Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B3

Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5$ und $x$ , $y \in ℝ$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Geben Sie die Wertemenge der Funktion $f_{1}$ und die Gleichung der Asymptote $h$ des Graphen zu $f_{1}$ an.
Zeichnen Sie zudem den Graphen zu $f_{1}$ für $x \in [- 2,5; 5]$ in ein Koordinatensystem ein. (3 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 3 \leq x \leq 5; - 3 \leq y \leq 8$

geg.: $y = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5$ jeweils mit $x, y \in ℝ$
Anwendung der Identität von $\log_{0,5} (. . .) ≙ \log_{\frac{1}{2}} (. . .) ≙ - \log_{2} (. . .)$ auf $f_{1}$
$\Rightarrow y = - 2 \cdot (- \log_{2} (x + 3)) + 1,5$
$\Rightarrow y = 2 \cdot \log_{2} (x + 3) + 1,5$
Für die Zeichung gilt: $L E ≙ 1 c m; - 3 \leq x \leq 5; - 3 \leq y \leq 8$
ges.:
1. Wertemenge $W$ von $f_{1}$
2. Gleichung der Asymptote $h$ des Graphen von $f_{1}$ für $x \in [- 2,5; 5]$
Ansatz und Rechnung:
1. Wertemenge: $𝕎 = ℝ$
2. Graph: gezeichnet mit https://www.mathway.com
Graph von $f_{1}$ mit Asymptote $h$

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Schreibe den Logarithmus auf einen mit der Basis $2$ um.
Benutze, dass alle Logarithmen bei Null eine senkrechte Asymptote haben.
Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse sowie
anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \end{array})$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{2}$ die Gleichung $y = 2 \cdot \log_{0,5} (x + 4) + 3,5$ $(x, y \in ℝ)$ besitzt und zeichnen Sie den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 3; 5]$ in das Koordinatensystem zu a) ein. (3 P)

geg.: Funktionsgraph $f_{1}$ ; Verschiebungsvektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \end{array})$
ges.: $f_{2}$ (=gespiegelte und parallel verschobene $f_{1}$ ) mit Graph
Ansatz und Rechnung:
1. Spiegelung $f_{1}$ an x-Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit $- 1$
$\Rightarrow (\begin{array}{c} x^{^{'}} \\ y^{^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ - 1 \cdot (- 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5 \end{array}) x, x ‘, y ‘ \in ℝ$
$x^{'} = x$ einsetzen in $y^{'}$ :
$\Rightarrow 𝐟_{𝟏 gespiegelt} : 𝐲^{^{'}} = 𝟐 \cdot \log_{𝟎,𝟓} (𝐱 + 𝟑) - 𝟏,𝟓$
Jetzt kann man natürlich wieder $y^{'}$ in $y$ umbenennen:
$𝐟_{𝟏 gespiegelt} : 𝐲 = 𝟐 \cdot \log_{𝟎,𝟓} (𝐱 + 𝟑) - 𝟏,𝟓$
2. Parallelverschiebung der gespiegelten Funktion durch Vektoraddition
mit $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \end{array})$
$\Rightarrow (\begin{array}{c} x^{^{'}} \\ y^{^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) - 1,5 \end{array}) \oplus︎ (\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \end{array}) x, x ‘, y ‘ \in ℝ$
$x^{'} = x - 1 \Rightarrow x = x^{'} + 1$ eingesetzt in $y^{'}$
$y^{^{'}} = 2 \cdot \log_{0,5} (x + 1 + 3) - 1,5 + 5 = 2 \cdot \log_{0,5} (x + 4) + 3,5 𝔾 = ℝ x ℝ$
Jetzt wird wieder $y^{'}$ in $y$ umbenannt:
$\Rightarrow f_{2} : y = 2 \cdot \log_{0,5} (x + 4) + 3,5 x, y \in ℝ$
Anwendung der Identität von $\log_{0,5} (. . .) ≙ \log_{\frac{1}{2}} (. . .) ≙ - \log_{2} (. . .)$
$\Rightarrow 𝐟_{𝟐 𝐯 𝐞 𝐫 𝐬 𝐜 𝐡 𝐨 𝐛 𝐞 𝐧} 𝐲 = - 𝟐 \cdot \log_{𝟐} (𝐱 + 𝟒) + 𝟑,𝟓$
3. Einzeichnen des Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 3; 5] :$
Graph wurde gezeichnet mit https://www.mathway.com
Graph von $f_{2}$
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1. Spiegelung von $f_{1}$ an x-Achse;
2. Parallelverschiebung von $f_{1}$ ;
3. Graph der gespiegelten und verschobenen Funktion $f_{2}$ ins KOSY einzeichnen
Punkte $A_{n} (x | - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $C_{n} (x | 2 \cdot \log_{0,5} (x + 4) + 3,5)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ . Sie sind für $x > - 1,26$ zusammen mit Punkten $B_{n}$ und $D_{n}$ die Eckpunkte von Drachenvierecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ mit den Symmetrieachsen $A_{n} C_{n}$ .
Es gilt: $\vec{A_{n} B_{n}} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2,5 \end{array})$ .
Zeichnen Sie die Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 3$ mit ihren Diagonalen in das Koordinatensystem zu a) ein. (2 P)

