10\cdot \sin^2 \varphi \end{pmatrix}$ für $\varphi \in [0°; 90°]$
  ges.: Parallelogramme $A B C_{n} D_{n}$ : $A B C_{1} D_{1}$ und $A B C_{2} D_{2}$
  Ansatz und Rechnung:
  Benutze dabei $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}=0{,}5$ und $\sin 60^\circ=\sqrt{\frac{3}{4}}\approx 0{,}87$
  1. Berechnung $\overrightarrow{AD_1}(\text{ für }\:\varphi=30°)$ und $\overrightarrow{AD_2}(\text{ für }\:\varphi=60°)$ :
  $\overrightarrow{AD_1}(\varphi)=\begin{pmatrix} 3-6\cdot \sin30°\\ 9-10\cdot \sin^2 30° \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-6\cdot 0{,}5\\ 9-10\cdot 0{,}5^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-3\\ 9-10\cdot 0{,}25 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 9-2{,}5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 6{,}5 \end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{AD_2}(\varphi)=\begin{pmatrix} 3-6\cdot \sin60°\\ 9-10\cdot \sin^2 60° \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-6\cdot 0{,}87\\ 9-10\cdot 0{,}87^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-5{,}2\\ 9-10\cdot 0{,}75 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2{,}2\\ 9-7{,}5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2{,}2\\ 1{,}5 \end{pmatrix}$
  2. Zeichnung: $L E = 1 c m$ ; mit $x: -3\leqq x \leqq 5$ und $y: -4\leqq y\leqq 6$ ,
  mit $A (0 ∣ - 4)$ , $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{AD_1}=\begin{pmatrix} 0\\ 6{,}5 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{AD_2}=\begin{pmatrix} -2{,}2\\ 1{,}5\end{pmatrix}$ Parallelogramme $A B C_{1} D_{1}$ und $A B C_{2} D_{2}$ zeichnen:
  Parallelogramme $A B C_{1} D_{1}$ und $A B C_{2} D_{2}$
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  Berechnung der Vektoren $\overrightarrow{AD_1}(\text{ für } \:\varphi=30°)$ und
2. Berechnen Sie das Maß des Winkels $B A D_{1}$ . (1,5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie, Tangens
  geg.: Strecke $\overline {XA}=3 LE$ , $\overline {XB}=4 LE$
  ges.: $∢ B A D_{1}$ , siehe Zeichnung Aufgabe 4a
  Ansatz und Rechnung:
  $∢ BAD_1 ≙ ∢ BAX =\mathbf{\tan \frac{GK}{AK}}=\frac{4}{3}=1,\overline{3}$
  $\Rightarrow \mathbf {\quad ∢ BAD_1=53{,}13°}$
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  Der Winkel $B A D_{1}$ ist derselbe wie der Winkel $B A X$ mit $X (0 ∣ - 1)$ .
  Berechne den Tangens dieses Winkels.
3. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit
  von $\varphi$ gilt: $C_n(7 - 6\cdot \sin \varphi | 8-10\cdot \sin^2 \varphi )$ . (1,5 P)
  
  geg.: $A (0 ∣ - 4)$ , $O (0 ∣ 0)$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0-0 \\ -4-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4 \\ 3 \end{pmatrix}$ ;
  $\overrightarrow{AD_n}=\begin{pmatrix} 3-6\cdot \sin \varphi \\ 9-10\cdot \sin^2\varphi \end{pmatrix}$ $=\overrightarrow{BC_n}$
  ges.: Koordinaten der Punkte $C_n(\varphi)$
  Ansatz und Rechnung:
  Berechnung mithilfe Vektoraddition $\overrightarrow {OC_n}=\overrightarrow {OA}⊕\overrightarrow {AB}⊕\overrightarrow {BC_n}$ mit $\varphi \in[0°;90°]$
  $\Rightarrow \overrightarrow{OC_n}(\varphi)=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix}⊕\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}⊕\begin{pmatrix} 3-6\cdot \sin \varphi\\ 9-10\cdot \sin^2 \varphi \end{pmatrix}$ mit $\varphi \in[0°;90°]$
  $\mathbf{\Rightarrow \overrightarrow{OC_n}(\varphi)=\begin{pmatrix} 7-6\cdot \sin \varphi\\ 8-10\cdot \sin^2 \varphi \end{pmatrix}}$
  somit ist $\mathbf {C_n(7-6\cdot \sin\varphi|8-10\cdot \sin^2\varphi)}$
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  Berechnung Vektor $\overrightarrow{OC_n}(\varphi)$ und damit die Koordinaten von $C_n(\varphi)$
4. Der Punkt $C_{3}$ des Parallelogramms $A B C_{3} D_{3}$ liegt auf der $x$ -Achse.
  Berechnen Sie die $x$ -Koordinate des Punktes $C_{3}$ . (2,5 P)
  
