Teil A

A 1.1 Zeichnen Sie in die Zeichnung zu $\sf A\,1.0$ das Trapez $\sf A_2B_2C_2D$ für $\sf \varphi=40^{\circ}$ ein.

(1 Punkt)

A 1.2 Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Längen der Strecken $\sf [DC_n]$ und $\sf [SA_n]$ in Abhängigkeit von $\sf \varphi$ gilt: $\sf \overline{DC_n}(\varphi)=3 \cdot \text{\sf tan}\,(\varphi)\,cm$ und $\sf \overline{SA_n}(\varphi)=\dfrac{4}{\text{\sf tan}(\varphi)}\,cm$.

(2 Punkte)

A 1.3 Bestätigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen $\sf V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $\sf \varphi$ gilt: $\sf V(\varphi)=\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{64}{\text{\sf tan}(\varphi)}-27 \cdot \text{\sf tan}^2(\varphi)\right)\,cm^3$.

(2 Punkte)

A 2.0 Die Punkte $\sf A(-0{,}5|1)$ und $\sf B(3{,}5|1)$ legen zusammen mit Pfeilen

$\sf \vec{AC_n}(\varphi)=\begin{pmatrix} \sf 8\cdot \text{\sf cos}(\varphi)-0{,}5 \\ \sf \dfrac{1}{\text{\sf cos}(\varphi)}+1\end{pmatrix}$ für $\sf \varphi \in[0^{\circ};90^{\circ}[$ Dreiecke $\sf ABC_n$ fest.

Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

3 Punkte

A 2.2 Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte $\sf C_n$ in Abhängigkeit von $\sf \varphi$ gilt: $\sf C_n \left(8 \cdot \text{\sf cos}(\varphi)-1\;|\;\dfrac{1}{\text{\sf cos}(\varphi)}+2 \right)$.

(1 Punkt)

A 2.3 Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $\sf C_n$.

(2 Punkte)

A 2.4 Unter den Dreiecken $\sf ABC_n$ gibt es das gleichschenklige Dreieck $\sf ABC_3$ mit der Basis $\sf [AB]$.

Ermitteln Sie das zugehörige Winkelmaß $\sf \varphi$ und begründen Sie durch Rechnung, dass da Dreieck $\sf ABC_3$ nicht gleichseitig ist.

(3 Punkte)

1 Punkt

2 Punkte

2 Punkte