Teil A - lernen mit Serlo!

Gegeben sind die Funktionen $f_{1}$ mit der Gleichung $y=4\cdot 0{,}5^x$ und $f_{2}$ mit der Gleichung $y=4\cdot 0{,}5^{x+2}-3~~~(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ . Punkte $A_n(x|4\cdot 0{,}5^x)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte $B_n(x|4\cdot 0{,}5^{x+2}-3)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Die Strecken $[A_{n} B_{n}]$ sind für $x\in\mathbb{R}$ die Basen von gleichschenkligen Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ .

Für die Höhen $[M_{n} C_{n}]$ der Dreiecke $A_{n} B_{n} C_{n}$ gilt: $\overline{M_nC_n}=3~\text{LE}$

Zeichnen Sie das Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 1$ in das Koordinatensystem ein.

Lösung zur Teilaufgabe a
Bei der Aufgabe geht es darum, dass du für $x = 1$ das Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ zeichnest. Die Graphen von $f_{1}$ und $f_{2}$ sind dir bereits gegeben. Gesucht sind nun zunächst die Punkte $A_{1}$ und $B_{1}$ , welche laut Angabe dieselbe Abszisse $x = 1$ besitzen.
Darauf aufbauend kannst du dann die Punkte $M_{1}$ und $C_{1}$ finden und dann das gleichschenklige Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ in das Koordinatensystem einzeichnen.
Ausgehen von $x = 1$ zeichnest du $A_{1}$ auf $f_{1}$ und $B_{1}$ auf $f_{2}$ ein. Der Punkt $A_{n}$ hat die Koordinaten $(x ∣ f_{1} (x))$ und $B_{n}$ die Koordinaten $(x ∣ f_{2} (x))$ .
$y_{A_1}=4\cdot 0{,}5^{1}=2\;\Rightarrow\;A_1(1|2)$
$y_{B_1}=4\cdot 0{,}5^{(1+2)}-3=-2{,}5$
$\Rightarrow\;B_1(1|-2{,}5)$
Einzeichnen der Punkte A1 und B1
Verbinde die Punkte $A_{1}$ und $B_{1}$ .
Laut Angabe sind die Strecken $[M_{n} C_{n}]$ und somit auch $[M_{1} C_{1}]$ die Höhen der Dreiecke. $C_{n}$ ist die Spitze der Dreiecke und da diese gleichschenklig sind ist der Fußpunkt $M_{n}$ (und somit auch $M_{1}$ ) genau in der Mitte zwischen $A_{n}$ und $B_{n}$ (hier: $A_{1}$ und $B_{1}$ )
Du findest $M_{1}$ also entweder durch Abmessen oder durch Konstruktion der Mittelsenkrechten.
$\Rightarrow M_1 (1|-0{,}25)$
Verbindung der Punkte A1 und B1, Einzeichnen von M1
$\overline{M_nC_n} = \overline{M_1C_1} = 3\,cm$
Durch Abmessen oder Überlegen findest du also den Punkt $C_1(4|-0{,}25)$
Schließlich musst du noch die Punkte $A_{1}$ , $C_{1}$ und $B_{1}$ , $C_{1}$ miteinander verbinden.
Einzeichnen von C1, zeichnen der Strecken A1C1, C1B1
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Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[A_{n} B_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $\overline{A_nB_n}(x)=(3\cdot 0{,}5^x+3)~\text{LE}$

Das Dreieck $A_{2} B_{2} C_{2}$ hat einen Flächeninhalt von $15~\text{FE}$ .

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ .

Lösung zur Teilaufgabe c

Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, brauchst du eine Grundlinie und die dazugehörige Höhe.

In diesem Fall ist die Grundlinie $[A_{2} B_{2}]$ und die Höhe $[M_{2} C_{2}]$ .

Stelle die Gleichung für einen Flächeninhalt von $A_{2} B_{2} C_{2}$ auf.

$A=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$

$A = \frac{1}{2} \cdot \overline{A_2B_2} \cdot \overline{M_2C_2}$

Setze die aus der Angabe bekannten Werte für $A_{A_2B_2C_2}=15\;\text{FE}$ und $\overline{M_2C_2}$ ein. Für $\overline{A_2B_2}$ kannst du die Formel aus der Teilaufgabe (b) nutzen.

$A = \frac{1}{2} \cdot \overline{A_2B_2} \cdot \overline{M_2C_2}$

$15 = \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 0{,}5^x+3) \cdot 3$

Löse diese Gleichung nach $x$ auf.

$\displaystyle 15$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot (3\cdot 0{,}5^x+3)\cdot 3$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle 15$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot (9\cdot 0{,}5^x+9)$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 15$	$=$	$\displaystyle 4{,}5\cdot 0{,}5^x+4{,}5$	$\displaystyle -4{,}5$
	↓	Stelle die Gleichung nun so um, dass nur noch $0{,}5^x$ auf der rechten Seite steht!
$\displaystyle 10{,}5$	$=$	$\displaystyle 4{,}5\cdot 0{,}5^x$	$\displaystyle :4{,}5$
$\displaystyle \frac{10{,}5}{4{,}5}$	$=$	$\displaystyle 0{,}5^x$
	↓	Nutze den Logarithmus zur Basis $0,5$ um diese Gleichung zu lösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \text{log}_{0{,}5}\left(\frac{10{,}5}{4{,}5}\right)$
	$\approx ≈$	$\displaystyle -1{,}22$

Die Abszisse der Punkte $A_{2}$ und $B_{2}$ beträgt $x = - 1,22$ .

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.

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[https://youtu.be/J8u0NiUB8jM]

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$\displaystyle \overline{A_nB_n}$	$=$	$\displaystyle A_n-B_n$
	$=$	$\displaystyle 4\cdot0{,}5^x-(4\cdot0{,}5^{x+2}-3)$
	↓	Löse die Klammer auf und klammere aus und stelle die Summanden, die $x$ enthalten hintereinander.
	$=$	$\displaystyle 4\cdot0{,}5^x-4\cdot0{,}5^{x+2}+3$
	$=$	$\displaystyle [4\cdot0{,}5^x-4\cdot0{,}5^{x+2}]+3$
	↓	Klammere $4 \cdot 0{,}5^x$ aus.
	$=$	$\displaystyle \left[4\cdot0{,}5^x\cdot(1-0{,}5^2)\right]+3$
	↓	Klammere $4 \cdot 0{,}5^x$ aus.
	$=$	$\displaystyle \left[4\cdot0{,}5^x\cdot(1-0{,}25)\right]+3$
	$=$	$\displaystyle \left[4\cdot0{,}5^x\cdot0{,}75\right]+3$
	$=$	$\displaystyle 3 \cdot 0{,}5^x +3 \, \text{LE}$

Lösung zur Teilaufgabe a

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Lösung zur Teilaufgabe b

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Lösung zur Teilaufgabe c

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