Teil B

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Aufgaben
1.0 Das Trapez ABCD mit [AB][AB] II [CD][CD] ist die Grundfläche des Prismas ABCDEFGH mit derHöhe [AE][AE] (siehe Skizze). Es gilt: AB‾\overline{AB} 5cm;AD‾\overline{AD} 7cm; ∡BAD\measuredangle{BAD} 90°90\degree;DC‾\overline{DC} 9cm;AE‾\overline{AE} 7,5cm.
R unden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1.1 Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas ABCDEFGH mit der Strecke [HC][HC], wobei [AC][AC] auf der Schrägbildachse und A links von B liegen soll. Für die Zeichnung gilt: q=12q= \frac{1}{2};w=45°w=45\degree. Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels DHC und die Länge der Strecke [HC][HC].[Teilergebnis: ∡DHC=50,19°\measuredangle DHC= 50,19\degree]
1.2 Der Punkt K liegt auf der Strecke [BF][BF]. Die Strecke [EK][EK] verläuft parallel zur Strecke [HC][HC]. Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [EK][EK]. Die Winkel PnAEP_nAE haben das Maß φ\varphi mit φ∈]0°;56,31°]\varphi \in]0\degree;56,31\degree] Zeichnen Sie die Strecke [EK][EK] sowie das Dreieck AP1EAP_1E für φ=15°\varphi=15\degree in das Schrägbild zu B 1.1 ein.
1.3 Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [APn][AP_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: APn‾(φ)=5,76sin(φ+50,19°)cm\overline{AP_n}(\varphi)=\frac{5,76}{sin(\varphi+50,19\degree)}cm. Die Länge der Strecke [AP0][AP_0] ist minimal. Geben Sie den zugehörigen Wert für φ\varphi an.
1.4 Für Punkte Qn∈[HC]Q_n \in [HC] gilt: EPn‾=HQn‾\overline{EP_n} = \overline{HQ_n}. Die Dreiecke APnEAP_nE sind die Grundflächen der Prismen APnEDQnHAP_nEDQ_nH.
Zeichnen sie das Prisma AP1EDQ1HAP_1EDQ_1H in das Schrägbild zu 1.1 ein. Ermitteln Sie sodann durch Rechnung das Volumen der Prismen APnEDQnHAP_nEDQ_nH in Abhängigkeit von φ.\varphi .
[Ergebnis:V(φ)=151,2⋅sinφsin(φ+50,19°)cm³]\left[Ergebnis: V(\varphi) = \frac{151,2 \cdot sin \varphi}{sin(\varphi+50,19\degree)}cm³\right]
1.5 Das Volumen des Prismas AP2EDQ2HAP_2EDQ_2H ist um 7070% kleiner als das Volumen des Prismas ABCDEFGHABCDEFGH. Berechnen sie den zugehörigen Wert für φ\varphi.
1.6 Bestätigen sie durch Rechnung die obere Intervallgrenze für φ.\varphi.
2.0 Punkte Bn(x∣−x+4,5)B_n(x|-x+4,5) liegen auf der Geraden g mit der Gleichung y=−x+4,5(G=R×R)y=-x+4,5 (\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}). Für 1,5<x<141,5<x<14 sind sie zusammen mit Punkten A(−1∣−2)A(-1|-2), CnC_n und DnD_n Eckpunkte von Drachenvierecken ABnCnDAB_nC_nD. Die Punkte A und CnC_n liegen auf deren Symmetrieachse ss mit der Gleichung y=2x(G=R×R)y= 2x (\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}).
Für die Diagonalenschnittpunkte MnM_n der Drachenvierecke ABnCnDnAB_nC_nD_n gilt: MnCn‾=0,5⋅AMn‾\overline{M_nC_n} =0,5 \cdot \overline{AM_n}.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
2.1 Zeichnen Sie die Geraden g g und ss sowie die Drachenvierecke AB1C1D1AB_1C_1D_1 für x=2,5x=2,5 und AB2C2D2AB_2C_2D_2 für x=6,5x=6,5 in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm ; −6≤x≤7-6 \leq x \leq7 ; −4≤y≤8-4\leq y\leq 8
2.2 Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte DnD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte BnB_n gilt:
Dn(−1,40x+3,60∣0,20x+2,70)\displaystyle D_n (-1,40x+3,60|0,20x+2,70)
2.3 Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung des Trägergraphen tt der Punkte DnD_n.
2.4 Im Drachenviereck AB3C3D3AB_3C_3D_3 liegt der Punkt D3D_3 auf der Winkelhalbierenden der 2. und 4. Quadranten.
Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinaten der Punkte B3B_3 und D3D_3
2.5 Für das Drachenviereck AB4C4D4 AB_4C_4D_4 gilt: ∡B4AC4=35°\measuredangle{B_4AC_4} = 35 \degree.
Berechnen sie den zugehörigen Wert für xx.
2.6 Für das Drachenviereck AB5C5D5AB_5C_5D_5 gilt: ∡B5AD5=90°\measuredangle{B_5AD_5} = 90 \degree.
Begründen Sie, weshalb für den Flächeninhalt AA des Drachenvierecks AB5C5D5AB_5C_5D_5 gilt:
A=1,5⋅AM5‾2A= 1,5 \cdot \overline{AM_5}^2.
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