  geg.: $\mathbf {C_n(7-6\cdot sin\varphi|8-10\cdot sin^2\varphi)}$
  ges.: $x$ für $C_{3}$ auf der $x$ -Achse
  Ansatz und Rechnung:
  wenn $C_{3}$ auf der $x$ -Achse liegt, dann ist die $y$ -Koordinate $= 0$
  $\Rightarrow \quad y: \quad 8-10\cdot \sin^2\varphi=0\qquad \text{mit }\:\varphi\in[0°;90°]$
  $8=10\cdot \sin^2\varphi \qquad\:\:\: |:10$
  $\frac{8}{10}=\sin^2\varphi \qquad\qquad|\sqrt{}$
  $\sqrt{0{,}8}=\sqrt{\sin^2\varphi}\qquad\Rightarrow 0{,}8944=\sin\varphi\qquad\Rightarrow \qquad \varphi ≙ 63{,}43°$
  Berechnung der $x$ -Koordinate durch Einsetzen von $\sin\varphi=0{,}8944$ :
  $\Rightarrow \mathbf{x_{C_3}}=77-6\cdot 0{,}8944=7-5{,}37=\mathbf{1{,}63}$
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  Punkte auf der $x$ -Achse haben die y-Koordinate Null. Berechne daraus $\sin \varphi$ und damit $x$ .
5. Das Parallelogramm $A B C_{4} D_{4}$ ist ein Rechteck.
  Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$ . (3,5 P)
  
  geg.: $A (0 ∣ - 4)$ ; $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{AD_n}(\varphi) =\begin{pmatrix} 3-6\cdot \sin\varphi\\ 9-10\cdot \sin^2 \varphi \end{pmatrix}$
  ges.: $\varphi$ unter der Bedingung, dass $A B C_{4} D_{4}$ Rechteck ist
  Ansatz und Rechnung:
  Bedingung für $A B C_{4} D_{4}$ ≙ Rechteck $\Rightarrow$ Skalarprodukt $\overrightarrow{AB}\odot\overrightarrow{AD_n}=0$ :
  $\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} 3-6\cdot \sin\varphi \\ 9-10\cdot \sin^2\varphi \end{pmatrix}=0 \qquad$ mit $\varphi \in[0°;90°]$
  Formel für Berechnung Skalarprodukt: $\color{red}\vec{a}\odot\vec{b}=\begin{pmatrix} a_x\\a_y \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} b_x\\b_y \end{pmatrix}=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y$
  $\mathbf {\Rightarrow 4\cdot(3-6\cdot \sin\varphi)+3\cdot (9-10\cdot \sin^2\varphi)=0}\quad |$ ausmultiplizieren
  $12-24\cdot \sin\varphi +27-30\cdot \sin^2\varphi=0 \qquad|$ zusammenfassen
  $39-24\cdot \sin\varphi -30\cdot \sin^2\varphi=0 \qquad\qquad \:|$ :30
  $1{,}3-0{,}8\cdot \sin\varphi -\sin^2\varphi=0 \qquad\quad\quad\quad |$ umschreiben in quadratische Gleichung
  $\mathbf{-\sin^2\varphi-0{,}8\cdot \sin\varphi +1{,}3=0}$
  Lösung mithilfe der a-b-c-Formel:
  1. Berechnung der Determinante $D$ mit $a = - 1$ ; $b = - 0,8$ ; $c = 1,3$
  $\Rightarrow \mathbf{D=b^2-4\cdot a \cdot c}=(-0{,}8)^2-4\cdot(-1)\cdot(1{,}3)=0{,}64+5{,}2=5{,}84$
  $\Rightarrow D>0 \leftrightarrow$ 2 Lösungen
  2. $D$ in a-b-c-Formel einsetzen:
  $\displaystyle\Rightarrow \mathbf{\sin\varphi_{1{,}2}}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-0{,}8)\pm\sqrt{5{,}84}}{2\cdot (-1)}=\mathbf{\frac{0{,}8\pm 2{,}4166}{-2}}$
  $\displaystyle\rightarrow {\sin\varphi_{1}}={\frac{0{,}8+2{,}4166}{-2}}={\frac{3{,}2166}{-2}}=-1{,}6083\qquad$ nicht definiert!
  $\displaystyle\mathbf{\rightarrow{\sin\varphi_{2}}={\frac{0{,}8-2{,}4166}{-2}}={\frac{-1{,}6166}{-2}}=0{,}8083}$
  $\mathbf{\Rightarrow \varphi_2=53{,}93°}\qquad\rightarrow \varphi \in[0°;90°]$
  $\Rightarrow \mathbf{\mathbb{L}=[{53{,}93°}]}$
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  Berechnung Skalarprodukt mit $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD_n}(\varphi)$ ,
  Lösung der trigonometrischen Gleichung mit a-b-c-Formel
6. Begründen Sie, weshalb für die y-Koordinate aller Punkte $C_{n}$ gilt: $y_{C_n}\geq -2$ . (1,5 P)
  
  geg.: $\overrightarrow{OC_n}(\varphi) =\begin{pmatrix} 7-6\cdot \sin\varphi\\ 8-10\cdot \sin^2 \varphi \end{pmatrix}$
  ges.: Nachweis, dass für $y -$ Koordinate aller Punkte $C_{n}$ gilt: $\color{red}{\mathbf {y_{c_n}\geqq -2}}\\$
  Ansatz und Rechnung:
  $\mathbf{{y_{C_n}}=8-10\cdot \underbrace {\sin^2\varphi} \geqq -2}$
  $\qquad \qquad \qquad {\underbrace{\sin^2 \varphi \color{red}\:\:\: {\leqq 1}}}$
  $\qquad \qquad \qquad {10\cdot \color {red}{1}} \color {green}\quad {\leqq 10}$
  $\mathbf{{\color {red}\Rightarrow \mathbf {y_{c_n}}}\geqq 8{\color{green}-10} {\color{red}\geqq -2}} \qquad\qquad$ q.e.d.
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  Benutze, dass $\sin^2\varphi \le 1$ ist.