Teil A - lernen mit Serlo!

Gegeben sind die Funktionen $f_{1}$ mit der Gleichung $y = 4 \cdot {0,5}^{x}$ und $f_{2}$ mit der Gleichung $y = 4 \cdot {0,5}^{x + 2} - 3 (𝔾 = ℝ \times ℝ)$ . Punkte $A_{n} (x | 4 \cdot {0,5}^{x})$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte $B_{n} (x | 4 \cdot {0,5}^{x + 2} - 3)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Die Strecken $[A_{n} B_{n}]$ sind für $x \in ℝ$ die Basen von gleichschenkligen Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ .

Für die Höhen $[M_{n} C_{n}]$ der Dreiecke $A_{n} B_{n} C_{n}$ gilt: $M_{n} C_{n} = 3 LE$

Zeichnen Sie das Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 1$ in das Koordinatensystem ein.

Lösung zur Teilaufgabe a
Bei der Aufgabe geht es darum, dass du für $x = 1$ das Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ zeichnest. Die Graphen von $f_{1}$ und $f_{2}$ sind dir bereits gegeben. Gesucht sind nun zunächst die Punkte $A_{1}$ und $B_{1}$ , welche laut Angabe dieselbe Abszisse $x = 1$ besitzen.
Darauf aufbauend kannst du dann die Punkte $M_{1}$ und $C_{1}$ finden und dann das gleichschenklige Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ in das Koordinatensystem einzeichnen.
Ausgehen von $x = 1$ zeichnest du $A_{1}$ auf $f_{1}$ und $B_{1}$ auf $f_{2}$ ein. Der Punkt $A_{n}$ hat die Koordinaten $(x | f_{1} (x))$ und $B_{n}$ die Koordinaten $(x | f_{2} (x))$ .
$y_{A_{1}} = 4 \cdot {0,5}^{1} = 2 \Rightarrow A_{1} (1 | 2)$
$y_{B_{1}} = 4 \cdot {0,5}^{(1 + 2)} - 3 = - 2,5$
$\Rightarrow B_{1} (1 | - 2,5)$
Einzeichnen der Punkte A1 und B1
Verbinde die Punkte $A_{1}$ und $B_{1}$ .
Laut Angabe sind die Strecken $[M_{n} C_{n}]$ und somit auch $[M_{1} C_{1}]$ die Höhen der Dreiecke. $C_{n}$ ist die Spitze der Dreiecke und da diese gleichschenklig sind ist der Fußpunkt $M_{n}$ (und somit auch $M_{1}$ ) genau in der Mitte zwischen $A_{n}$ und $B_{n}$ (hier: $A_{1}$ und $B_{1}$ )
Du findest $M_{1}$ also entweder durch Abmessen oder durch Konstruktion der Mittelsenkrechten.
$\Rightarrow M_{1} (1 | - 0,25)$
Verbindung der Punkte A1 und B1, Einzeichnen von M1
$M_{n} C_{n} = M_{1} C_{1} = 3 c m$
Durch Abmessen oder Überlegen findest du also den Punkt $C_{1} (4 | - 0,25)$
Schließlich musst du noch die Punkte $A_{1}$ , $C_{1}$ und $B_{1}$ , $C_{1}$ miteinander verbinden.
Einzeichnen von C1, zeichnen der Strecken A1C1, C1B1
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Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[A_{n} B_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $A_{n} B_{n} (x) = (3 \cdot {0,5}^{x} + 3) LE$

Das Dreieck $A_{2} B_{2} C_{2}$ hat einen Flächeninhalt von $15 FE$ .

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$A_{n} B_{n}$	$=$	$A_{n} - B_{n}$
	$=$	$4 \cdot {0,5}^{x} - (4 \cdot {0,5}^{x + 2} - 3)$
	↓	Löse die Klammer auf und klammere aus und stelle die Summanden, die $x$ enthalten hintereinander.
	$=$	$4 \cdot {0,5}^{x} - 4 \cdot {0,5}^{x + 2} + 3$
	$=$	$[4 \cdot {0,5}^{x} - 4 \cdot {0,5}^{x + 2}] + 3$
	↓	Klammere $4 \cdot {0,5}^{x}$ aus.
	$=$	$[4 \cdot {0,5}^{x} \cdot (1 - {0,5}^{2})] + 3$
	↓	Klammere $4 \cdot {0,5}^{x}$ aus.
	$=$	$[4 \cdot {0,5}^{x} \cdot (1 - 0,25)] + 3$
	$=$	$[4 \cdot {0,5}^{x} \cdot 0,75] + 3$
	$=$	$3 \cdot {0,5}^{x} + 3 LE$

$15$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot (3 \cdot {0,5}^{x} + 3) \cdot 3$
	↓	Löse die Klammer auf.
$15$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot (9 \cdot {0,5}^{x} + 9)$
	↓	Vereinfache.
$15$	$=$	$4,5 \cdot {0,5}^{x} + 4,5$	$- 4,5$
	↓	Stelle die Gleichung nun so um, dass nur noch ${0,5}^{x}$ auf der rechten Seite steht!
$10,5$	$=$	$4,5 \cdot {0,5}^{x}$	$: 4,5$
$\frac{10,5}{4,5}$	$=$	${0,5}^{x}$
	↓	Nutze den Logarithmus zur Basis $0,5$ um diese Gleichung zu lösen.
$x$	$=$	${log}_{0,5} (\frac{10,5}{4,5})$
	$\approx$	$- 1,22$

Lösung zur Teilaufgabe a

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Lösung zur Teilaufgabe b

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Lösung zur Teilaufgabe c

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