geg.: $A(0|-4)$, Vektor $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}$; $\overrightarrow{AD_n}(\varphi) =\begin{pmatrix} 3-6\cdot \sin\varphi\\ 9-10\cdot \sin^2 \varphi \end{pmatrix}$ für $\varphi \in [0°; 90°]$

ges.: Parallelogramme $ABC_nD_n$: $ABC_1D_1$ und $ABC_2D_2$

Ansatz und Rechnung:

Benutze dabei $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}=0{,}5$ und $\sin 60^\circ=\sqrt{\frac{3}{4}}\approx 0{,}87$

1. Berechnung $\overrightarrow{AD_1}(\text{ für }\:\varphi=30°)$ und $\overrightarrow{AD_2}(\text{ für }\:\varphi=60°)$:

$\overrightarrow{AD_1}(\varphi)=\begin{pmatrix} 3-6\cdot \sin30°\\ 9-10\cdot \sin^2 30° \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-6\cdot 0{,}5\\ 9-10\cdot 0{,}5^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-3\\ 9-10\cdot 0{,}25 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 9-2{,}5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 6{,}5 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AD_2}(\varphi)=\begin{pmatrix} 3-6\cdot \sin60°\\ 9-10\cdot \sin^2 60° \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-6\cdot 0{,}87\\ 9-10\cdot 0{,}87^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-5{,}2\\ 9-10\cdot 0{,}75 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2{,}2\\ 9-7{,}5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2{,}2\\ 1{,}5 \end{pmatrix}$

2. Zeichnung: $LE=1cm$; mit $x: -3\leqq x \leqq 5$ und $y: -4\leqq y\leqq 6$ ,

mit $A(0|-4)$, $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AD_1}=\begin{pmatrix} 0\\ 6{,}5 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{AD_2}=\begin{pmatrix} -2{,}2\\ 1{,}5\end{pmatrix}$ Parallelogramme $ABC_1D_1$ und $ABC_2D_2$ zeichnen:

geg.: Strecke $\overline {XA}=3 LE$, $\overline {XB}=4 LE$

ges.: $∢ BAD_1$, siehe Zeichnung Aufgabe 4a

Ansatz und Rechnung:

$∢ BAD_1 ≙ ∢ BAX =\mathbf{\tan \frac{GK}{AK}}=\frac{4}{3}=1,\overline{3}$

$\Rightarrow \mathbf {\quad ∢ BAD_1=53{,}13°}$

geg.: $A(0|-4)$, $O(0|0)$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0-0 \\ -4-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix}$; $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4 \\ 3 \end{pmatrix}$;

$\overrightarrow{AD_n}=\begin{pmatrix} 3-6\cdot \sin \varphi \\ 9-10\cdot \sin^2\varphi \end{pmatrix}$ $=\overrightarrow{BC_n}$

ges.: Koordinaten der Punkte $C_n(\varphi)$

Ansatz und Rechnung:

Berechnung mithilfe Vektoraddition $\overrightarrow {OC_n}=\overrightarrow {OA}⊕\overrightarrow {AB}⊕\overrightarrow {BC_n}$ mit $\varphi \in[0°;90°]$

$\Rightarrow \overrightarrow{OC_n}(\varphi)=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix}⊕\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}⊕\begin{pmatrix} 3-6\cdot \sin \varphi\\ 9-10\cdot \sin^2 \varphi \end{pmatrix}$ mit $\varphi \in[0°;90°]$

$\mathbf{\Rightarrow \overrightarrow{OC_n}(\varphi)=\begin{pmatrix} 7-6\cdot \sin \varphi\\ 8-10\cdot \sin^2 \varphi \end{pmatrix}}$

somit ist $\mathbf {C_n(7-6\cdot \sin\varphi|8-10\cdot \sin^2\varphi)}$

geg.: $\mathbf {C_n(7-6\cdot sin\varphi|8-10\cdot sin^2\varphi)}$

ges.: $x$ für $C_3$ auf der $x$-Achse

Ansatz und Rechnung:

wenn $C_3$ auf der $x$-Achse liegt, dann ist die $y$-Koordinate $= 0$

$\Rightarrow \quad y: \quad 8-10\cdot \sin^2\varphi=0\qquad \text{mit }\:\varphi\in[0°;90°]$

$8=10\cdot \sin^2\varphi \qquad\:\:\: |:10$

$\frac{8}{10}=\sin^2\varphi \qquad\qquad|\sqrt{}$

$\sqrt{0{,}8}=\sqrt{\sin^2\varphi}\qquad\Rightarrow 0{,}8944=\sin\varphi\qquad\Rightarrow \qquad \varphi ≙ 63{,}43°$

