Teil B - lernen mit Serlo!

Das Trapez $ABCD$ mit $\left[AB\right]\parallel\left[DC\right]$ ist die Grundfläche des Prismas $ABCDEFGH$ mit der Höhe $[AE]$ (siehe Skizze).

Es gilt: $\overline{AB}=5\;\text{cm}$ ; $\overline{AD}=7\;\text{cm}$ ; $\measuredangle{BAD}=90^\circ$ ; $\overline{DC}=9\;\text{cm}$ ; $\overline{AE}=7{,}5\;\text{cm}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$ mit der Strecke $[HC]$ , wobei $[AC]$ auf der Schrägbildachse und $A$ links von $B$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q= \frac{1}{2}$ ; $w=45^\circ$ .

Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels $DHC$ und die Länge der Strecke $[HC]$ .[Teilergebnis: $\measuredangle DHC= 50{,}19^\circ$ ]

Schrägbild des Prismas ABCDEFGH mit Schrägachse [AB]:

Strecke $\overline{AB}=5\;\text{cm}$ .
$\measuredangle BAD=90^\circ$ , da wir aber im Schrägbild die Winkel verkürzen und $\omega=45^\circ$ ist, zeichnen wir den Winkel $\measuredangle BAD=45^\circ$ (grün).
$\overline{AD}=7\;\text{cm}$ , da wir aber auch die Längen nach hinten verkürzen und $q=\frac{1}{2}$ ist, zeichnen wir die Strecke $\overline{AD}=3{,}5\;\text{cm}$ lang.
$\left[AB\right]\parallel\left[DC\right]$ : Wir zeichnen eine Parallele zu $[AB]$ im Punkt D.
$\overline{DC}=9\;\text{cm}$ , damit haben wir den Eckpunkt C.

$[AE]$ ist die Höhe des Prismas, daraus folgt, dass $[AE]$ senkrecht zu $[AB]$ ist. Wir zeichnen eine Senkrechte in $A$ mit einer Länge von $7{,}5\;\text{cm}$ .
Damit wissen wir, dass es ein gerades Prisma ist, wir können das Vorgehen bei den Eckpunkten B, C und D wiederholen (rot).

Zuletzt müssen wir nur noch die Eckpunkte verbinden.

Maß des Winkels DHC im rechtwinkligen Dreieck DHC mithilfe der Trigonometrie:

$\tan\left(\measuredangle DHC\right)=\frac{\;\text{Gegenkathete}}{\;\text{Ankathete}}=\frac{\overline{DC}}{\overline{HD}}$

$\tan\left(\measuredangle DHC\right)=\dfrac{9\;\text{cm}}{7{,}5\;\text{cm}}$

$\tan\left(\measuredangle DHC\right)=1{,}2$ | $\cdot\tan^{-1}$

$\measuredangle DHC\approx50{,}19^\circ$

Länge der Strecke $[HC]$ im rechtwinkligen Dreieck $DHC$ mit dem Satz des Pythagoras:

$\displaystyle \overline{HC}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{DC}^2+\overline{HD}^2$
$\displaystyle \overline{HC}^2$	$=$	$\displaystyle \left(9^2+7{,}5^2\right)\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{HC}^2$	$=$	$\displaystyle \left(81+56{,}25\right)\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{HC}^2$	$=$	$\displaystyle 137{,}25\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{HC}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{137{,}25}\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{HC}$	$≈$	$\displaystyle 11{,}72\;\text{cm}$

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Der Punkt $K$ liegt auf der Strecke $[BF]$ . Die Strecke $[EK]$ verläuft parallel zur Strecke $[HC]$ . Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[EK]$ . Die Winkel $P_nAE$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi \in\;]0^\circ;56{,}31^\circ]$
Zeichnen Sie die Strecke $[EK]$ sowie das Dreieck $AP_1E$ für $\varphi=15^\circ$ in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein.
Zeichnung der Strecke [EK]:
Wir wissen $\left[EK\right]\parallel\left[HC\right]$ , daher können wir
Möglichkeit: Eine Parallele zur Strecke $\left[HC\right]$ durch den Punkt $E$ zeichnen.
Möglichkeit: Den Winkel $DHC=50{,}19^\circ$ übertragen, da $\measuredangle DHC=\measuredangle AEK$ (blau).
Der Schnittpunkt der entstandenen Halbgeraden mit der Seite $[FB]$ ist der Punkt $K$ .
Zeichnung des Dreiecks $AP_1E$ mit
$\varphi=15°$ :
Wir zeichnen $\measuredangle P_1AE=15^\circ$ (pink), der Schnittpunkt mit der Seite $[EK]$ ist der Punkt $P_1$ .
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Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[AP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $\overline{AP_n}(\varphi)=\dfrac{5{,}76}{\sin(\varphi+50{,}19\degree)}\;\text{cm}$ .

