Teil B - lernen mit Serlo!

Punkte $B_n(x|-x+4{,}5)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y=-x+4{,}5 \;(\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R})$ . Für $1{,}5<x<14$ sind sie zusammen mit Punkten $A(-1|-2)$ , $C_n$ und $D_n$ Eckpunkte von Drachenvierecken $AB_nC_nD_n$ . Die Punkte A und $C_n$ liegen auf deren Symmetrieachse $s$ mit der Gleichung $y= 2x;\ (\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R})$ .

Für die Diagonalenschnittpunkte $M_n$ der Drachenvierecke $AB_nC_nD_n$ gilt:

$\overline{M_nC_n} =0{,}5 \cdot \overline{AM_n}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Geraden $g$ und $s$ sowie die Drachenvierecke $AB_1C_1D_1$ für $x=2{,}5$ und $AB_2C_2D_2$ für $x=6{,}5$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\;\text{cm}$ ; $-6 \leq x \leq7$ ; $-4\leq y\leq 8$
Zeichnung der Gerade g, der Symmetrieachse s und der Drachenvierecke $AB_1C_1D_1$ und $AB_2C_2D_2$ :
Zeichnung der Geraden (lineare Funktion) $g:y=-x+4{,}5$
allgemein: $y=m\cdot x+b$
y-Achsenabschnitt $b=4{,}5$ (Dies bedeutet, die Gerade schneidet die y-Achse bei $4{,}5$ .) (rot)
Steigung $m=-1$ (Dies bedeutet, wir gehen von dem y-Achsenabschnitt $1\;\text{LE}$ nach rechts und $1\;\text{LE}$ nach unten.) (blau)
Zeichnung der Symmetrieachse s: $y=2x$
y-Achsenabschnitt $b=0$ (Dies bedeutet, die Gerade schneidet die y-Achse im Ursprung.) (rot)
Steigung $m=2=\frac{2}{1}$ (Dies bedeutet, wir gehen vom Ursprung $1\;\text{LE}$ nach rechts und $2\;\text{LE}$ nach oben.) (blau)
Zeichnung des Drachenvierecks $AB_1C_1D_1$ mit $x=2{,}5$ :
Punkt $A(-1|-2)$ (rot)
Die Punkte $B_n$ (x| $-x+4{,}5$ ) mit $x=2{,}5$ : $y_B=-2{,}5+4{,}5=2$
$B_1(2{,}5|2)$
Wir zeichnen den Punkt $B_1$ ins Koordinatensystem (blau) und verbinden die Eckpunkte A und $B_1$ .
Da $s$ die Symmetrieachse des Drachenvierecks ist, können wir $B_1$ an der Symmetrieachse spiegeln und erhalten den Punkt $D_1$ :
Wir zeichnen zunächst eine Senkrechte durch $B_1$ auf die Symmetrieachse $s$ (rot).
Dann tragen wir mit einem Zirkel oder einem Lineal die Länge $\overline{B_1M}$ auf $\overline{M_1D_1}$ ab ( $\overline{B_1M_1}=\overline{M_1D_1}$ ).
Wir wissen, dass $\ \overline{M_nC_n}=0{,}5\cdot\overline{AM_n}$ ist:
Wir halbieren die Strecke $[AM_1]$ , indem wir die Mittelsenkrechte zur Strecke $[AM_1]$ zeichnen (pink). Die Mittelsenkrechte schneidet $[AM_1]$ in $M'$ .
Dann tragen wir die Länge $\overline{M'M_1}$ mithilfe eines Zirkels auf $\overline{MC_1}$ ab, indem wir einen Kreis $k(M_1;\overline{M'M_1})$ zeichnen (blau). Der Kreis schneidet die Symmetrieachse s in Punkt $C_1$ .
Wir verbinden nun noch die Eckpunkte des Drachenvierecks.
Wir wiederholen das gleiche Vorgehen für das Drachenviereck $AB_2C_2D_2$ mit $x=6{,}5$ :
Hinweis:
In der nächsten Teilaufgabe werden die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit von $x$ berechnet. Es ist damit auch möglich, die Drachenvierecke einzuzeichnen oder die Zeichnung zu überprüfen.
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Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ gilt:

\displaystyle D_n (-1{,}40x+3{,}60|0{,}20x+2{,}70)

Die Koordinaten für $D_n$ mit einer Achsenspiegelung von Punkt $B_n$ an $AC_n$ :

Spiegelung an einer Ursprungsgeraden der Abbildung mit der folgenden Formel:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos 2 \varphi &\sin 2\varphi \\\sin 2\varphi & -\cos 2\varphi\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Der Winkel $\varphi$ ist der eingeschlossene Winkel ( $\textcolor{006400}{\text{grün}}$ ) der positiven x-Achse und der Spiegelachse s ( $\textcolor{006400}{\text{grün}}$ ).

