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Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zu Ausdrucken als PDF,

  1. 1

    Gegeben ist die in R\mathbb R definierte Funktion ffmit f(x)=xe12x2+12f(x)=x\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}. Die Abbildung 11 zeigt den Graphen von ff ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

    Abbildung 1 Graph ohne Koordinatensystem
    1. Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von ff, dass der Graph von ff symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Begründen Sie, dass ff genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von ff für x+x\rightarrow+\infty an. (4P)

    2. Bestimmen Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion ff' von ff. (2P)

      (zur Kontrolle: f(x)=(1x2)e12x2+12f'(x)=(1-x^2)\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}} )

    3. Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von ff. Ergänzen Sie in der Abbildung 11 die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend. (5P)

    4. Ist gg' die erste Ableitungsfunktion einer in R\mathbb R definierten Funktion gg, so gilt bekanntlich uvg(x)eg(x)dx=[eg(x)]uv\displaystyle\int_{u}^{v}g'(x)\cdot e^{g(x)} \mathrm{d}x=\left[e^{g(x)}\right]_u^v. Berechnen Sie damit den Wert des Terms 01f(x)dx\displaystyle\int_{0}^{1}f(x) \mathrm{d}x. (3P)

    5. Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:

      Für jede Stammfunktion FFvon ffund für jede reelle Zahl w>2022w>2022 gilt

      F(w)F(0)02022f(x)dx F(w)-F(0)\approx \displaystyle\int_{0}^{2022}f(x) \mathrm{d}x. (3P)

  2. 2

    Betrachtet wird nun die Schar der in R\mathbb R definierten Funktionen fa:xxe12ax2+12f_a: x\mapsto x\cdot e^{-\frac{1}{2}a\cdot x^2+\frac{1}{2}}mit aRa\in \mathbb R.

    1. Zeigen Sie, dass genau ein Graph der Schar den Punkt (11)(1|1) enthält, und geben Sie den zugehörigen Wert von aa an. (3P)

    2. Der Graph der Funktion f0 f_0 ist eine Gerade. Geben Sie die Steigung dieser Geraden und die Koordinaten ihres Schnittpunkts mit der yy-Achse an. (2P)

    3. Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen a,a1a, a_1 und a2a_2:

      • fa(0)=0f_a(0)=0

      • fa(0)=f0(0)f_a'(0)=f_0'(0)

      • fa1(x)=fa2(x)a1=a2f_{a_1}(x)=f_{a_2}(x)\Leftrightarrow a_1=a_2 oder x=0x=0

      Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt. (3P)

    4. Zeigen Sie, dass die folgende Aussage für jeden Wert von aa richtig ist:

      Wird der Graph von faf_a mit dem gleichen Faktor k>0k>0 sowohl in xx-Richtung als auch in

      yy-Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion

      der Schar dar. (3P)

      Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen I\mathrm{I} und II\mathrm{II} einteilen:

      I\mathrm{I} Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.

      II\mathrm{II} Der Graph hat keine Extrempunkte.

      Die Abbildung 22 zeigt einen Graphen der Gruppe I\mathrm{I}, die Abbildung 33 einen Graphen der Gruppe II\mathrm{II}.

      Bild

      Die Extremstellen von faf_a stimmen mit den Lösungen der Gleichung ax2=1a\cdot x^2=1 überein.

    5. Geben Sie zu jeder der beiden Gruppen I\mathrm{I} und II\mathrm{II} alle zugehörigen Werte von a an und begründen Sie Ihre Angabe. (3P)

    6. Alle Extrempunkte der Schar liegen auf einer Geraden. Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung y=xy=x handelt. (3P)

    7. Für jeden positiven Wert von aa bilden der Hochpunkt (vfa(v))(v|f_a(v)) des Graphen von faf_a, der Punkt (02v)(0|\frac{2}{v}), der Koordinatenursprung und der Punkt (v0)(v|0) die Eckpunkte eines Vierecks. Bestimmen Sie ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von aa, für den das Viereck den Flächeninhalt 4949 hat. (6P)



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