Die Länge der Strecke $[AP_0]$ ist minimal. Geben Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$ an.

Länge der Strecke $\left[AP_n\right]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ im Dreieck $AP_nE$ mit dem Sinussatz:

$\displaystyle \frac{\overline{AP_n}}{\sin\left(\measuredangle AEP_1\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{AE}}{\sin\left(\measuredangle EP_1A\right)}$
$\displaystyle \frac{\overline{AP_n}}{\sin\left(50{,}19^{\circ}\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{7{,}5\ cm}{\sin\left(180^{\circ}-\left(50{,}19^{\circ}+\varphi\right)\right)}$	$\displaystyle \cdot \sin \left(50{,}19°\right)$
$\displaystyle \overline{AP_n}$	$=$	$\displaystyle \frac{7{,}5\;\text{cm}\cdot\sin\left(50{,}19^\circ\right)}{\sin\left(180^\circ-\left(50{,}19^\circ+\varphi\right)\right)} $
$\displaystyle \overline{AP_n}$	$=$	$\displaystyle \frac{5{,}76\;\text{cm}}{\sin\left(180^\circ-\left(50{,}19^\circ+\varphi\right)\right)}$
$\displaystyle \overline{AP_n}$	$=$	$\displaystyle \frac{5{,}76\;\text{cm}}{\sin\left(50{,}19^\circ+\varphi\right)}$
$\displaystyle \overline{AP_n}\left(\varphi\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{5{,}76}{\sin\left(\varphi+50{,}19^\circ\right)}\;\text{cm}$

Zusätzliche Begründung für $\sin\left(180^\circ-\left(50{,}19^\circ+\varphi\right)\right)=\sin\left(50{,}19^\circ+\varphi\right)$ :

Wir kennen die Supplementbeziehung, die besagt:

$\sin\left(180°-\varphi\right)=\sin\varphi$

Wir können also die 180° und das Minus in der Gleichung einfach weglassen!

Der Wert für $\varphi$ mit minimaler Länge der Strecke $\left[AP_0\right]$ :

Wir kennen $\overline{AP_n}\left(\varphi\right)=\frac{5{,}76}{\sin\left(\varphi+50{,}19^\circ\right)}\;\text{cm}$ ; dieser Bruch soll minimal groß sein. Bei Brüchen wissen wir, je größer der Nenner, desto kleiner die Zahl:

Beispiel: $\frac{1}{8}<\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$

Der Nenner: $\sin\left(\varphi+50{,}19^\circ\right)$ , also der Sinuswert, muss möglichst groß werden. Der größte Sinuswert ist $1$ , bei $\sin\left(90^\circ\right)=1$ .

$\varphi=90^\circ-50{,}19^\circ=39{,}81^\circ$

Wenn $\varphi=39{,}81^\circ$ , wird der Nenner gleich $1$ und die Strecke $[AP_0]$ minimal.

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Für Punkte $Q_n \in [HC]$ gilt: $\overline{EP_n} = \overline{HQ_n}$ . Die Dreiecke $AP_nE$ sind die Grundflächen der Prismen $AP_nEDQ_nH$ .

Zeichnen Sie das Prisma $AP_1EDQ_1H$ in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein.

Ermitteln Sie sodann durch Rechnung das Volumen der Prismen $AP_nEDQ_nH$ in Abhängigkeit von $\varphi .$

$\left[\;\text{Ergebnis}: V(\varphi) = \dfrac{151{,}2 \cdot \sin \varphi}{\sin(\varphi+50{,}19^\circ)}\;\text{cm}³\right]$

Das Volumen des Prismas $AP_2EDQ_2H$ ist um $70\;\%$ kleiner als das Volumen des Prismas $ABCDEFGH$ . Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$ .