geg.: $A_{n} (x │ - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5)$ auf $f_{1}$ und $C_{n} (x │ 2 \cdot \log_{0,5} (x + 4) + 3,5)$ auf $f_{2}$ sind für $x > - 1,26$ mit den Punkten $B_{n}$ und $D_{n}$ die Eckpunkte von Drachenvierecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ mit den Symmetrieachsen $A_{n} C_{n}$
ges.: Zeichnung der Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 3$ mit ihren Diagonalen $A_{n} C_{n}$ und $B_{n} D_{n}$ ins KOSY
Ansatz & Rechnung:
1. Eckpunkte $A_{1}$ und $C_{1}$ für $x = - 1$ sowie $A_{2}$ und $C_{2}$ für $x = 3$ berechnen und einzeichnen.
Unter Berücksichtigung der Identität von $\log_{0,5} (. . .) ≙ \log_{\frac{1}{2}} (. . .) ≙ - \log_{2} (. . .)$
$A_{1} : y = - 2 \cdot \log_{0,5} (- 1 + 3) + 1,5 = - 2 \cdot (- \log_{2} (2) + 1,5 = - 2 \cdot (- 1) + 1,5 = 3,5$
$A_{2} : y = - 2 \cdot \log_{0,5} (3 + 3) + 1,5 = - 2 \cdot (- \log_{2} (6) + 1 = - 2 \cdot (- 2,58) + 1,5 = 6,66$
$C_{1} : y = 2 \cdot \log_{0,5} (- 1 + 4) + 3,5 = 2 \cdot (- \log_{2} (3) + 3,5 = 2 \cdot (- 1,58) + 3,5 = 0,34$
$C_{2} : y = 2 \cdot \log_{0,5} (3 + 4) + 3,5 = 2 \cdot (- \log_{2} (7) + 3,5 = 2 \cdot (- 2,81) + 3,5 = - 2,12$
$\Rightarrow$ $𝐀_{𝟏} (- 𝟏 │ 𝟑,𝟓) 𝐂_{𝟏} (- 𝟏 │ 𝟎,𝟑𝟒) 𝐀_{𝟐} (𝟑 | 𝟔,𝟔𝟔) 𝐂_{𝟐} (𝟑 │ - 𝟐,𝟏𝟐)$
Diagonalen $A_{1} C_{1} = e$ und $A_{2} C_{2} = f$ einzeichnen.
2. Eckpunkte $B_{1}, B_{2}$ sowie $D_{1}, D_{2}$ berechnen und einzeichnen:
aus Vektor $\vec{A_{n} B_{n}} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2,5 \end{array})$ ergeben sich die $x -$ und $y -$ Komponenten für die Abstandsverhältnisse der Punkte $B_{n} = - 2 L E$ Abstand von Diagonale $f$ und $- 2,5 L E$ Abstand von $A_{n}$ , siehe nachfolgende Zeichnung.
Damit ergeben sich die Koordinaten von $B_{n}$ und $D_{n}$ wie folgt:
aus $A_{1} (- 1 | 3,5) : \Rightarrow B_{1} (- 1 - 2 │ 3,5 - 2,5) \Rightarrow B_{1} (- 3 │ 1)$
aus $A_{2} (3 | 6,66) : \Rightarrow B_{2} (3 - 2 | 6,66 - 2,5) \Rightarrow B_{2} (1 | 4,16)$
$D_{n}$ liegen spiegelbildlich zu $B_{n}$ , d.h. $x -$ Komponenten der $B_{n}$ werden mit $(2 + 2) = + 4 L E$ berechnet:
aus $B_{1} (- 3 │ 1) : \Rightarrow D_{1} (- 3 + 4 │ 1) \Rightarrow D_{1} (1 │ 1)$
aus $B_{2} (1 | 4,16) : \Rightarrow D_{2} (1 + 4 | 4,16) \Rightarrow D_{2} (5 | 4,16)$
Graphen $f_{1}$ und $f_{2}$ gezeichnet mit https://www.mathway.com,
Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ mit den zuvor berechneten Werten einzeichnen
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Eckpunkte $A_{1}$ und $C_{1}$ sowie $A_{2}$ und $C_{2}$ der Drachenvierecke berechnen und ins KOSY einzeichnen;
Eckpunkte $B_{1}$ und $B_{2}$ sowie $D_{1}$ und $D_{2}$ der Drachenvierecke berechnen und ins KOSY einzeichenen
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $A_{n} C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $| A_{n} C_{n} | (x) = [- 2 \cdot \log_{0,5} (x^{2} + 7 x + 12) - 2] LE$ . (2 P)

