Teil B - lernen mit Serlo!

Punkte $B_{n} (x | - x + 4,5)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y = - x + 4,5 (𝔾 = ℝ \times ℝ)$ . Für $1,5 < x < 14$ sind sie zusammen mit Punkten $A (- 1 | - 2)$ , $C_{n}$ und $D_{n}$ Eckpunkte von Drachenvierecken $A B_{n} C_{n} D_{n}$ . Die Punkte A und $C_{n}$ liegen auf deren Symmetrieachse $s$ mit der Gleichung $y = 2 x; (𝔾 = ℝ \times ℝ)$ .

Für die Diagonalenschnittpunkte $M_{n}$ der Drachenvierecke $A B_{n} C_{n} D_{n}$ gilt:

$M_{n} C_{n} = 0,5 \cdot A M_{n}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Geraden $g$ und $s$ sowie die Drachenvierecke $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 2,5$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 6,5$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 6 \leq x \leq 7$ ; $- 4 \leq y \leq 8$
Zeichnung der Gerade g, der Symmetrieachse s und der Drachenvierecke $A B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ :
Zeichnung der Geraden (lineare Funktion) $g : y = - x + 4,5$
allgemein: $y = m \cdot x + b$
y-Achsenabschnitt $b = 4,5$ (Dies bedeutet, die Gerade schneidet die y-Achse bei $4,5$ .) (rot)
Steigung $m = - 1$ (Dies bedeutet, wir gehen von dem y-Achsenabschnitt $1 LE$ nach rechts und $1 LE$ nach unten.) (blau)
Zeichnung der Symmetrieachse s: $y = 2 x$
y-Achsenabschnitt $b = 0$ (Dies bedeutet, die Gerade schneidet die y-Achse im Ursprung.) (rot)
Steigung $m = 2 = \frac{2}{1}$ (Dies bedeutet, wir gehen vom Ursprung $1 LE$ nach rechts und $2 LE$ nach oben.) (blau)
Zeichnung des Drachenvierecks $A B_{1} C_{1} D_{1}$ mit $x = 2,5$ :
Punkt $A (- 1 | - 2)$ (rot)
Die Punkte $B_{n}$ (x| $- x + 4,5$ ) mit $x = 2,5$ : $y_{B} = - 2,5 + 4,5 = 2$
$B_{1} (2,5 | 2)$
Wir zeichnen den Punkt $B_{1}$ ins Koordinatensystem (blau) und verbinden die Eckpunkte A und $B_{1}$ .
Da $s$ die Symmetrieachse des Drachenvierecks ist, können wir $B_{1}$ an der Symmetrieachse spiegeln und erhalten den Punkt $D_{1}$ :
Wir zeichnen zunächst eine Senkrechte durch $B_{1}$ auf die Symmetrieachse $s$ (rot).
Dann tragen wir mit einem Zirkel oder einem Lineal die Länge $B_{1} M$ auf $M_{1} D_{1}$ ab ( $B_{1} M_{1} = M_{1} D_{1}$ ).
Wir wissen, dass $M_{n} C_{n} = 0,5 \cdot A M_{n}$ ist:
Wir halbieren die Strecke $[A M_{1}]$ , indem wir die Mittelsenkrechte zur Strecke $[A M_{1}]$ zeichnen (pink). Die Mittelsenkrechte schneidet $[A M_{1}]$ in $M^{'}$ .
Dann tragen wir die Länge $M^{'} M_{1}$ mithilfe eines Zirkels auf $M C_{1}$ ab, indem wir einen Kreis $k (M_{1}; M^{'} M_{1})$ zeichnen (blau). Der Kreis schneidet die Symmetrieachse s in Punkt $C_{1}$ .
Wir verbinden nun noch die Eckpunkte des Drachenvierecks.
Wir wiederholen das gleiche Vorgehen für das Drachenviereck $A B_{2} C_{2} D_{2}$ mit $x = 6,5$ :
Hinweis:
In der nächsten Teilaufgabe werden die Koordinaten der Punkte $D_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ berechnet. Es ist damit auch möglich, die Drachenvierecke einzuzeichnen oder die Zeichnung zu überprüfen.
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Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte $D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ gilt:

D_{n} (- 1,40 x + 3,60 | 0,20 x + 2,70)

Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung des Trägergraphen $t$ der Punkte $D_{n}$ .

