Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

• Symmetrie zum Koordinatenursprung

Wenn der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, dann gilt: $f(-x)=-f(x)$

Setze in den Funktionsterm $(-x)$ ein und überprüfe, ob $f(-x)=-f(x)$ ist:

$f(-x)=(-x)\cdot e^{-\frac{1}{2}(-x)^2+\frac{1}{2}}=-x\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}=-f(x)$$\;\checkmark$

Der Graph von $f$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

• Die Funktion $f$ hat genau eine Nullstelle

Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt).

$f(x)=0\;\Rightarrow\;0=x\cdot \underbrace{e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}}_{>0}\;\Rightarrow\;x=0$

Also hat die Funktion nur eine Nullstelle bei $x=0$.

• Grenzwert von $f$ für $x\rightarrow+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\underbrace{x}_{\rightarrow+\infty}\cdot\underbrace{e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}}_{\rightarrow 0^+} \right)=0^+$

Der Exponent der $e$-Funktion hat den Grenzwert $-\infty$. Die $e$-Funktion geht dort stärker gegen $0$, als $x\rightarrow+\infty$ geht.

Gegeben ist die Funktion: $f(x)=x\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}$

Die Funktion $f$ ist das Produkt zweier Funktionen. Man bringt die Funktion $f$ in die Form $f(x)=u(x)\cdot v(x)$

Dazu setzt man $u(x)=x$ und $v(x)=e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}$.

Die Ableitung des Produktes zweier Funktionen $u$ und $v$ ist dann:

$f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$

Berechnet werden müssen die beiden Ableitungen der Funktionen $u$ und $v$.

Die Ableitung von $u(x)$ ist $u'(x)=1$.

Bei der Ableitung von v(x) muss beachtet werden, dass diese Funktion eine verkettete Funktion ist, d.h. bei der Ableitung von $v(x)$ muss die Kettenregel angewendet werden.

$v(x)=g(h(x))=e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}$

Dabei ist die Funktion $g(x)$ die $e$-Funktion $e^x$ und $h(x)=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$

Dann ist $v'(x)=\left(g(h(x)\right)'=g'\left(h(x)\right)\cdot h'(x)$

Die Ableitung von $g(x)$ ist $e^x$ und $h'(x)=\left(-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\right)'=-x$

Damit folgt für die Ableitung von $v(x)$:

$v'(x)=\left(g(h(x)\right)'=g'\left(h(x)\right)\cdot h'(x)=e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}\cdot (-x)=-x\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}$.

Man setzt nun in die Formel für die Produktregel ein und erhält:

Der Term der ersten Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ lautet:

$f'(x)=(1-x^2)\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}$

Monotonieverhalten von $f$

Man bestimmt das Monotonieverhalten einer differenzierbaren Funktion $f$ über ihre erste Ableitung: $f'(x)=(1-x^2)\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}$

$f^\prime(x)\gt0\;\rightarrow$ $f$ ist streng monoton steigend

$f^\prime(x)\lt0\;\rightarrow$  $f$ ist streng monoton fallend

Suche zunächst die Stellen, an denen $f'(x)=0$ ist.

Das Produkt $f'(x)=(1-x^2)\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}$ ist null, wenn einer der Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt).

$f'(x)=0\;\Rightarrow\;0=(1-x^2)\cdot \underbrace{e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}}_{>0}\;\Rightarrow\;1-x^2=0$

$1-x^2=0\;\Rightarrow\;x_1=-1$ und $x_2=1$

Für eine Vorzeichentabelle berechnet man einige Ableitungswerte. Man wählt einen Wert $x$ der kleiner als $x_1=-1$ ist, z.B. $x=-3$ und berechnet $f'(-3)$:

$f'(-3)=\left(1-(-3)^2\right)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot(-3)^2+\frac{1}{2}}\cdot=(1-9)\cdot e^{-4}=-8\cdot e^{-4}<0$

Dann wählt man einen Wert $x$, der zwischen $x_1=-1$ und $x_2=1$ liegt, z.B. $x=0$ und berechnet $f'(0)$: $f'(0)=\left(1-0^2\right)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot(0)^2+\frac{1}{2}}=e^{\frac{1}{2}}>0$

Man wählt einen Wert $x$ der größer als $x_2=1$ ist, z.B. $x=3$ und berechnet $f'(3)$:

$f'(3)=\left(1-3^2\right)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot3^2+\frac{1}{2}}=(1-9)\cdot e^{-4}=-8\cdot e^{-4}<0$

Mit diesen berechneten Werten ergibt sich die folgende Tabelle:

Die Funktion $f$ hat folgendes Monotonieverhalten.

