Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Gegeben ist die Gerade $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$ mit $s \in \mathbb{R}$ .

Zeigen Sie, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x+y+z=2$ liegt. (2 BE)

Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden $\def\arraystretch{1.25} h_{a}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 0\end{array}\right)$ mit $t \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}$ .

Weisen Sie nach, dass $g$ und $h_{a}$ für jeden Wert von $a$ windschief sind. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden

Untersuchen der Richtungsvektoren

Die Richtungsvektoren sind $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$ und $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 0\end{array}\right)$ .

Es gibt keine Zahl $k\in\mathbb{R}$ , sodass sie gleich sind: $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)\neq k\cdot \left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 0\end{array}\right)$

Die Vektoren sind linear unabhängig, die Geraden müssen entweder windschief sein oder sich schneiden.

Gleichsetzen der Geradengleichungen

Gleichsetzen
	↓
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 0\end{array}\right)$
	↓	Bringe alle Stützvektoren nach links und alle Richtungsvektoren nach rechts.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 0\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$

Das ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.

Dieses LGS besitzt keine Lösung.

Es gibt verschiedene Methoden, die Lösung zu bestimmen. Betrachtet man die Zeilen etwas genauer, zeigt sich:

\displaystyle \text{3. Zeile:}~~~~0=t\cdot 0+s\quad\Rightarrow\quad s=0

Wenn $s=0$ folgt aus der $1.$ Gleichung:

\displaystyle \text{3. Zeile:}~~~~0=t\cdot 0+s\quad\Rightarrow\quad s=0

Für $t=0$ und $s=0$ folgt aber aus der 2. Gleichung: $1\neq 0\cdot a$

Für keinen Wert von $a$ besitzt das LGS eine Lösung. Die Geraden haben keinen Schnittpunkt und sind damit windschief.

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$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle x+y+z$
	↓	Setze die Gerade koordinatenweise in die Ebenengleichung ein
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle s+1+\left(1-s\right)$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle 2$

Aufgabe 5

Gerade in Ebenengleichung einsetzen

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Untersuchen der Richtungsvektoren

Gleichsetzen der Geradengleichungen

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