geg.: $\triangle ABC$ gleichschenklig mit Basis $\overline{AB} =6\:cm$, als Grundfläche der Pyramide ABCS,

$h_{Pyramide}=\overline{RS}=5\:cm$ (mit $R\in\overline {AB}$, $M=$Mittelpunkt $\overline{AB}$;

Schrägbild mit Schrägbildachse $\overline {AB}$, mit $q=0{,}5$ und $ω=45°$;

$|\overline{MC}|=4\:cm$; $|\overline{AS}|=5{,}5\:cm$ ;

ges.: Zeichnung aus Aufgabenstellung ergänzen, $∢BAS$ berechnen

Ansatz und Rechnung:

1. Schrägbild der Pyramide ergänzen:

2. Winkel BAS berechnen:

aus Zeichnung $∢BAS ≙ ∢ RAS$; Berechnung $∢BAS$ mithilfe Sinus

$\Rightarrow \sin ∢BAS=[\frac{GK}{HY}]=\frac{\overline{RS}}{\overline{AS}}=\frac{5}{5{,}5}=0{,}9090$

$\mathbf{\Rightarrow ∢BAS=65{,}38°}$

geg.: $∢ASP_n=φ \qquad$mit $φ\in]0°;61{,}18°]$

ges.:

1. Einzeichnung Strecke $\overline {SP_1}$ für $φ=45°$ in das Schrägbild der Pyramide

2. Berechnung $\overline {SP_n}(φ)$ mit Sinus-Supplementwinkel-Beziehung

Ansatz und Rechnung:

1. Schenkel in $S$ mit $45°$ an Strecke $\overline {AS}$ schneidet Strecke $\overline {AB}$ in $P_1$

2. Berechnung $\overline {SP_n}(φ)$ mit Sinus-Supplementwinkel-Beziehung

$\sin(180°-(φ+∢BAS)) =\frac{|\overline{RS}|}{|\overline{SP_n}|}=\frac{5\:cm}{|\overline{SP_n}|}\qquad$für $φ\in]0°;61{,}18°]$

Entsprechend der Supplementwinkel-Beziehung $\color{green}\sin(180°-α)=\sin(α)$

ergibt sich für $\color{green}\sin(180°-(φ+∢BAS)) =\sin(φ+∢BAS)$

$\Rightarrow\quad \sin(φ+65{,}38°)=\frac{5\:cm}{{|\overline{SP_n}|}}$

nach Äquivalenzumformung (Multiplikation mit $\color{blue}|\overline{SP_n}|$ und Division durch $\color{blue}\sin(φ+65{,}38°)$ ) folgt

${{\mathbf{|\overline {SP_n}|(φ)=\dfrac{5}{\sin(φ+65{,}38°)}\:cm}}}$

ges.:

1. Pyramide $AP_1SC$ mit C als Spitze $\Rightarrow h≙ |\overline{MC}|=4\:cm$

2. . Volumen $V(\varphi)$ der Pyramiden $AP_nSC$

Ansatz und Rechnung:

1. Pyramide $AP_1SC$ siehe Skizze in Aufgabe B a)

2. Volumen der Pyramiden $AP_nSC$

$\mathbf{V_{\text{Pyr}}=\frac{1}{3}\cdot G_{AP_nS}\cdot h}$

$G_{AP_nS}$ mithilfe Sinussatz: $\mathbf{{G=\frac{1}{2}\cdot c \cdot b \cdot \sin(α)}}$

$\Rightarrow G_{AP_nS}=\frac{1}{2}\cdot {|\overline{AS}|\cdot {|\overline{SP_n}|(\varphi)}}\cdot\sin(\varphi)$

mit $h≙MC=4\:cm$, ${|\overline{AS}|}=5{,}5\:cm$ und ${{|\overline{SP_n}|}}(\varphi)= \frac{5}{\sin(65{,}38°+φ)}cm$

eingestzt in $V_{\text{Pyr}}$ ergibt das

$\Rightarrow\quad V_{\text{Pyr}}(\varphi)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot {|\overline{AS}|\cdot {|\overline{SP_n}|(\varphi)}}\cdot\sin(\varphi)\cdot 4$

$\Rightarrow\quad V_{\text{Pyr}}(\varphi)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot5{,}5\cdot\frac{5}{\sin(65{,}38°+φ)}\cdot\sin(\varphi)\cdot 4 \: [cm^3]$ mit $φ\in]0°;61{,}18°]$

$\Rightarrow\quad \mathbf{V_{\text{Pyr}}(\varphi)=18{,}33\cdot\frac{sin(\varphi)}{\sin(65{,}38°+φ)}}\: [cm^3]$