geg.: Punkte $A_{n}$ auf $f_{1} : y = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5$ ;
Punkte $C_{n}$ auf $f_{2} : y = 2 \cdot \log_{0,5} (x + 4) + 3,5$ ;
ges.: $| A_{n} C_{n} | (x)$
Ansatz und Rechnung:
$| A_{n} C_{n} | = f_{1} (x) - f_{2} (x)$
$| A_{n} C_{n} | (x) = [- 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5] - [2 \cdot \log_{0,5} (x + 4) + 3,5]$
$| A_{n} C_{n} | (x) = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5 - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 4) - 3,5$
$| A_{n} C_{n} | (x) = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 4) - 2$
$| A_{n} C_{n} | (x) = - 2 \cdot [\log_{0,5} (x + 3) + \log_{0,5} (x + 4)] - 2$
mit 1. Logarithmusgesetz: $\log_{a} (x) + \log_{a} (y) = \log_{a} (x \cdot y)$ folgt:
$| A_{n} C_{n} | (x) = - 2 \cdot \log_{0,5} [(x + 3) \cdot (x + 4)] - 2$
$| 𝐀_{𝐧} 𝐂_{𝐧} | (𝐱) = - 𝟐 \cdot \log_{𝟎,𝟓} (𝐱^{𝟐} + 𝟕 𝐱 + 𝟏𝟐) - 𝟐 L E x \in ℝ; x > - 1,26$
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Berechnung der Strecke $| A_{n} C_{n} | (x)$
Das Drachenviereck $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ ist eine Raute.
Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes $A_{3}$ . (3 P)

geg.: Drachenviereck $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ wird Raute
ges.: $x -$ Koordinate von Punkt $A_{3} (x | y)$
Ansatz und Rechnung:
Bei einer Raute halbieren sich die Diagonalen. Die Entfernung von $A_{3}$ zum Schnittpunkt $M$ beträgt $2,5 L E$ .
Daher ist $| A_{3} C_{3} | = 2 \cdot 2,5 L E$ .
siehe Daten aus Aufgabe B_3c und B_3d
$\begin{array}{l} \Rightarrow - 2 \cdot \log_{0,5} (x^{2} + 7 x + 12) - 2 ≙ 2 \cdot 2,5 L E x \in ℝ; x > - 1,26 \end{array}$ $\Rightarrow - 2 \cdot \log_{0,5} (x^{2} + 7 x + 12) - 2 = 5$ | $: (- 2)$
$\Rightarrow \log_{0,5} (x^{2} + 7 x + 12) + 1 = - 2,5$ | $+ 2,5$
Anwendung der Identität von $\log_{\frac{1}{a}} (x) ≙ - \log_{a} (x)$
$\Rightarrow - \log_{2} (x^{2} + 7 x + 12) + 3,5 = 0$ | $\cdot (- 1)$
$\Rightarrow \log_{2} (x^{2} + 7 x + 12) - 3,5 = 0$ | Logarithmus in Potenz umwandeln
$\begin{array}{l} x = \log_{a} (y) \Leftrightarrow y = a^{x} \end{array}$ $\Rightarrow x^{2} + 7 x + 12 - 2^{3,5} = 0$ | Potenz ausrechnen
$\Rightarrow x^{2} + 7 x + 12 = 11,31$ | $- 11,31$
$\begin{array}{l} \Rightarrow 𝐱^{𝟐} + 𝟕 𝐱 + 𝟎,𝟔𝟗 = 𝟎 \end{array}$
a-b-c-Formel ("Mitternachtsformel") anwenden: $x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
1. Diskriminante berechnen mit $a = 1$ , $b = 7$ , $c = 0,69$ :
$𝐃 = 𝐛^{𝟐} - 𝟒 \cdot 𝐚 \cdot 𝐜 = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0,69 = 49 - 2,76 = 46,24$
$\Rightarrow 𝐃 > 𝟎 \Leftrightarrow$ 2 Lösungen
2. D in a-b-c-Formel einsetzen:
$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 7 \pm \sqrt{46,24}}{2} = \frac{- 7 \pm 6,8}{2}$
$\Rightarrow x_{1} = \frac{- 7 + 6,8}{2} = - \frac{0,2}{2} = - 0,1$
$\Rightarrow x_{2} = \frac{- 7 - 6,8}{2} = - \frac{13,8}{2} = - 6,9$ Wegen $x > - 1,26$ fällt diese Lösung weg.
Die $x$ -Koordinate von $A_{3}$ ist also $- 0,1$ .
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Berechnung der x-Koordinate eines Punktes mithilfe a-b-c-Formel
Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung des Trägergraphen $t$ der
Punkte $B_{n}$ gilt: $y = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 5) - 1$ mit $x, y \in ℝ$ .
Geben Sie sodann die Gleichung des Trägergraphen $k$ der Punkte $D_{n}$ an. (3 P)