Berechnung der $x$-Koordinate durch Einsetzen von $\sin\varphi=0{,}8944$:

$\Rightarrow \mathbf{x_{C_3}}=77-6\cdot 0{,}8944=7-5{,}37=\mathbf{1{,}63}$

geg.: $A(0|-4)$; $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}$; $\overrightarrow{AD_n}(\varphi) =\begin{pmatrix} 3-6\cdot \sin\varphi\\ 9-10\cdot \sin^2 \varphi \end{pmatrix}$

ges.: $\varphi$ unter der Bedingung, dass $ABC_4D_4$ Rechteck ist

Ansatz und Rechnung:

Bedingung für $ABC_4D_4$ ≙ Rechteck $\Rightarrow$ Skalarprodukt $\overrightarrow{AB}\odot\overrightarrow{AD_n}=0$ :

$\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} 3-6\cdot \sin\varphi \\ 9-10\cdot \sin^2\varphi \end{pmatrix}=0 \qquad$ mit $\varphi \in[0°;90°]$

Formel für Berechnung Skalarprodukt: $\color{red}\vec{a}\odot\vec{b}=\begin{pmatrix} a_x\\a_y \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} b_x\\b_y \end{pmatrix}=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y$

$\mathbf {\Rightarrow 4\cdot(3-6\cdot \sin\varphi)+3\cdot (9-10\cdot \sin^2\varphi)=0}\quad |$ ausmultiplizieren

$12-24\cdot \sin\varphi +27-30\cdot \sin^2\varphi=0 \qquad|$ zusammenfassen

$39-24\cdot \sin\varphi -30\cdot \sin^2\varphi=0 \qquad\qquad \:|$ :30

$1{,}3-0{,}8\cdot \sin\varphi -\sin^2\varphi=0 \qquad\quad\quad\quad |$umschreiben in quadratische Gleichung

$\mathbf{-\sin^2\varphi-0{,}8\cdot \sin\varphi +1{,}3=0}$

Lösung mithilfe der a-b-c-Formel:

1. Berechnung der Determinante $D$ mit $a=-1$; $b=-0{,}8$; $c=1{,}3$

$\Rightarrow \mathbf{D=b^2-4\cdot a \cdot c}=(-0{,}8)^2-4\cdot(-1)\cdot(1{,}3)=0{,}64+5{,}2=5{,}84$

$\Rightarrow D>0 \leftrightarrow$ 2 Lösungen

2. $D$ in a-b-c-Formel einsetzen:

$\displaystyle\Rightarrow \mathbf{\sin\varphi_{1{,}2}}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-0{,}8)\pm\sqrt{5{,}84}}{2\cdot (-1)}=\mathbf{\frac{0{,}8\pm 2{,}4166}{-2}}$

$\displaystyle\rightarrow {\sin\varphi_{1}}={\frac{0{,}8+2{,}4166}{-2}}={\frac{3{,}2166}{-2}}=-1{,}6083\qquad$nicht definiert!

$\displaystyle\mathbf{\rightarrow{\sin\varphi_{2}}={\frac{0{,}8-2{,}4166}{-2}}={\frac{-1{,}6166}{-2}}=0{,}8083}$

$\mathbf{\Rightarrow \varphi_2=53{,}93°}\qquad\rightarrow \varphi \in[0°;90°]$

$\Rightarrow \mathbf{\mathbb{L}=[{53{,}93°}]}$

geg.: $\overrightarrow{OC_n}(\varphi) =\begin{pmatrix} 7-6\cdot \sin\varphi\\ 8-10\cdot \sin^2 \varphi \end{pmatrix}$

ges.: Nachweis, dass für $y-$Koordinate aller Punkte $C_n$ gilt: $\color{red}{\mathbf {y_{c_n}\geqq -2}}\\$

Ansatz und Rechnung:

$\mathbf{{y_{C_n}}=8-10\cdot \underbrace {\sin^2\varphi} \geqq -2}$

$\qquad \qquad \qquad {\underbrace{\sin^2 \varphi \color{red}\:\:\: {\leqq 1}}}$

$\qquad \qquad \qquad {10\cdot \color {red}{1}} \color {green}\quad {\leqq 10}$

$\mathbf{{\color {red}\Rightarrow \mathbf {y_{c_n}}}\geqq 8{\color{green}-10} {\color{red}\geqq -2}} \qquad\qquad$q.e.d.