Im Intervall $]-\infty;-1[$ ist $f$ streng monoton fallend, im Intervall $[-1;1]$ ist $f$ streng monoton steigend und im Intervall $]1;+\infty[$ ist $f$ streng monoton fallend.

Koordinatenachsen einzeichnen und skalieren

Der Graph von $f$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs (nach Aufgabe $a$)). Man zeichnet den Koordinatenursprung so ein, dass sich die Punktsymmetrie ergibt. Da der Graph von $f$ nur eine Nullstelle bei $x=0$ hat (siehe Aufgabe $a$)), muss die $x$-Achse so gelegt werden, dass es nur einen Schnittpunkt mit ihr gibt.

Für $x=1$ hat die Funktion einen Hochpunkt, d.h es muss $f(1)$ berechnet werden:

$f(1)=1\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot1^2+\frac{1}{2}}=1\cdot e^0=1$$\;\Rightarrow\;HP(1|1)$

Mit dieser Information kann dann die x-Achse und die y-Achse skaliert werden.

Die Abbildung $1$ zeigt die zusätzlich eingezeichneten Koordinatenachsen und die Skalierung der Achsen.

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}$.

Die Funktion $e^{g(x)}$ ist hier $e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}$ und die Funktion $g(x)$ ist damit:

$g(x)=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$.

Für die Ableitung von $g(x)$ ergibt sich: $g'(x)=\left(-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\right)'=-x$

In der Funktion $f(x)$ steht aber als Faktor $(+x)$ und nicht $(-x)$.

Da $(+1)=(-1)\cdot(-1)$ ist, kann die Funktion $f(x)$ geschrieben werden als:

$f(x)=(-1)\cdot(-1)\cdot x\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}=-\left(-x\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}\right)$ (identisch mit $f(x)$).

In der Klammer der Funktion $f(x)$ steht jetzt $g'(x)\cdot e^{g(x)}$.

Der Wert des Terms $\displaystyle\int_{0}^{1}f(x) \mathrm{d}x$ ist $e^{\frac{1}{2}}-1$.

Das Integral $\displaystyle\int_{0}^{2022}f(x) \mathrm{d}x$ berechnet den Flächeninhalt zwischen $f(x)$ und der $x$-Achse im Bereich von $0$ bis $2022$ (siehe Abbildung $1$ mit Koordinatenachsen).

Entsprechend wird mit $F(w)-F(0)$ ebenfalls der Flächeninhalt zwischen $f(x)$ und der $x$-Achse im Bereich von $0$ bis $w$ berechnet. Ist $w>2022$, dann unterscheiden sich die beiden Flächeninhalte nicht mehr wesentlich voneinander. Sie sind ungefähr gleich groß.

$f_a(x)=x\cdot e^{-\frac{1}{2}a\cdot x^2+\frac{1}{2}}$

Berechne $f_a(1)$:

Nur für $a=1$ enthält der Graph $f_1(x)$ den Punkt $(1|1)$.

Setze $a=0$ in die Scharfunktion ein:

$f_0(x)=x\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot0\cdot x^2+\frac{1}{2}}=e^{\frac{1}{2}}\cdot x$

Die allgemeine Geradengleichung lautet: $y=m\cdot x+t$

Die Steigung $m$ der Geraden ist $e^{\frac{1}{2}}$ und der Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist $(0|0)$.

• $f_a(0)=0$$\;\Rightarrow\;$ Alle Graphen der Schar gehen durch den Ursprung $(0|0)$.

• $f_a'(0)=f_0'(0)$$\;\Rightarrow\;$ Alle Graphen der Schar haben an der Stelle $x=0$ die gleiche Steigung, die gleich der Steigung des Graphens von $f_0(x)$ ist.

• $f_{a_1}(x)=f_{a_2}(x)\Leftrightarrow a_1=a_2$ oder $x=0$$\;\Rightarrow\;$ Die Graphen für verschiedenes $a$ haben nur bei $x=0$ einen gemeinsamen Punkt. Wenn sich zwei Graphen außer für $x=0$ noch an einer anderen Stelle schneiden, dann müssen die Graphen identisch sein.

Strecken in $y$-Richtung: Der gesamte Funktionsterm wird mit $k$ multipliziert.

Strecken in $x$-Richtung: Jeder $x$-Wert im Funktionsterm wird durch $\dfrac{x}{k}$ ersetzt.