Im Drachenviereck $A B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt der Punkt $D_{3}$ auf der Winkelhalbierenden des 2. und 4. Quadranten.
Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinaten der Punkte $B_{3}$ und $D_{3}$

Die x-Koordinaten der Punkte $B_{3} (x | - x + 4,5)$ und $D_{3} (- 1,40 x + 3,60 | 0,20 x + 2,70)$ :
Die Punkte $D_{3}$ liegen auf der Winkelhalbierenden $y = - x$ (rot).
Da $x_{P_{1}} = 1$ und $y_{P_{1}} = - 1$
oder $x_{P_{2}} = 2$ und $y_{P_{2}} = - 2$ , so können wir allgemein sagen, dass jeder x-Wert auf der Winkelhalbierenden, dem negativen y-Wert entspricht.
$y$ $=$ $- x$
↓
Die Koordinaten von $D_{3}$ einsetzen, um den $x$ - Wert von $B_{3}$ zu bestimmen
$0,20 x + 2,70$ $=$ $- (- 1,40 x + 3,60)$
$0,20 x + 2,70$ $=$ $1,40 x - 3,60$ $- 1,40 x$
$- 1,20 x + 2,70$ $=$ $- 3,60$ $- 2,70$
$- 1,20 x$ $=$ $- 6,30$ $: (- 1,20)$
$x$ $=$ $5,25$
$\begin{array}{l} 𝕃 = {5,25} \\ x_{B_{3}} = 5,25 \end{array}$
Daraus berechnen wir den $x$ -Wert von $D_{3}$ :
$x_{D_{3}} (x)$ $=$ $- 1,4 x + 3,60$
$x_{D_{3}} (5,25)$ $=$ $- 1,4 \cdot 5,25 + 3,60$
$x_{D_{3}} (5,25)$ $=$ $- 7,35 + 3,60$
$x_{D_{3}} (5,25)$ $=$ $- 3,75$
$x_{D_{3}} = - 3,75$
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Für das Drachenviereck $A B_{4} C_{4} D_{4}$ gilt: $∡ B_{4} A C_{4} = 35^{\circ}$ .
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ .

Der zugehörige Wert für x im Drachenviereck $A B_{4} C_{4} D_{4}$ mit $∡ B_{4} A C_{4} = 35^{\circ}$ :
Wir kennen den Punkt $A (- 1 | - 2)$ und die Gerade g: $y = - x + 4,5$ .
Der Punkt $B_{4}$ ist der Schnittpunkt der Geraden $A B_{4}$ mit g:
${B_{4}} = A B_{4} \cap g$ . Da wir auch den Punkt $A$ kennen, können wir die Punkt-Steigungsform anwenden:
$A B_{4} : y = m_{A B_{4}} \cdot (x - x_{A}) + y_{A}$
Uns fehlt noch die Steigung $m_{A B_{4}}$ , dafür können wir einen Trick anwenden:
Wir verschieben die Gerade $A B_{4}$ zum Ursprung (siehe Abbildung rechts).
$m_{A B_{4}} = \tan (63,43 ° - 35 °)$
Die Steigung im rechtwinkligen Dreieck $A E B_{5}$ mithilfe der Trigonometrie:
$m_{A B_{4}} = \frac{△ y}{△ x} = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \tan φ$
$m_{A B_{4}} = \tan ({63,43}^{\circ} - 35^{\circ})$
$m_{A B_{4}} = \tan ({28,43}^{\circ})$
$m_{A B_{4}} \approx 0,54$
Nun können wir auch die Steigung $m$ einsetzen:
$A B_{4} : y$ $=$ $m_{A B_{4}} \cdot (x - x_{A}) + y_{A}$
$y$ $=$ $0,54 \cdot (x - (- 1)) + (- 2)$
$y$ $=$ $0,54 \cdot (x + 1) - 2$
$y$ $=$ $0,54 x + 0,54 - 2$
$y$ $=$ $0,54 x - 1,46$
Da wir die x-Koordinate von $B_{4}$ wissen möchten und der Punkt auf beiden Geraden liegt, setzen wir die Gleichungen gleich:
$A B_{4}$ $=$ $g$
$0,54 x - 1,46$ $=$ $- x + 4,5$ $+ x + 1,46$
$0,54 x + x$ $=$ $4,5 + 1,46$
$1,54 x$ $=$ $5,96$ $: 1,54$
$x$ $\approx$ $3,87$
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Für das Drachenviereck $A B_{5} C_{5} D_{5}$ gilt: $∡ B_{5} A D_{5} = 90^{\circ}$ .
Begründen Sie, weshalb für den Flächeninhalt $A$ des Drachenvierecks $A B_{5} C_{5} D_{5}$ gilt:
$A = 1,5 \cdot {A M_{5}}^{2}$ .
Der Flächeninhalt A des Drachenvierecks $A B_{5} C_{5} D_{5}$ mit $∡ B_{5} A D_{5} = 90^{\circ}$ :
Allgemeine Formel (Diagonale $d$ ):
$A = 0,5 \cdot d_{A C_{5}} \cdot d_{B_{5} D_{5}}$
$d_{A C_{5}} = 1,5 \cdot {A M}_{5}$
$d_{B_{5} D_{5}} = 2 \cdot {A M}_{5}$ , da das Dreieck $A B_{5} M_{5}$ rechtwinklig und gleichschenklig ist (siehe Abbildung), können wir folgern, dass $M_{5} B_{5} = A M_{5}$ ist. Da es sich um ein Drachenviereck handelt, wissen wir ebenso, dass ${D_{5} M}_{5} = M_{5} B_{5} = A M_{5}$ ist. Also ist die Diagonale $D_{5} B_{5} = 2 \cdot {A M}_{5}$ .
Wir setzen in die Gleichung ein:
$A = 0,5 \cdot d_{A C_{5}} \cdot d_{B_{5} D_{5}} = 0,5 \cdot 1,5 \cdot {A M}_{5} \cdot 2 \cdot A M_{5} = 1,5 \cdot {A M_{5}}^{2}$
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$2$	$=$	$\tan φ$	$\cdot \tan^{- 1}$
$φ$	$\approx$	${63,43}^{\circ}$

