🎓 Ui, schon Prüfungszeit? Hier geht's zur Mathe-Prüfungsvorbereitung.
Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Bild

Das Trapez ABCDABCD mit [AB][DC]\left[AB\right]\parallel\left[DC\right] ist die Grundfläche des Prismas ABCDEFGHABCDEFGH mit der Höhe [AE][AE] (siehe Skizze).

Es gilt: AB=5  cm\overline{AB}=5\;\text{cm}; AD=7  cm\overline{AD}=7\;\text{cm}; BAD=90\measuredangle{BAD}=90^\circ; DC=9  cm\overline{DC}=9\;\text{cm}; AE=7,5  cm\overline{AE}=7{,}5\;\text{cm}.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

  1. Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas ABCDEFGHABCDEFGH mit der Strecke [HC][HC], wobei [AC][AC] auf der Schrägbildachse und AA links von BB liegen soll.

    Für die Zeichnung gilt: q=12q= \frac{1}{2}; w=45w=45^\circ.

    Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels DHCDHC und die Länge der Strecke [HC][HC].[Teilergebnis: DHC=50,19\measuredangle DHC= 50{,}19^\circ]

  2. Der Punkt KK liegt auf der Strecke [BF][BF]. Die Strecke [EK][EK] verläuft parallel zur Strecke [HC][HC]. Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [EK][EK]. Die Winkel PnAEP_nAE haben das Maß φ\varphi mit φ  ]0;56,31]\varphi \in\;]0^\circ;56{,}31^\circ]

    Zeichnen Sie die Strecke [EK][EK] sowie das Dreieck AP1EAP_1E für φ=15\varphi=15^\circ in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein.

  3. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [APn][AP_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: APn(φ)=5,76sin(φ+50,19°)  cm\overline{AP_n}(\varphi)=\dfrac{5{,}76}{\sin(\varphi+50{,}19\degree)}\;\text{cm}.

    Die Länge der Strecke [AP0][AP_0] ist minimal. Geben Sie den zugehörigen Wert für φ\varphi an.

  4. Für Punkte Qn[HC]Q_n \in [HC] gilt: EPn=HQn\overline{EP_n} = \overline{HQ_n}. Die Dreiecke APnEAP_nE sind die Grundflächen der Prismen APnEDQnHAP_nEDQ_nH.

    Zeichnen Sie das Prisma AP1EDQ1HAP_1EDQ_1H in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein.

    Ermitteln Sie sodann durch Rechnung das Volumen der Prismen APnEDQnHAP_nEDQ_nH in Abhängigkeit von φ.\varphi .

    [  Ergebnis:V(φ)=151,2sinφsin(φ+50,19)  cm3]\left[\;\text{Ergebnis}: V(\varphi) = \dfrac{151{,}2 \cdot \sin \varphi}{\sin(\varphi+50{,}19^\circ)}\;\text{cm}³\right]

  5. Das Volumen des Prismas AP2EDQ2HAP_2EDQ_2H ist um 70  %70\;\% kleiner als das Volumen des Prismas ABCDEFGHABCDEFGH. Berechnen Sie den zugehörigen Wert für φ\varphi.

  6. Bestätigen Sie durch Rechnung die obere Intervallgrenze für φ.\varphi.