Pflichtteil 1 - WTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 4

Das Video Gangnam Style hat sich in den sozialen Medien schnell verbreitet.

Die Anzahl der Views gibt an, wie oft das Video angeschaut wurde.

Als das Video 20 Millionen Views erreicht, fängt Katrin an, eine Tabelle zu erstellen.

Zeige, dass die Anzahl der Views in Katrins Tabelle nicht linear wächst. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
Lösung
Wertetabelle
Der Zuwachs der Views steigt jede Woche. Bei linearem Wachstum bleibt dieser Zuwachs immer gleich.
Hier kann kein lineares Wachstum vorliegen.
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Bestimme den Wert, um den sich die Views in einer Woche verändert.
Vergleiche, ob dieser gleich bleibt oder nicht.
Die Anzahl der Views wächst jede Woche um rund $25 \%$ .
Überprüfe, ob diese Angabe stimmt. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Lösung
Wertetabelle
Die Werte sind identisch mit den Werten in der Tabelle.
$\rightarrow$ Damit können wir davon ausgehen, dass ein exponentielles Wachstum mit der Wachstumsrate $1{,}25$ vorliegt. Die Aussage stimmt als.
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Berechne die Werte der Views mit dem Zuwachs von $25~\%$ .
Vergleiche mit den Werten der Tabelle.
Katrin geht von einer Wachstumsrate von $25 \%$ aus.
Sie modelliert das Wachstum der Views mit der Funktionsgleichung $f(x)=20 \cdot 1{,}25^{x}$ .
Gib die Bedeutung von $x, f(x), 20$ und $1{,}25$ im Sachzusammenhang an. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Lösung
Im Sachzusammenhang sind die Bedeutungen:
$x$ bezeichnet die Anzahl der Wochen
$f(x)$ bezeichnet die Anzahl der Views in Millionen
$20$ ist der Wert der Views bei Beginn der Dokumentation - der sogenannte Startwert
$1{,}25$ ist die Wachstumsrate
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Berechne mit Hilfe von Katrins Modell, wie viele Views nach 9 Wochen zu erwarten sind. (2 BE)

Bestimme mit Hilfe von Katrins Modell, nach wie vielen ganzen Wochen voraussichtlich 100 Millionen Views überschritten werden. (3 BE)

Berechne den Funktionswert an der Stelle $x=-2$ .
Erkläre das Ergebnis im Sachzusammenhang. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Lösung
Setze $x=-2$ in den Funktionsterm ein.
$\displaystyle f\left(-2\right)$ $=$ $\displaystyle 20\cdot1{,}25^{-2}$
$=$ $\displaystyle 12{,}8$
$\rightarrow$ Für $x=-2$ ergeben sich $12{,}8$ Millionen Views. Im Sachzusammenhang wäre das die Anzahl der Views zwei Wochen vor der Aufzeichnung.
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Verwende den Funktionsterm aus Teilaufgabe (c).
Bestimme $f(-2)$ mithilfe des Terms.
Katrin behauptet: „In meinem Modell verdoppelt sich alle 3,11 Wochen die Anzahl der Views.“
Überprüfe Katrins Aussage anhand von zwei selbst gewählten Zeitabschnitten. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Lösung
Wir wählen die Zeitabschnitte:
Woche $1$ und $4{,}11$
Woche $2$ und $5{,}11$
Die Funktionswerte sind
$f(1)=25\qquad f(4{,}11)=50{,}04...$
$f(2)=31{,}25\qquad f(5{,}11)=62{,}55...$
Im Verhältnis ergibt sich für die Zeitabschnitte:
$\dfrac{f(4{,}11)}{f(1)}=2{,}00...$
$\dfrac{f(5{,}11)}{f(2)}=2{,}00...$
$\rightarrow$ Katrin hat mit ihrer Aussage recht.
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Wähle zwei Zeitpunkte. Bestimme dazu die Zeitpunkte, $3{,}11$ Wochen später.
Bestimme das Verhältnis der Views. Vergleiche, ob für beide Zeitabschnitte das gleiche Verhältnis herauskommt.
Die Abbildung stellt die realen Daten ab Katrins Beobachtungsbeginn dar.
Begründe im Sachzusammenhang, weshalb sich die Anzahl der Views auf lange Sicht nicht exponentiell entwickeln kann. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Lösungsvorschlag
Die Views können sich nicht ewig exponentiell entwickeln. Nach einigen Wochen mehr hätten alle Menschen der Erde das Video (sogar mehrfach) gesehen. Das ist nicht möglich.
Gleichzeitig steigt die Anzahl der Menschen, die das Video bereits gesehen haben. Sie sehen das Video nicht mehr so oft an.
Ab der gelb markierten Stelle flacht die Steigung langsam ab - ab hier wächst die Anzahl der Views nicht mehr exponentiell.
Lösung
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Bei exponentiellem Wachstum nimmt die Steigung immer weiter zu.
$\rightarrow$ Suche im Graphen die Stelle, ab der die Steigung abflacht.
Katrins Modell weicht auf lange Sicht von den realen Daten ab.
Bestimme die prozentuale Abweichung für den Zeitpunkt 20 Wochen. (2 BE)
Lösung
Darstellung der Views
Die Views betragen nach $20$ Wochen etwa $880$ Millionen Views.
Mit dem Modell berechnet man:
$f(20)=20\cdot 1{,}25^{20}=1734{,}72...$
Die prozentuale Abweichung beträgt etwa:
$\dfrac{f(20)}{880}\approx\dfrac{1734{,}72}{880}\approx 1{,}97...$
$\rightarrow$ Der Wert des Modells wäre um $97~\%$ höher als der tatsächliche Wert.
VorsichtErgebnis
Der Wert kann sehr variieren, je nachdem welcher Wert für die Views aus der Grafik abgelesen wird.
Ergebnisse zwischen $93~\%$ und $104~\%$ Zunahme sind korrekt.
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Lies im Graphen die Anzahl der Views nach 20 Wochen ab.
Bestimme die Anzahl der Views nach 20 Wochen mit der Funktionsgleichung $f(x)$ .
Berechne die prozentuale Abweichung der beiden Werte.

$\displaystyle f\left(9\right)$	$=$	$\displaystyle 20\cdot1{,}25^x$
	$=$	$\displaystyle 20\cdot1{,}25^9$
	$=$	$\displaystyle 149{,}011...$
	↓	Runden
	$≈$	$\displaystyle 149{,}01$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 20\cdot1{,}25^x$
	↓	Setze $100$ ein für den Funktionswert
$\displaystyle 100$	$=$	$\displaystyle 20\cdot1{,}25^x$	$\displaystyle :20$
	↓	Stelle die Gleichung um
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle 1{,}25^x$	$\displaystyle \log_{1{,}25}\left(\right)$
	↓	Wende den Logarithmus auf beiden Seiten an.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 7{,}212...$
	$≈$	$\displaystyle 7{,}21$

$\displaystyle f\left(-2\right)$	$=$	$\displaystyle 20\cdot1{,}25^{-2}$
	$=$	$\displaystyle 12{,}8$

Aufgabe 4

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