Volumen des Prismas $ABCDEFGH$ mit einem Trapez als Grundfläche:

$\displaystyle V_{ABCDEFGH}$	$=$	$\displaystyle G_{Trapez}\cdot h$
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(a+c\right)\cdot h_a}{2}\cdot h_{ }$
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(\overline{AB}+\overline{DC}\right)\cdot \overline{AD}}{2}\cdot \overline{AE}$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{\left(5+9\right)\cdot7}{2}\cdot7{,}5\right)\;\text{cm}^3$
	$=$	$\displaystyle 367{,}50\;\text{cm}^3$

Volumen des Prismas $AP_nEDQ_nH$ , wenn es um $70\;\%$ kleiner ist:

$V_{AP_nEDQ_nH}=367{,}50\ cm^3\cdot\frac{30}{100}=110{,}25\ cm^3$

Den zugehörigen Wert für $\varphi$ bekommen wir, wenn wir das Volumen ( $110{,}25 \;\text{cm}^3$ ) mit der Formel gleichsetzen:

$\displaystyle V_{AP_nEDQ_nH}\left(\varphi\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{151{,}2\cdot\sin\varphi}{\sin\left(\varphi+50{,}19^\circ\right)}\;\text{cm}^3$
$\displaystyle 110{,}25\;\text{cm}^3$	$=$	$\displaystyle \frac{151{,}2\cdot\sin\varphi}{\sin\left(\varphi+50{,}19^\circ\right)}\;\text{cm}^3$	$\displaystyle :\text{cm}^3$
$\displaystyle 110{,}25$	$=$	$\displaystyle \frac{151{,}2\cdot \sin \varphi }{\sin \left(\varphi +50{,}19^{\circ }\right)}$

Bevor wir weiter auflösen, ein Hinweis:

Wir haben im Nenner das Additionstheorem $\sin\left(\varphi+50{,}19°\right)$ , das ich wie folgt auflöse:

$\sin\left(\varphi+50{,}19^\circ\right)=\sin\varphi\cdot\cos\left(50{,}19^\circ\right)+\sin\left(50{,}19°\right)\cdot\cos\varphi$

(Sinus des 1. Winkels, mal Kosinus des 2. Winkels plus Sinus des 2. Winkels, mal Kosinus des 1. Winkels.)

$\displaystyle 110{,}25$	$=$	$\displaystyle \frac{151{,}2\cdot\sin\varphi}{\sin\left(\varphi+50{,}19^{\circ}\right)}$
$\displaystyle 110{,}25$	$=$	$\displaystyle \frac{151{,}2\cdot\sin\varphi}{\sin\varphi\cdot\cos\left(50{,}19^{\circ}\right)+\sin\left(50{,}19^{\circ}\right)\cdot\cos\varphi}$	$\displaystyle :\ 151{,}2$
$\displaystyle \frac{110{,}25}{151{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin\varphi}{\sin\varphi\cdot\cos\left(50{,}19^{\circ}\right)+\sin\left(50{,}19^{\circ}\right)\cdot\cos\varphi}$
$\displaystyle \frac{35}{48}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin\varphi}{\sin\varphi\cdot\cos\left(50{,}19^{\circ}\right)+\sin\left(50{,}19^{\circ}\right)\cdot\cos\varphi}$
	↓	Vertauschen von Zähler und Nenner
$\displaystyle \frac{48}{35}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin\varphi\cdot\cos\left(50{,}19^{\circ}\right)+\sin\left(50{,}19^{\circ}\right)\cdot\cos\varphi}{\sin\varphi}$
	↓	Trennen in zwei Summanden
$\displaystyle \frac{48}{35}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin\varphi\cdot\cos\left(50{,}19^{\circ}\right)}{\sin\varphi}+\frac{\sin\left(50{,}19^{\circ}\right)\cdot\cos\varphi}{\sin\varphi}$
	↓	Kürzen und zusammenfassen
$\displaystyle \frac{48}{35}$	$=$	$\displaystyle \cos\left(50{,}19^{\circ}\right)+\sin\left(50{,}19^{\circ}\right)\cdot\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}$	$\displaystyle -\cos\left(50{,}19^{\circ}\right)$
$\displaystyle \frac{48}{35}-\cos\left(50{,}19^{\circ}\right)$	$=$	$\displaystyle \sin\left(50{,}19^{\circ}\right)\cdot\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}$
$\displaystyle \frac{\frac{48}{35}-\cos\left(50{,}19^{\circ}\right)}{\sin\left(50{,}19^{\circ}\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}$	$\displaystyle :\sin\left(50{,}19°\right)$

Weiterer Hinweis: $\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\tan\varphi$

$\displaystyle \frac{\frac{48}{35}-\cos\left(50{,}19^{\circ}\right)}{\sin\left(50{,}19^{\circ}\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}$	$\displaystyle \cdot\tan^{-1}$
	↓	Tausch von Nenner und Zähler
$\displaystyle \frac{\sin\left(50{,}19^{\circ}\right)}{\frac{48}{35}-\cos\left(50{,}19^{\circ}\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}$
$\displaystyle \frac{\sin\left(50{,}19^{\circ}\right)}{\frac{48}{35}-\cos\left(50{,}19°\right)}$	$=$	$\displaystyle \tan\varphi$
$\displaystyle 1{,}05058...$	$≈$	$\displaystyle \tan\varphi$	$\displaystyle \cdot\tan^{-1}$
$\displaystyle \varphi$	$≈$	$\displaystyle 46{,}41^{\circ}$

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Bestätigen Sie durch Rechnung die obere Intervallgrenze für $\varphi.$

Die obere Intervallgrenze für $\varphi$ :

Da der Punkt $P_n\in\left[EK\right]$ , ist $\varphi$ (pink) am größten, wenn $\varphi=\measuredangle KAE$ .

