Teil A - lernen mit Serlo!

Gegeben sind die Funktionen $f_1$ mit der Gleichung $y=4\cdot 0{,}5^x$ und $f_2$ mit der Gleichung $y=4\cdot 0{,}5^{x+2}-3~~~(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ . Punkte $A_n(x|4\cdot 0{,}5^x)$ auf dem Graphen zu $f_1$ und Punkte $B_n(x|4\cdot 0{,}5^{x+2}-3)$ auf dem Graphen zu $f_2$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Die Strecken $[A_nB_n]$ sind für $x\in\mathbb{R}$ die Basen von gleichschenkligen Dreiecken $A_nB_nC_n$ .

Für die Höhen $[M_nC_n]$ der Dreiecke $A_nB_nC_n$ gilt: $\overline{M_nC_n}=3~\text{LE}$

Zeichnen Sie das Dreieck $A_1B_1C_1$ für $x=1$ in das Koordinatensystem ein.

Lösung zur Teilaufgabe a
Bei der Aufgabe geht es darum, dass du für $x=1$ das Dreieck $A_1B_1C_1$ zeichnest. Die Graphen von $f_1$ und $f_2$ sind dir bereits gegeben. Gesucht sind nun zunächst die Punkte $A_1$ und $B_1$ , welche laut Angabe dieselbe Abszisse $x=1$ besitzen.
Darauf aufbauend kannst du dann die Punkte $M_1$ und $C_1$ finden und dann das gleichschenklige Dreieck $A_1B_1C_1$ in das Koordinatensystem einzeichnen.
Ausgehen von $x=1$ zeichnest du $A_1$ auf $f_1$ und $B_1$ auf $f_2$ ein. Der Punkt $A_n$ hat die Koordinaten $(x|f_1(x))$ und $B_n$ die Koordinaten $(x|f_2(x))$ .
$y_{A_1}=4\cdot 0{,}5^{1}=2\;\Rightarrow\;A_1(1|2)$
$y_{B_1}=4\cdot 0{,}5^{(1+2)}-3=-2{,}5$
$\Rightarrow\;B_1(1|-2{,}5)$
Einzeichnen der Punkte A1 und B1
Verbinde die Punkte $A_1$ und $B_1$ .
Laut Angabe sind die Strecken $[M_nC_n]$ und somit auch $[M_1C_1]$ die Höhen der Dreiecke. $C_n$ ist die Spitze der Dreiecke und da diese gleichschenklig sind ist der Fußpunkt $M_n$ (und somit auch $M_1$ ) genau in der Mitte zwischen $A_n$ und $B_n$ (hier: $A_1$ und $B_1$ )
Du findest $M_1$ also entweder durch Abmessen oder durch Konstruktion der Mittelsenkrechten.
$\Rightarrow M_1 (1|-0{,}25)$
Verbindung der Punkte A1 und B1, Einzeichnen von M1
$\overline{M_nC_n} = \overline{M_1C_1} = 3\,cm$
Durch Abmessen oder Überlegen findest du also den Punkt $C_1(4|-0{,}25)$
Schließlich musst du noch die Punkte $A_1$ , $C_1$ und $B_1$ , $C_1$ miteinander verbinden.
Einzeichnen von C1, zeichnen der Strecken A1C1, C1B1
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Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[A_nB_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt: $\overline{A_nB_n}(x)=(3\cdot 0{,}5^x+3)~\text{LE}$

Das Dreieck $A_2B_2C_2$ hat einen Flächeninhalt von $15~\text{FE}$ .

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ .

Lösung zur Teilaufgabe c

Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, brauchst du eine Grundlinie und die dazugehörige Höhe.

In diesem Fall ist die Grundlinie $[A_2B_2]$ und die Höhe $[M_2C_2]$ .

Stelle die Gleichung für einen Flächeninhalt von $A_2B_2C_2$ auf.

$A=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$

$A = \frac{1}{2} \cdot \overline{A_2B_2} \cdot \overline{M_2C_2}$

Setze die aus der Angabe bekannten Werte für $A_{A_2B_2C_2}=15\;\text{FE}$ und $\overline{M_2C_2}$ ein. Für $\overline{A_2B_2}$ kannst du die Formel aus der Teilaufgabe (b) nutzen.

$A = \frac{1}{2} \cdot \overline{A_2B_2} \cdot \overline{M_2C_2}$

$15 = \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 0{,}5^x+3) \cdot 3$

Löse diese Gleichung nach $x$ auf.

$\displaystyle 15$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot (3\cdot 0{,}5^x+3)\cdot 3$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle 15$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot (9\cdot 0{,}5^x+9)$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 15$	$=$	$\displaystyle 4{,}5\cdot 0{,}5^x+4{,}5$	$\displaystyle -4{,}5$
	↓	Stelle die Gleichung nun so um, dass nur noch $0{,}5^x$ auf der rechten Seite steht!
$\displaystyle 10{,}5$	$=$	$\displaystyle 4{,}5\cdot 0{,}5^x$	$\displaystyle :4{,}5$
$\displaystyle \frac{10{,}5}{4{,}5}$	$=$	$\displaystyle 0{,}5^x$
	↓	Nutze den Logarithmus zur Basis $0{,}5$ um diese Gleichung zu lösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \text{log}_{0{,}5}\left(\frac{10{,}5}{4{,}5}\right)$
	$≈$	$\displaystyle -1{,}22$

Die Abszisse der Punkte $A_2$ und $B_2$ beträgt $x=-1{,}22$ .

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.

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[https://youtu.be/J8u0NiUB8jM]

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$\displaystyle \overline{A_nB_n}$	$=$	$\displaystyle A_n-B_n$
	$=$	$\displaystyle 4\cdot0{,}5^x-(4\cdot0{,}5^{x+2}-3)$
	↓	Löse die Klammer auf und klammere aus und stelle die Summanden, die $x$ enthalten hintereinander.
	$=$	$\displaystyle 4\cdot0{,}5^x-4\cdot0{,}5^{x+2}+3$
	$=$	$\displaystyle [4\cdot0{,}5^x-4\cdot0{,}5^{x+2}]+3$
	↓	Klammere $4 \cdot 0{,}5^x$ aus.
	$=$	$\displaystyle \left[4\cdot0{,}5^x\cdot(1-0{,}5^2)\right]+3$
	↓	Klammere $4 \cdot 0{,}5^x$ aus.
	$=$	$\displaystyle \left[4\cdot0{,}5^x\cdot(1-0{,}25)\right]+3$
	$=$	$\displaystyle \left[4\cdot0{,}5^x\cdot0{,}75\right]+3$
	$=$	$\displaystyle 3 \cdot 0{,}5^x +3 \, \text{LE}$

Lösung zur Teilaufgabe a

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Lösung zur Teilaufgabe b

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Lösung zur Teilaufgabe c

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