Wenn man die Funktion in y-Richtung mit dem Faktor $k$ streckt, erhält man als neuen Funktionsterm $k\cdot f_a(x)=k\cdot x\cdot e^{-\frac{1}{2}a\cdot x^2+\frac{1}{2}}$.

Wenn man danach in x-Richtung mit dem Faktor $k$ streckt, ergibt sich als Funktionsterm:

Das heißt: $k\cdot f_a\left(\frac{x}{k} \right)=f_{\frac{a}{k^2} }(x)$

Damit ist der entstandene Graph ebenfalls eine Funktion der Schar.

Die Lösungen der Gleichung $a\cdot x^2=1$ liefern die Extremstellen von $f_a$.

Für $a$ gilt $a\in \mathbb R$, d.h. bezüglich der Lösung der Gleichung ist eine Fallunterscheidung notwendig:

Fall 1: $a<0\;\Rightarrow\;x^2=\dfrac{1}{a}<0\;\Rightarrow\;$keine Lösung, da ein Quadrat nicht negativ sein kann. Der Graph hat demnach keine Extrema. Der Graph gehört in Gruppe $\mathrm{II}$.

Fall 2: $a=0\;\Rightarrow$ der Graph $f_0$ ist eine Gerade und hat somit keine Extrema. Der Graph gehört in Gruppe $\mathrm{II}$.

Fall 3: $a>0\;\Rightarrow\;x^2=\dfrac{1}{a}\;\Rightarrow\;x_{1{,}2}=\pm\sqrt{\frac{1}{a}}$$\;\Rightarrow\;$ $f_a'(x)$ hat zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel$\;\Rightarrow\;f_a$ hat $2$ Extremstellen. Der Graph gehört in Gruppe $\mathrm{I}$.

Entsprechend erhält man für $f_a\left(-\sqrt{\frac{1}{a}}\right)=-\sqrt{\frac{1}{a}}$

Für beide Extrema gilt jeweils, dass der x-Wert gleich dem Funktionswert ist. Die $x$- und $y$-Koordinaten sind gleich. Alle Extrema liegen auf der Geraden mit der Gleichung $y=x$.

Hinweis: Nur zur Veranschaulichung (In der Aufgabenstellung nicht gefordert.)

Drei Scharkurven mit der Ortskurve $y=x$ der Extrema.

Für die Skizze wird die in Aufgabe c) verwendete Abbildung $1$, die mit Koordinatenachsen versehen wurde und skaliert ist, benutzt.

Der Hochpunkt hat in der Skizze die Koordinaten $HP(1|1)$, sodass in diesem Fall $v=1$ ist. In der Skizze sind auch die drei anderen Eckpunkte des Vierecks markiert: $O(0|0)$, $Q(1|0)$ und $P(0|2)$. Für das allgemeine Viereck entspricht der Punkt $Q(1|0)$ dem Punkt $Q(v|0)$, dem Punkt $HP(1|1)$ entspricht der Punkt $HP(v|f_a(v))$ und dem Punkt $P(0|2)$ entspricht der Punkt $P(0|\frac{2}{v})$ (siehe obige Abbildung). Der Koordinatenursprung bleibt erhalten.

Das Viereck stellt ein Trapez dar. Die Flächenformel für das Trapez lautet:

$A_{\text{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot(a+c)\cdot h$

Nach der obigen Skizze hat die Seite $a$ die Länge $\dfrac{2}{v}$, die Seite $c$ die Länge f$_a(v)=v$ (Die $x$- und $y$-Koordinaten der Extrema sind gleich.) und die Höhe $h$ hat die Länge $v$.

Eingesetzt in die Flächenformel erhält man:

$A_{\text{Trapez}}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{2}{v}+v\right)\cdot v$

Dieser Flächeninhalt soll 49 sein:

Man hat die Gleichung $v^2=96$ erhalten. Andererseits hat der Hochpunkt die Koordinaten $HP\left(\sqrt{\frac{1}{a}}\Big\vert\sqrt{\frac{1}{a}}\right)$ (vergleiche die Aufgaben e) und f)).

Da $v$ die $x$-Koordinate des Hochpunkts ist, gilt $v=\sqrt{\frac{1}{a}}$.

Für $a=\dfrac{1}{96}$ hat das Viereck den Flächeninhalt $49$.

Hinweis: Die Fläche des Vierecks kann auch als Summe der Fläche eines Quadrates und der Fläche eines Dreiecks berechnet werden.