Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B4

Der Punkt $A (0 | - 4)$ legt mit den Pfeilen $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$ und $\vec{A D_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot \sin φ \\ 9 - 10 \cdot \sin^{2} φ \end{array})$ für

$φ \in [0^{\circ}; 90^{\circ}]$ Parallelogramme $A B C_{n} D_{n}$ fest.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Berechnen Sie die Koordinaten der Pfeile $\vec{A D_{1}}$ für $φ = 30^{\circ}$ und $\vec{A D_{2}}$ für $φ = 60^{\circ}$ .
Zeichnen Sie sodann die Parallelogramme $A B C_{1} D_{1}$ und $A B C_{2} D_{2}$ in ein Koordinatensystem ein. (4 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 3 \leq x \leq 5; - 4 \leq y \leq 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorrechnung
geg.: $A (0 | - 4)$ , Vektor $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$ ; $\vec{A D_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot \sin φ \\ 9 - 10 \cdot \sin^{2} φ \end{array})$ für $φ \in [0 °; 90 °]$
ges.: Parallelogramme $A B C_{n} D_{n}$ : $A B C_{1} D_{1}$ und $A B C_{2} D_{2}$
Ansatz und Rechnung:
Benutze dabei $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} = 0,5$ und $\sin 60^{\circ} = \sqrt{\frac{3}{4}} \approx 0,87$
1. Berechnung $\vec{A D_{1}} (für φ = 30 °)$ und $\vec{A D_{2}} (für φ = 60 °)$ :
$\vec{A D_{1}} (φ) = (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot \sin 30 ° \\ 9 - 10 \cdot \sin^{2} 30 ° \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot 0,5 \\ 9 - 10 \cdot {0,5}^{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 - 3 \\ 9 - 10 \cdot 0,25 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 9 - 2,5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 6,5 \end{array})$
$\vec{A D_{2}} (φ) = (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot \sin 60 ° \\ 9 - 10 \cdot \sin^{2} 60 ° \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot 0,87 \\ 9 - 10 \cdot {0,87}^{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 - 5,2 \\ 9 - 10 \cdot 0,75 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2,2 \\ 9 - 7,5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2,2 \\ 1,5 \end{array})$
2. Zeichnung: $L E = 1 c m$ ; mit $x : - 3 ≦ x ≦ 5$ und $y : - 4 ≦ y ≦ 6$ ,
mit $A (0 | - 4)$ , $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$ , $\vec{A D_{1}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 6,5 \end{array})$ und $\vec{A D_{2}} = (\begin{array}{c} - 2,2 \\ 1,5 \end{array})$ Parallelogramme $A B C_{1} D_{1}$ und $A B C_{2} D_{2}$ zeichnen:
Parallelogramme $A B C_{1} D_{1}$ und $A B C_{2} D_{2}$
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Berechnung der Vektoren $\vec{A D_{1}} (für φ = 30 °)$ und
Berechnen Sie das Maß des Winkels $B A D_{1}$ . (1,5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie, Tangens
geg.: Strecke $X A = 3 L E$ , $X B = 4 L E$
ges.: $∢ B A D_{1}$ , siehe Zeichnung Aufgabe 4a
Ansatz und Rechnung:
$∢ B A D_{1} ≙ ∢ B A X = \tan \frac{𝐆 𝐊}{𝐀 𝐊} = \frac{4}{3} = 1, 3$
$\Rightarrow ∢ 𝐁 𝐀 𝐃_{𝟏} = 𝟓𝟑,𝟏𝟑 °$
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Der Winkel $B A D_{1}$ ist derselbe wie der Winkel $B A X$ mit $X (0 | - 1)$ .
Berechne den Tangens dieses Winkels.
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit
von $φ$ gilt: $C_{n} (7 - 6 \cdot \sin φ | 8 - 10 \cdot \sin^{2} φ)$ . (1,5 P)