Der Winkel $KAE$ (pink) liegt im Dreieck $AKE$ (grau). Um den Winkel zu berechnen, kann ich den Kosinussatz verwenden. Dafür benötige ich alle drei Seiten des Dreiecks.

Bekannt ist bisher der Winkel $AEK$ (blau) und die Seite $[AE]$ , ich benötige also noch die Seite $[EK]$ (rot) und die Seite $[AK]$ (schwarz).

Die Seite $[EK]$ im rechtwinkligen Dreieck $EKF$ mithilfe der Trigonometrie:

$\cos\left(\measuredangle KEF\right)=\frac{\;\text{Ankathete}}{\;\text{Hypotenuse}}$

$\cos\left(90^\circ-\measuredangle AEK\right)=\frac{\overline{EF}}{\overline{EK}}$

$\cos\left(90^\circ-50{,}19^\circ\right)=\frac{5\;\text{cm}}{\overline{EK}}$ | $\cdot\overline{EK}$

$\overline{EK}\cdot\cos\left(39{,}81^\circ\right)=5\;\text{cm}$

$\overline{EK}=\frac{5\;\text{cm}}{\cos\left(39{,}81^\circ\right)}\approx6{,}51\;\text{cm}$

Die Seite $[AK]$ im Dreieck $AKE$ mit des Kosinussatzes:

$\displaystyle \overline{AK}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{AE}^2+\overline{EK}^2-2\cdot\overline{AE}\cdot\overline{EK}\cdot\cos\left(\measuredangle AEK\right)$
$\displaystyle \overline{AK}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\overline{AE}^2+\overline{EK}^2-2\cdot\overline{AE}\cdot\overline{EK}\cdot\cos\left(\measuredangle AEK\right)}$
$\displaystyle AK$	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{7{,}5^2+6{,}51^2-2\cdot7{,}5\cdot6{,}51\cdot\cos\left(50{,}19^\circ\right)}\right)\;\text{cm}$
$\displaystyle AK$	$≈$	$\displaystyle 6{,}01\;\text{cm}$

Jetzt können wir im letzten Schritt mit Hilfe des Kosinussatzes den Winkel bestimmen:

$\displaystyle \overline{EK}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{AE}^2+\overline{AK}^2-2\cdot\overline{AE}\cdot\overline{AK}\cdot\cos\varphi$	$\displaystyle +2\cdot\overline{AE}\cdot\overline{AK}\cdot\cos\varphi$
$\displaystyle \overline{EK}^2+2⋅\overline{AE}⋅\overline{AK}⋅\cosφ$	$=$	$\displaystyle \overline{AE}^2+AK^2$
$\displaystyle \cosφ$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{AE}^2+\overline{AK}^2-\overline{EK}^2}{2⋅\overline{AE}⋅\overline{AK}}$
$\displaystyle \cosφ$	$=$	$\displaystyle \frac{7{,}5^2+6{,}01^2-6{,}51^2}{2\cdot7{,}5\cdot6{,}01}$	$\displaystyle \cdot\cos^{-1}$
$\displaystyle \cosφ$	$≈$	$\displaystyle 0{,}5545...$
$\displaystyle \varphi$	$≈$	$\displaystyle 56{,}32°$

Alternativ hätte man hier auch den Sinussatz verwenden können.

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$\displaystyle G_{Dreieck}$	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot \overline{AE}\cdot h_{\overline{AE}}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot \overline{AE}\cdot \sin \left(\measuredangle P_1AE\right)\cdot \overline{AP_1}$
	$=$	$\displaystyle \left(0{,}5\cdot7{,}5\cdot\sin\varphi\cdot\frac{5{,}76}{\sin\left(\varphi+50{,}19^\circ\right)}\right)\;\text{cm}^2$
	$=$	$\displaystyle \frac{21{,}6\cdot\sin\varphi}{\sin\left(\varphi+50{,}19^\circ\right)}\;\text{cm}^2$