$f_a(x)=x\cdot e^{-\frac{1}{2}a\cdot x^2+\frac{1}{2}}$

Berechne $f_a(1)$:

Nur für $a=1$ enthält der Graph $f_1(x)$ den Punkt $(1|1)$.

Setze $a=0$ in die Scharfunktion ein:

$f_0(x)=x\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot0\cdot x^2+\frac{1}{2}}=e^{\frac{1}{2}}\cdot x$

Die allgemeine Geradengleichung lautet: $y=m\cdot x+t$

Die Steigung $m$ der Geraden ist $e^{\frac{1}{2}}$ und der Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist $(0|0)$.

• $f_a(0)=0$$\;\Rightarrow\;$ Alle Graphen der Schar gehen durch den Ursprung $(0|0)$.

• $f_a'(0)=f_0'(0)$$\;\Rightarrow\;$ Alle Graphen der Schar haben an der Stelle $x=0$ die gleiche Steigung, die gleich der Steigung des Graphens von $f_0(x)$ ist.

• $f_{a_1}(x)=f_{a_2}(x)\Leftrightarrow a_1=a_2$ oder $x=0$$\;\Rightarrow\;$ Die Graphen für verschiedenes $a$ haben nur bei $x=0$ einen gemeinsamen Punkt. Wenn sich zwei Graphen außer für $x=0$ noch an einer anderen Stelle schneiden, dann müssen die Graphen identisch sein.

Strecken in $y$-Richtung: Der gesamte Funktionsterm wird mit $k$ multipliziert.

Strecken in $x$-Richtung: Jeder $x$-Wert im Funktionsterm wird durch $\dfrac{x}{k}$ ersetzt.

Wenn man die Funktion in y-Richtung mit dem Faktor $k$ streckt, erhält man als neuen Funktionsterm $k\cdot f_a(x)=k\cdot x\cdot e^{-\frac{1}{2}a\cdot x^2+\frac{1}{2}}$.

Wenn man danach in x-Richtung mit dem Faktor $k$ streckt, ergibt sich als Funktionsterm:

Das heißt: $k\cdot f_a\left(\frac{x}{k} \right)=f_{\frac{a}{k^2} }(x)$

Damit ist der entstandene Graph ebenfalls eine Funktion der Schar.

Die Lösungen der Gleichung $a\cdot x^2=1$ liefern die Extremstellen von $f_a$.

Für $a$ gilt $a\in \mathbb R$, d.h. bezüglich der Lösung der Gleichung ist eine Fallunterscheidung notwendig:

Fall 1: $a<0\;\Rightarrow\;x^2=\dfrac{1}{a}<0\;\Rightarrow\;$keine Lösung, da ein Quadrat nicht negativ sein kann. Der Graph hat demnach keine Extrema. Der Graph gehört in Gruppe $\mathrm{II}$.

Fall 2: $a=0\;\Rightarrow$ der Graph $f_0$ ist eine Gerade und hat somit keine Extrema. Der Graph gehört in Gruppe $\mathrm{II}$.

Fall 3: $a>0\;\Rightarrow\;x^2=\dfrac{1}{a}\;\Rightarrow\;x_{1{,}2}=\pm\sqrt{\frac{1}{a}}$$\;\Rightarrow\;$ $f_a'(x)$ hat zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel$\;\Rightarrow\;f_a$ hat $2$ Extremstellen. Der Graph gehört in Gruppe $\mathrm{I}$.

Entsprechend erhält man für $f_a\left(-\sqrt{\frac{1}{a}}\right)=-\sqrt{\frac{1}{a}}$

Für beide Extrema gilt jeweils, dass der x-Wert gleich dem Funktionswert ist. Die $x$- und $y$-Koordinaten sind gleich. Alle Extrema liegen auf der Geraden mit der Gleichung $y=x$.

Hinweis: Nur zur Veranschaulichung (In der Aufgabenstellung nicht gefordert.)

Drei Scharkurven mit der Ortskurve $y=x$ der Extrema.

Für die Skizze wird die in Aufgabe c) verwendete Abbildung $1$, die mit Koordinatenachsen versehen wurde und skaliert ist, benutzt.

Der Hochpunkt hat in der Skizze die Koordinaten $HP(1|1)$, sodass in diesem Fall $v=1$ ist. In der Skizze sind auch die drei anderen Eckpunkte des Vierecks markiert: $O(0|0)$, $Q(1|0)$ und $P(0|2)$. Für das allgemeine Viereck entspricht der Punkt $Q(1|0)$ dem Punkt $Q(v|0)$, dem Punkt $HP(1|1)$ entspricht der Punkt $HP(v|f_a(v))$ und dem Punkt $P(0|2)$ entspricht der Punkt $P(0|\frac{2}{v})$ (siehe obige Abbildung). Der Koordinatenursprung bleibt erhalten.

Das Viereck stellt ein Trapez dar. Die Flächenformel für das Trapez lautet:

$A_{\text{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot(a+c)\cdot h$

Nach der obigen Skizze hat die Seite $a$ die Länge $\dfrac{2}{v}$, die Seite $c$ die Länge f$_a(v)=v$ (Die $x$- und $y$-Koordinaten der Extrema sind gleich.) und die Höhe $h$ hat die Länge $v$.

Eingesetzt in die Flächenformel erhält man:

$A_{\text{Trapez}}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{2}{v}+v\right)\cdot v$

Dieser Flächeninhalt soll 49 sein:

Man hat die Gleichung $v^2=96$ erhalten. Andererseits hat der Hochpunkt die Koordinaten $HP\left(\sqrt{\frac{1}{a}}\Big\vert\sqrt{\frac{1}{a}}\right)$ (vergleiche die Aufgaben e) und f)).

Da $v$ die $x$-Koordinate des Hochpunkts ist, gilt $v=\sqrt{\frac{1}{a}}$.

Für $a=\dfrac{1}{96}$ hat das Viereck den Flächeninhalt $49$.

Hinweis: Die Fläche des Vierecks kann auch als Summe der Fläche eines Quadrates und der Fläche eines Dreiecks berechnet werden.