Wir wissen: Die Steigung der Geraden $m=\tan\varphi$ .

Da $s:\ y=2x$ , ist in unserem Fall $m=2$ .

Wir setzen ein:

$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle \tan\varphi$	$\displaystyle \cdot\tan^{-1}$
$\displaystyle \varphi$	$≈$	$\displaystyle 63{,}43^{\circ}$

Jetzt können wir den Winkel $\varphi$ einsetzen. Für x und y setzen wir die Koordinaten von $B_n$ ein:

$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos 2 \varphi & \sin 2\varphi \\\sin 2\varphi & -\cos 2\varphi\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos (2\cdot 63{,}43^\circ) & \sin (2\cdot 63{,}43^\circ) \\ \sin (2\cdot 63{,}43^\circ) & -\cos (2\cdot 63{,}43^\circ)\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\-x+4{,}5\end{pmatrix}$
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos (2\cdot 63{,}43^\circ)\cdot x + \sin (2\cdot 63{,}43^\circ) \cdot (-x+4{,}5)\\ \sin (2\cdot 63{,}43^\circ)\cdot x + -\cos (2\cdot 63{,}43^\circ)\cdot (-x+4{,}5)\end{pmatrix}$
	↓	In den Taschenrechner eingeben.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-0{,}60x -0{,}80x+3{,}60\\0{,}80x-0{,}60x +2{,}70\end{pmatrix}$
	↓	Zusammenfassen.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-1{,}40x+3{,}60\\0{,}20x +2{,}70\end{pmatrix}$

Somit haben wir unsere x- und y-Koordinaten gefunden:

\displaystyle D_n (-1{,}40x+3{,}60|0{,}20x+2{,}70)

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Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung des Trägergraphen $t$ der Punkte $D_n$ .

Im Drachenviereck $AB_3C_3D_3$ liegt der Punkt $D_3$ auf der Winkelhalbierenden des 2. und 4. Quadranten.

Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinaten der Punkte $B_3$ und $D_3$

Für das Drachenviereck $AB_4C_4D_4$ gilt: $\measuredangle{B_4AC_4} = 35^\circ$ .

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ .

Der zugehörige Wert für x im Drachenviereck $AB_4C_4D_4$ mit $\measuredangle B_4AC_4=35^\circ$ :

Wir kennen den Punkt $A (-1|-2)$ und die Gerade g: $y=-x+4{,}5$ .

Der Punkt $B_4$ ist der Schnittpunkt der Geraden $AB_4$ mit g:

$\left\{B_4\right\}=AB_4\cap g$ . Da wir auch den Punkt $A$ kennen, können wir die Punkt-Steigungsform anwenden:

$AB_4:\ y=m_{AB_4}\cdot\left(x-x_A\right)+y_A$

Uns fehlt noch die Steigung $m_{AB_4}$ , dafür können wir einen Trick anwenden:

Wir verschieben die Gerade $AB_4$ zum Ursprung (siehe Abbildung rechts).

$m_{AB_4}=\tan\left(63{,}43°-35°\right)$

Die Steigung im rechtwinkligen Dreieck $AEB_5$ mithilfe der Trigonometrie:

$m_{AB_4}=\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\tan\varphi$

$m_{AB_4}=\tan\left(63{,}43^\circ-35^\circ\right)$

$m_{AB_4}=\tan\left(28{,}43^\circ\right)$

$m_{AB_4}\approx0{,}54$

Nun können wir auch die Steigung $m$ einsetzen:

$\displaystyle AB_4:\ y$	$=$	$\displaystyle m_{AB_4}\cdot\left(x-x_A\right)+y_A$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 0{,}54\cdot\left(x-\left(-1\right)\right)+\left(-2\right)$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 0{,}54\cdot\left(x+1\right)-2$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 0{,}54x+0{,}54-2$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 0{,}54x-1{,}46$

Da wir die x-Koordinate von $B_4$ wissen möchten und der Punkt auf beiden Geraden liegt, setzen wir die Gleichungen gleich:

