geg.: $△ABC$ gleichschenklig mit Basis $\overline{AB}=6cm$, als Grundfläche der Pyramide ABCS,

$h_{Pyramide}=\overline{RS}=5cm$ (mit $R\in \overline{AB}$, $M=$Mittelpunkt $\overline{AB}$;

Schrägbild mit Schrägbildachse $\overline{AB}$, mit $q=\mathrm{0,5}$ und $\omega =45°$;

$|\overline{MC}|=4cm$; $|\overline{AS}|=\mathrm{5,5}cm$ ;

ges.: Zeichnung aus Aufgabenstellung ergänzen, $\sphericalangle BAS$ berechnen

Ansatz und Rechnung:

1. Schrägbild der Pyramide ergänzen:

2. Winkel BAS berechnen:

aus Zeichnung $\sphericalangle BAS\stackrel{\wedge}{=}\sphericalangle RAS$; Berechnung $\sphericalangle BAS$ mithilfe Sinus

$\Rightarrow \sin \sphericalangle BAS=[\frac{GK}{HY}]=\frac{\overline{RS}}{\overline{AS}}=\frac{5}{\mathrm{5,5}}=\mathrm{0,9090}$

$\Rightarrow \sphericalangle 𝐁𝐀𝐒=\mathrm{𝟔𝟓,𝟑𝟖}°$

geg.: $\sphericalangle AS{P}_n=\phi$mit $\phi \in ]0°;\mathrm{61,18}°]$

ges.:

1. Einzeichnung Strecke $\overline{S{P}_1}$ für $\phi =45°$ in das Schrägbild der Pyramide

2. Berechnung $\overline{S{P}_n}(\phi )$ mit Sinus-Supplementwinkel-Beziehung

Ansatz und Rechnung:

1. Schenkel in $S$ mit $45°$ an Strecke $\overline{AS}$ schneidet Strecke $\overline{AB}$ in $P_1$

2. Berechnung $\overline{S{P}_n}(\phi )$ mit Sinus-Supplementwinkel-Beziehung

$\sin (180°-(\phi +\sphericalangle BAS))=\frac{|\overline{RS}|}{|\overline{S{P}_n}|}=\frac{5cm}{|\overline{S{P}_n}|}$für $\phi \in ]0°;\mathrm{61,18}°]$

Entsprechend der Supplementwinkel-Beziehung $\sin (180°-\alpha )=\sin (\alpha )$

ergibt sich für $\sin (180°-(\phi +\sphericalangle BAS))=\sin (\phi +\sphericalangle BAS)$

$\Rightarrow \sin (\phi +\mathrm{65,38}°)=\frac{5cm}{|\overline{S{P}_n}|}$

nach Äquivalenzumformung (Multiplikation mit $|\overline{S{P}_n}|$ und Division durch $\sin (\phi +\mathrm{65,38}°)$ ) folgt

$|\overline{𝐒{𝐏}_{𝐧}}|(𝛗)={\displaystyle \frac{\mathrm{𝟓}}{\sin (𝛗+\mathrm{𝟔𝟓,𝟑𝟖}°)}}𝐜𝐦$

ges.:

1. Pyramide $A{P}_{1}SC$ mit C als Spitze $\Rightarrow h\stackrel{\wedge}{=}|\overline{MC}|=4cm$

2. . Volumen $V(\phi )$ der Pyramiden $A{P}_{n}SC$

Ansatz und Rechnung:

1. Pyramide $A{P}_{1}SC$ siehe Skizze in Aufgabe B a)

2. Volumen der Pyramiden $A{P}_{n}SC$

${𝐕}_{\text{Pyr}}=\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟑}}\cdot {𝐆}_{𝐀{𝐏}_{𝐧}𝐒}\cdot 𝐡$

$G_{A{P}_{n}S}$ mithilfe Sinussatz: $𝐆=\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}\cdot 𝐜\cdot 𝐛\cdot \sin (𝛂)$

$\Rightarrow G_{A{P}_{n}S}=\frac{1}{2}\cdot |\overline{AS}|\cdot |\overline{S{P}_n}|(\phi )\cdot \sin (\phi )$

mit $h\stackrel{\wedge}{=}MC=4cm$, $|\overline{AS}|=\mathrm{5,5}cm$ und $|\overline{S{P}_n}|(\phi )=\frac{5}{\sin (\mathrm{65,38}°+\phi )}cm$

eingestzt in $V_{\text{Pyr}}$ ergibt das

$\Rightarrow V_{\text{Pyr}}(\phi )=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot |\overline{AS}|\cdot |\overline{S{P}_n}|(\phi )\cdot \sin (\phi )\cdot 4$

$\Rightarrow V_{\text{Pyr}}(\phi )=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \mathrm{5,5}\cdot \frac{5}{\sin (\mathrm{65,38}°+\phi )}\cdot \sin (\phi )\cdot 4[c{m}^3]$ mit $\phi \in ]0°;\mathrm{61,18}°]$

$\Rightarrow {𝐕}_{\text{Pyr}}(𝛗)=\mathrm{𝟏𝟖,𝟑𝟑}\cdot \frac{𝐬𝐢𝐧(𝛗)}{\sin (\mathrm{𝟔𝟓,𝟑𝟖}°+𝛗)}[c{m}^3]$