$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{cc} \cos 2 φ & \sin 2 φ \\ \sin 2 φ & - \cos 2 φ \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{cc} \cos (2 \cdot {63,43}^{\circ}) & \sin (2 \cdot {63,43}^{\circ}) \\ \sin (2 \cdot {63,43}^{\circ}) & - \cos (2 \cdot {63,43}^{\circ}) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - x + 4,5 \end{array})$
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} \cos (2 \cdot {63,43}^{\circ}) \cdot x + \sin (2 \cdot {63,43}^{\circ}) \cdot (- x + 4,5) \\ \sin (2 \cdot {63,43}^{\circ}) \cdot x + - \cos (2 \cdot {63,43}^{\circ}) \cdot (- x + 4,5) \end{array})$
	↓	In den Taschenrechner eingeben.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} - 0,60 x - 0,80 x + 3,60 \\ 0,80 x - 0,60 x + 2,70 \end{array})$
	↓	Zusammenfassen.
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} - 1,40 x + 3,60 \\ 0,20 x + 2,70 \end{array})$

$x_{D_{n}}$	$=$	$- 1,40 x + 3,60$
	↓	x einsetzen
$x_{D_{n}}$	$=$	$- 1,40 \cdot (5 y_{D_{n}} - 13,5) + 3,60$
	↓	Die Klammer auflösen.
$x_{D_{n}}$	$=$	$- 7 y_{D_{n}} + 18,90 + 3,60$
	↓	zusammenfassen
$x_{D_{n}}$	$=$	$- 7 y_{D_{n}} + 22,50$	$+ 7 y_{D_{n}} - x_{D_{n}}$
	↓	Nach y auflösen.
$7 y_{D_{n}}$	$=$	$- x_{D_{n}} + 22,50$	$: 7$
$y_{D_{n}}$	$=$	$- 0,14 x_{D_{n}} + 3,21$

$y_{D_{n}}$	$=$	$0,20 x + 2,70$	$- 2,70$
$y_{D_{n}} - 2,70$	$=$	$0,20 x$	$\cdot 5$
$5 \cdot (y_{D_{n}} - 2,70)$	$=$	$1 \cdot x$
$5 y_{D_{n}} - 13,5$	$=$	$x$

$y$	$=$	$- x$
	↓	Die Koordinaten von $D_{3}$ einsetzen, um den $x$ - Wert von $B_{3}$ zu bestimmen
$0,20 x + 2,70$	$=$	$- (- 1,40 x + 3,60)$
$0,20 x + 2,70$	$=$	$1,40 x - 3,60$	$- 1,40 x$
$- 1,20 x + 2,70$	$=$	$- 3,60$	$- 2,70$
$- 1,20 x$	$=$	$- 6,30$	$: (- 1,20)$
$x$	$=$	$5,25$

$x_{D_{3}} (x)$	$=$	$- 1,4 x + 3,60$
$x_{D_{3}} (5,25)$	$=$	$- 1,4 \cdot 5,25 + 3,60$
$x_{D_{3}} (5,25)$	$=$	$- 7,35 + 3,60$
$x_{D_{3}} (5,25)$	$=$	$- 3,75$

$A B_{4} : y$	$=$	$m_{A B_{4}} \cdot (x - x_{A}) + y_{A}$
$y$	$=$	$0,54 \cdot (x - (- 1)) + (- 2)$
$y$	$=$	$0,54 \cdot (x + 1) - 2$
$y$	$=$	$0,54 x + 0,54 - 2$
$y$	$=$	$0,54 x - 1,46$

$A B_{4}$	$=$	$g$
$0,54 x - 1,46$	$=$	$- x + 4,5$	$+ x + 1,46$
$0,54 x + x$	$=$	$4,5 + 1,46$
$1,54 x$	$=$	$5,96$	$: 1,54$
$x$	$\approx$	$3,87$

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