Aufgaben zur Normalverteilung - lernen mit Serlo!

Nach einer gängigen Definition gilt ein Haushalt als arm, wenn er über weniger als 50% des bundesweiten Durchschnittseinkommens verfügt.

Wie viel Prozent aller Haushalte gelten als arm, wenn der bundesweite Durchschnitt 3000€ beträgt und die Standardabweichung 1600€?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
Das Einkommen ist annähernd normalverteilt mit Erwartungswert $μ = 3000$ und Standardabweichung $σ = 1600$ . Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Einkommen weniger als 1500€ beträgt, also $P (X \leq 1500)$ .
$P (X \leq k)$ $=$ $Φ (\frac{k - μ}{σ})$
↓
Setz die Werte ein.
$P (X \leq 1500)$ $\approx$ $Φ (\frac{1500 - 3000}{1600})$
↓
Vereinfache.
$\approx$ $Φ (- 0,9375)$
$\approx$ $1 - Φ (0,9375)$
↓
Lies den Wert im Tafelwerk der Stochastik ab.
$\approx$ $1 - 0,8264$
$=$ $0,1736$
Es gelten also etwa 17,36% aller Haushalte als arm.
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Wie hoch ist mindestens das Einkommen der wohlhabendsten 5% Haushalte, wenn das Durchschnittseinkommen 2500€ und die Standardabweichung 1000€ beträgt?

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$P (e \leq X)$	$=$	$0,05$
	↓	Nutze die Symmetrie der Verteilungsfunktion.
$1 - P (X \leq e)$	$=$	$0,05$
	↓	Nähere mit der Normalverteilung an.
$1 - Φ (\frac{e - μ}{σ})$	$=$	$0,05$
	↓	Setz die Werte ein.
$1 - Φ (\frac{e - 2500}{1000})$	$=$	$0,05$	$- 1 \cdot (- 1)$
	↓	Forme um.
$Φ (\frac{e - 2500}{1000})$	$=$	$0,95$	$Φ^{- 1}$
	↓	Wende die Inverse der Verteilungsfunktion an.
$\frac{e - 2500}{1000}$	$=$	$Φ^{- 1} (0,95)$	$\cdot 1000 + 2500$
	↓	Forme nach $e$ um.
$e$	$=$	$1000 \cdot Φ^{- 1} (0,95) + 2500$
	↓	Lies den Wert im Tafelwerk der Stochastik ab.
$e$	$=$	$1000 \cdot 1,645 + 2500$
$e$	$=$	$4145$

$P (X \leq k)$	$=$	$Φ (\frac{k - μ}{σ})$
	↓	Setz die Werte ein.
$P (X \leq 1500)$	$\approx$	$Φ (\frac{1500 - 3000}{1600})$
	↓	Vereinfache.
	$\approx$	$Φ (- 0,9375)$
	$\approx$	$1 - Φ (0,9375)$
	↓	Lies den Wert im Tafelwerk der Stochastik ab.
	$\approx$	$1 - 0,8264$
	$=$	$0,1736$

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