geg.: $A (0 | - 4)$ , $O (0 | 0)$ $\Rightarrow$ $\vec{O A} = (\begin{array}{c} 0 - 0 \\ - 4 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \end{array})$ ; $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$ ;
$\vec{A D_{n}} = (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot \sin φ \\ 9 - 10 \cdot \sin^{2} φ \end{array})$ $= \vec{B C_{n}}$
ges.: Koordinaten der Punkte $C_{n} (φ)$
Ansatz und Rechnung:
Berechnung mithilfe Vektoraddition $\vec{O C_{n}} = \vec{O A} \oplus︎ \vec{A B} \oplus︎ \vec{B C_{n}}$ mit $φ \in [0 °; 90 °]$
$\Rightarrow \vec{O C_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \end{array}) \oplus︎ (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}) \oplus︎ (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot \sin φ \\ 9 - 10 \cdot \sin^{2} φ \end{array})$ mit $φ \in [0 °; 90 °]$
$\Rightarrow \vec{𝐎 𝐂_{𝐧}} (𝛗) = (\begin{array}{c} 𝟕 - 𝟔 \cdot \sin 𝛗 \\ 𝟖 - 𝟏𝟎 \cdot \sin^{𝟐} 𝛗 \end{array})$
somit ist $𝐂_{𝐧} (𝟕 - 𝟔 \cdot \sin 𝛗 | 𝟖 - 𝟏𝟎 \cdot \sin^{𝟐} 𝛗)$
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Berechnung Vektor $\vec{O C_{n}} (φ)$ und damit die Koordinaten von $C_{n} (φ)$
Der Punkt $C_{3}$ des Parallelogramms $A B C_{3} D_{3}$ liegt auf der $x$ -Achse.
Berechnen Sie die $x$ -Koordinate des Punktes $C_{3}$ . (2,5 P)

geg.: $𝐂_{𝐧} (𝟕 - 𝟔 \cdot 𝐬 𝐢 𝐧 𝛗 | 𝟖 - 𝟏𝟎 \cdot 𝐬 𝐢 𝐧^{𝟐} 𝛗)$
ges.: $x$ für $C_{3}$ auf der $x$ -Achse
Ansatz und Rechnung:
wenn $C_{3}$ auf der $x$ -Achse liegt, dann ist die $y$ -Koordinate $= 0$
$\Rightarrow y : 8 - 10 \cdot \sin^{2} φ = 0 mit φ \in [0 °; 90 °]$
$8 = 10 \cdot \sin^{2} φ | : 10$
$\frac{8}{10} = \sin^{2} φ | \sqrt{}$
$\sqrt{0,8} = \sqrt{\sin^{2} φ} \Rightarrow 0,8944 = \sin φ \Rightarrow φ ≙ 63,43 °$
Berechnung der $x$ -Koordinate durch Einsetzen von $\sin φ = 0,8944$ :
$\Rightarrow 𝐱_{𝐂_{𝟑}} = 77 - 6 \cdot 0,8944 = 7 - 5,37 = 𝟏,𝟔𝟑$
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Punkte auf der $x$ -Achse haben die y-Koordinate Null. Berechne daraus $\sin φ$ und damit $x$ .
Das Parallelogramm $A B C_{4} D_{4}$ ist ein Rechteck.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $φ$ . (3,5 P)

