Wahlteil - lernen mit Serlo!

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Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen

Ein Kegel wird halbiert.

Der halbe Kegel hat den Radius $r=6\ cm$ und die Höhe $h_k=12\ cm$ .

Berechne die Länge der Mantellinie s. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Rechtwinkliges Dreieck

Der Querschnitt, der in der Skizze oben grau dargestellt ist, enthält unser rechtwinkliges Dreieck.

In diesem rechtwinkligen Dreieck ist die Mantellinie $s$ die Hypotenuse.

Länge der Mantellinie $s$

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

$\displaystyle s^2$	$=$	$\displaystyle h_K^2+r^2$
	$=$	$\displaystyle 12^2+6^2$
	$=$	$\displaystyle 180$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle \sqrt{180}$
	$=$	$\displaystyle 13{,}416...$

Die Länge von $s$ beträgt etwa: $s=13{,}42~\text{cm}$

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Bestimme das rechtwinklige Dreieck, in dem $s$ die Hypotenuse ist.
Berechne $s$ in diesem Dreieck mit dem Satz des Pythagoras.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Körpers (halber Kegel). (4 BE)

(Solltest du Teilaufgabe a) nicht gelöst haben, rechne mit $s = 13,21 c m$ weiter.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel

Mantelfläche des halben Kegels

$\displaystyle A_{Mantel}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\pi\cdot r\cdot s$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\pi\cdot6\cdot13{,}42$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 126{,}48$

Die Mantelfläche beträgt etwa $126{,}48~\text{cm}^2$ .

Fläche des Dreiecks

Die Grundseite $g$ ist $2 r$
	↓
$\displaystyle A_{\Delta}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left(2r\right)\cdot h_k$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot12\cdot12$
	$=$	$\displaystyle 72$

Der dreieckige Querschnitt hat eine Fläche von: $A_\Delta=36~\text{cm}^2$

Fläche der Grundseite

$\displaystyle A_{Halbkreis}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\pi r^2$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\pi\cdot6^2$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 56{,}55$

Die Grundseite hat eine Fläche von etwa $56{,}55~\text{cm}^2$ .

Gesamt

Insgesamt ergeben sich:

\displaystyle O=126{,}48+72+56{,}55=298{,}38

Die Oberfläche hat einen Flächeninhalt von: $O=255{,}03~\text{cm}^2$

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Berechne die Mantelfläche des halben Kegels.
Berechne den dreieckigen Querschnitt mit der Grundlinie $s$ und Höhe $h_{k}$ .
Berechne die Fläche der Grundseite (Halbkreis).
Addiere die drei Flächen, um die gesamte Oberfläche zu erhalten.

Berechne das Volumen des halben Kegels. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel

Das Volumen des Kegels beträgt:

$\displaystyle V_{K/2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\frac{1}{3}\cdot G\cdot h}{2}$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}\cdot G\cdot h$
	↓	Grundfläche ist ein Kreis
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}\cdot \pi r^2\cdot h$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}\cdot \pi \cdot6^2\cdot 12$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 226{,}19$

Das Volumen beträgt $V_{K/2}=226{,}19~\text{cm}^3$ .

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Berechne das Volumen des ganzen Kegels und teile dabei durch $2$ .

Stelle für einen anderen halben Kegel mit $h_{k} = 2 r$ eine allgemeine Volumenformel in Abhängigkeit von $r$ auf und fasse sie so weit wie möglich zusammen. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel

$\displaystyle V_{K/2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\frac{1}{3}\cdot G\cdot h}{2}$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}\cdot G\cdot h$
	↓	Setze ein
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}\cdot \pi \cdot r^2\cdot 2r$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \pi r^3$