$\displaystyle AB_4$	$=$	$\displaystyle g$
$\displaystyle 0{,}54x-1{,}46$	$=$	$\displaystyle -x+4{,}5$	$\displaystyle +x+1{,}46$
$\displaystyle 0{,}54x+x$	$=$	$\displaystyle 4{,}5+1{,}46$
$\displaystyle 1{,}54x$	$=$	$\displaystyle 5{,}96$	$\displaystyle :1{,}54$
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle 3{,}87$

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Für das Drachenviereck $AB_5C_5D_5$ gilt: $\measuredangle{B_5AD_5} = 90 ^\circ$ .
Begründen Sie, weshalb für den Flächeninhalt $A$ des Drachenvierecks $AB_5C_5D_5$ gilt:
$A= 1{,}5 \cdot \overline{AM_5}^2$ .
Der Flächeninhalt A des Drachenvierecks $AB_5C_5D_5$ mit $\measuredangle B_5AD_5=90^\circ$ :
Allgemeine Formel (Diagonale $d$ ):
$A=0{,}5\cdot d_{AC_5}\cdot d_{B_5D_5}$
$d_{AC_5}=1{,}5\cdot\overline{AM}_5$
$d_{B_5D_5}=2\cdot\overline{AM}_5$ , da das Dreieck $AB_5M_5$ rechtwinklig und gleichschenklig ist (siehe Abbildung), können wir folgern, dass $\overline{M_5B_5}=\overline{AM_5}$ ist. Da es sich um ein Drachenviereck handelt, wissen wir ebenso, dass $\overline{D_5M}_5=\overline{M_5B_5}=\overline{AM_5}$ ist. Also ist die Diagonale $\overline{D_5B_5}=2\cdot\overline{AM}_5$ .
Wir setzen in die Gleichung ein:
$A=0{,}5\cdot d_{AC_5}\cdot d_{B_5D_5}=0{,}5\cdot1{,}5\cdot\overline{AM}_5\cdot2\cdot\overline{AM_5}=1{,}5\cdot\overline{AM_5}^2$
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$\displaystyle y_{D_n}$	$=$	$\displaystyle 0{,}20x+2{,}70$	$\displaystyle -2{,}70$
$\displaystyle y_{D_n}-2{,}70$	$=$	$\displaystyle 0{,}20x$	$\displaystyle \cdot5$
$\displaystyle 5\cdot\left(y_{D_n}-2{,}70\right)$	$=$	$\displaystyle 1\cdot x$
$\displaystyle 5y_{D_n}-13{,}5$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle x_{D_n}$	$=$	$\displaystyle -1{,}40x+3{,}60$
	↓	x einsetzen
$\displaystyle x_{D_n}$	$=$	$\displaystyle -1{,}40\cdot\left(5y_{D_n}-13{,}5\right)+3{,}60$
	↓	Die Klammer auflösen.
$\displaystyle x_{D_n}$	$=$	$\displaystyle -7y_{D_n}+18{,}90+3{,}60$
	↓	zusammenfassen
$\displaystyle x_{D_n}$	$=$	$\displaystyle -7y_{D_n}+22{,}50$	$\displaystyle +7y_{D_n}-x_{D_n}$
	↓	Nach y auflösen.
$\displaystyle 7y_{D_n}$	$=$	$\displaystyle -x_{D_n}+22{,}50$	$\displaystyle :7$
$\displaystyle y_{D_n}$	$=$	$\displaystyle -0{,}14x_{D_n}+3{,}21$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -x$
	↓	Die Koordinaten von $D_3$ einsetzen, um den $x$ - Wert von $B_3$ zu bestimmen
$\displaystyle 0{,}20x+2{,}70$	$=$	$\displaystyle -\left(-1{,}40x+3{,}60\right)$
$\displaystyle 0{,}20x+2{,}70$	$=$	$\displaystyle 1{,}40x-3{,}60$	$\displaystyle -1{,}40x$
$\displaystyle -1{,}20x+2{,}70$	$=$	$\displaystyle -3{,}60$	$\displaystyle -2{,}70$
$\displaystyle -1{,}20x$	$=$	$\displaystyle -6{,}30$	$\displaystyle :\left(-1{,}20\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 5{,}25$

$\displaystyle x_{D_3}\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -1{,}4x+3{,}60$
$\displaystyle x_{D_3}\left(5{,}25\right)$	$=$	$\displaystyle -1{,}4\cdot5{,}25+3{,}60$
$\displaystyle x_{D_3}\left(5{,}25\right)$	$=$	$\displaystyle -7{,}35+3{,}60$
$\displaystyle x_{D_3}\left(5{,}25\right)$	$=$	$\displaystyle -3{,}75$