geg.: $A (0 | - 4)$ ; $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$ ; $\vec{A D_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot \sin φ \\ 9 - 10 \cdot \sin^{2} φ \end{array})$
ges.: $φ$ unter der Bedingung, dass $A B C_{4} D_{4}$ Rechteck ist
Ansatz und Rechnung:
Bedingung für $A B C_{4} D_{4}$ ≙ Rechteck $\Rightarrow$ Skalarprodukt $\vec{A B} ⊙ \vec{A D_{n}} = 0$ :
$(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} 3 - 6 \cdot \sin φ \\ 9 - 10 \cdot \sin^{2} φ \end{array}) = 0$ mit $φ \in [0 °; 90 °]$
Formel für Berechnung Skalarprodukt: $\vec{a} ⊙ \vec{b} = (\begin{array}{c} a_{x} \\ a_{y} \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} b_{x} \\ b_{y} \end{array}) = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y}$
$\Rightarrow 𝟒 \cdot (𝟑 - 𝟔 \cdot \sin 𝛗) + 𝟑 \cdot (𝟗 - 𝟏𝟎 \cdot \sin^{𝟐} 𝛗) = 𝟎 |$ ausmultiplizieren
$12 - 24 \cdot \sin φ + 27 - 30 \cdot \sin^{2} φ = 0 |$ zusammenfassen
$39 - 24 \cdot \sin φ - 30 \cdot \sin^{2} φ = 0 |$ :30
$1,3 - 0,8 \cdot \sin φ - \sin^{2} φ = 0 |$ umschreiben in quadratische Gleichung
$- \sin^{𝟐} 𝛗 - 𝟎,𝟖 \cdot \sin 𝛗 + 𝟏,𝟑 = 𝟎$
Lösung mithilfe der a-b-c-Formel:
1. Berechnung der Determinante $D$ mit $a = - 1$ ; $b = - 0,8$ ; $c = 1,3$
$\Rightarrow 𝐃 = 𝐛^{𝟐} - 𝟒 \cdot 𝐚 \cdot 𝐜 = (- 0,8)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (1,3) = 0,64 + 5,2 = 5,84$
$\Rightarrow D > 0 \leftrightarrow$ 2 Lösungen
2. $D$ in a-b-c-Formel einsetzen:
$\Rightarrow \sin 𝛗_{𝟏,𝟐} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- (- 0,8) \pm \sqrt{5,84}}{2 \cdot (- 1)} = \frac{𝟎,𝟖 \pm 𝟐,𝟒𝟏𝟔𝟔}{- 𝟐}$
$\to \sin φ_{1} = \frac{0,8 + 2,4166}{- 2} = \frac{3,2166}{- 2} = - 1,6083$ nicht definiert!
$\to \sin 𝛗_{𝟐} = \frac{𝟎,𝟖 - 𝟐,𝟒𝟏𝟔𝟔}{- 𝟐} = \frac{- 𝟏,𝟔𝟏𝟔𝟔}{- 𝟐} = 𝟎,𝟖𝟎𝟖𝟑$
$\Rightarrow 𝛗_{𝟐} = 𝟓𝟑,𝟗𝟑 ° \to φ \in [0 °; 90 °]$
$\Rightarrow 𝕃 = [𝟓𝟑,𝟗𝟑 °]$
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Berechnung Skalarprodukt mit $\vec{A B}$ und $\vec{A D_{n}} (φ)$ ,
Lösung der trigonometrischen Gleichung mit a-b-c-Formel
Begründen Sie, weshalb für die y-Koordinate aller Punkte $C_{n}$ gilt: $y_{C_{n}} \geq - 2$ . (1,5 P)

geg.: $\vec{O C_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} 7 - 6 \cdot \sin φ \\ 8 - 10 \cdot \sin^{2} φ \end{array})$
ges.: Nachweis, dass für $y -$ Koordinate aller Punkte $C_{n}$ gilt: $\begin{array}{l} 𝐲_{𝐜_{𝐧}} ≧ - 𝟐 \end{array}$
Ansatz und Rechnung:
$𝐲_{𝐂_{𝐧}} = 𝟖 - 𝟏𝟎 \cdot \underset{⏟}{\sin^{𝟐} 𝛗} ≧ - 𝟐$
$\underset{⏟}{\sin^{2} φ ≦ 1}$
$10 \cdot 1 ≦ 10$
$\Rightarrow 𝐲_{𝐜_{𝐧}} ≧ 𝟖 - 𝟏𝟎 ≧ - 𝟐$ q.e.d.
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Benutze, dass $\sin^{2} φ \leq 1$ ist.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Aufgabe B4

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