Wahlteil - lernen mit Serlo!

Wahlaufgabe 3 - Trigonometrie

Eine Bergbahn im Harz fährt von einer Talstation zu einer Bergstation. Danny hat eine Skizze gezeichnet und einige Streckenlängen eingetragen.

Berechne den Höhenunterschied $h$ . (2 BE)

Danny hat den Steigungswinkel $\alpha$ der Bergbahn berechnet. Sein Ergebnis für $\alpha$ ist ungefähr $7°$ .

Bestätige mithilfe einer Rechnung, dass Dannys Ergebnis richtig ist. (2 BE)

Eine Bergbahn in den Alpen hat eine Steigung von 9 %. (3 BE)

Entscheide mithilfe einer Rechnung, welche Bergbahn die größere Steigung hat.

Damit Züge in Kurven schneller fahren können, werden die Gleise etwas geneigt. Die maximale Geschwindigkeit hängt vom Neigungswinkel $\alpha$ ab.

Bestimme die maximale Geschwindigkeit, mit der ein Zug bei einem Höhenunterschied von $u = 217 ~\text{mm}$ durch die Kurve fahren darf. (2 BE)

$\cos\alpha=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
	↓
$\displaystyle \cos\alpha$	$=$	$\displaystyle \frac{5{,}53}{5{,}57}$	$\displaystyle \cos^{-1}\left(\right)$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \cos^{-1}\left(\frac{5{,}53}{5{,}57}\right)$
	$=$	$\displaystyle 6{,}870...$
	$≈$	$\displaystyle 6{,}87°$

$\displaystyle \tan\beta$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{100}$	$\displaystyle \tan^{-1}\left(\right)$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle \tan^{-1}\left(\frac{9}{100}\right)$
	$=$	$\displaystyle 5{,}142...$
	$≈$	$\displaystyle 5{,}14°$

$\displaystyle \sin\alpha$	$=$	$\displaystyle \frac{217}{1435}$	$\displaystyle \sin^{-1}\left(\right)$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \sin^{-1}\left(\frac{217}{1435}\right)$
	$=$	$\displaystyle 8{,}697...$
	$≈$	$\displaystyle 8{,}70°$