geg.: Zur Berechnung der Punkte $B_{n}$ werden die $x -$ und $y -$ Komponenten der Gleichungen $f_{1}$ und $f_{2}$ jeweils mit den Koordinaten von $\vec{A_{n} B_{n}} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2,5 \end{array})$ ergänzt.
Abstand der Punkte $A_{n}$ zu $B_{n}$ ist $- 2 L E$ ;
Abstand der Punkte $A_{n}$ zu Diagonale $f$ ist $- 2,5 L E$
Die Punkte $D_{n}$ liegen spiegelbildlich zur Ordinatenachse, also $+ 2 L E$ von Diagonale $f$ und $- 2,5 L E$ von den Punkten $A_{n}$
ges.: Trägergraph $t$ für Punkte $B_{n}$ und Trägergraph $k$ für Punkte $D n$ .
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung $t$ von $B_{n}$ mithilfe von
$f_{1}$ : $y = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5$ und $\vec{𝐀_{𝐧} 𝐁_{𝐧}} = (\begin{array}{c} - 𝟐 \\ - 𝟐,𝟓 \end{array})$
$x_{B_{n}} = x - 2 \Rightarrow x = x_{B_{n}} + 2$
$\land y_{B_{n}} = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5 - 2,5 x_{B n}, y_{B n}, x \in ℝ; x > - 1,26$
$x$ in $y_{B_{n}}$ einsetzen:
$y_{B_{n}} = - 2 \cdot \log_{0,5} (x_{B_{n}} + 2 + 3) + 1,5 - 2,5$
$y_{B_{n}} = - 2 \cdot \log_{0,5} (x_{B_{n}} + 5) - 1 x_{B_{n}}, y_{B_{n}} \in ℝ$
$\begin{array}{l} \Rightarrow 𝐭 : 𝐲 = - 𝟐 \cdot \log_{𝟎,𝟓} (𝐱 + 𝟓) - 𝟏 x, y \in ℝ \end{array}$
2. Berechnung $k$ von $D_{n}$ mithilfe von
$f_{1}$ : $y = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5$ und $\vec{𝐀_{𝐧} 𝐃_{𝐧}} = (\begin{array}{c} 𝟐 \\ - 𝟐,𝟓 \end{array})$
$x_{D n} = x + 2 \Rightarrow x = x_{D n} - 2$
$\land y_{D n} = - 2 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1,5 - 2,5 x_{B n}, y_{B n}, x \in ℝ; x > - 1,26$
$x$ in $y_{D_{n}}$ einsetzen:
$y_{D_{n}} = - 2 \cdot \log_{0,5} (x_{D_{n}} - 2 + 3) + 1,5 - 2,5$
$y_{D_{n}} = - 2 \cdot \log_{0,5} (x_{D_{n}} + 1) - 1 x_{B_{n}}, y_{B_{n}} \in ℝ$
$\Rightarrow 𝐤 : 𝐲 = - 𝟐 \cdot \log_{𝟎,𝟓} (𝐱 + 𝟏) - 𝟏 x, y \in ℝ$
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Trägergraphen $t$ und $k$ für Punkte $B_{n}$ und $D_{n}$ berechnen

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Aufgabe B3

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