Nach einer gängigen Definition gilt ein Haushalt als arm, wenn er über weniger als 50% des bundesweiten Durchschnittseinkommens verfügt.

Zu text-exercise-group 29721:
pajbo 2020-05-03 09:59:54+0200
Die Lösungen sind leider falsch. Es handelt sich um eine Normalverteilung, damit ist das Korrekturglied in der Klammer (+0,5) nicht notwendig. Dieses wird nur benötigt, wenn eine Binomialverteilung als Normalverteilt angenommen wird.
MarK97 2020-05-03 10:36:42+0200
Hey pajbo,
vielen Dank für deinen Kommentar. Du hast Recht, das war ein Fehler, ich habe das gleich mal ausgebessert. Soweit ich das sehe ändert das am Endergebnis dann aber nichts, wenn man den Wert aus dem Tafelwerk abliest, oder? Ganz sicher bin ich nicht, sag mir also gerne Bescheid, falls ich da falsch liege. ;)
LG Mark
pajbo 2020-05-03 12:14:19+0200
Danke Mark für die schnelle Hilfe :)
LG Paul
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Wie viel Prozent aller Haushalte gelten als arm, wenn der bundesweite Durchschnitt 3000€ beträgt und die Standardabweichung 1600€?

Das Einkommen ist annähernd normalverteilt mit Erwartungswert μ=3000μ=3000 und Standardabweichung σ=1600σ=1600. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Einkommen weniger als 1500€ beträgt, also P(X1500)P(X≤1500).
P(Xk)Φ(kμσ)\displaystyle P(X≤k)≈Φ\left(\frac{k−μ}σ\right)
Setz die Werte ein.
P(X1500)Φ(150030001600)\displaystyle P(X\leq 1500)\approx\Phi\left(\frac{1500-3000}{1600}\right)
Vereinfache.
=Φ(0,9375)=1Φ(0,9375)=\Phi(-0,9375)=1-\Phi(0,9375)
Lies den Wert im Tafelwerk der Stochastik ab.
10,8264=0,1736\approx 1-0,8264=0,1736
Es gelten also etwa 17,36% aller Haushalte als arm.

Wie hoch ist mindestens das Einkommen der wohlhabendsten 5% Haushalte, wenn das Durchschnittseinkommen 2500€ und die Standardabweichung 1000€ beträgt?

Das Einkommen ist annähernd normalverteilt mit Erwartungswert μ=2500μ=2500 und Standardabweichung σ=1000σ=1000. Das Einkommen wird in dieser Aufgabe mit e abgekürzt. Gesucht ist das Einkommen (e), welches nur 5% der Haushalte mindestens verdienen, also P(eX)=0,05P(e\le X)=0,05.
P(eX)=0,05P(e\leq X)=0,05
1P(Xe)=0,051-P(X\leq e)\displaystyle=0,05
Nähere mit der Normalverteilung an.
1Φ(eμσ)=0,05\displaystyle1-\Phi\left(\frac{e-\mu}{\sigma}\right)=0,05
Setz die Werte ein.
1Φ(e25001000)=0,05\displaystyle 1-\Phi\left(\frac{e-2500}{1000}\right)=0,05
1\displaystyle\left| -1\right.
(1)\left|\cdot(-1)\right.
Forme um.
Φ(e25001000)=0,95\displaystyle\Phi\left(\frac{e-2500}{1000}\right)=0,95
Φ1\left|\Phi^{-1}\right.
Wende die Inverse der Verteilungsfunktion an.
e25001000=Φ1(0,95)\displaystyle\frac{e-2500}{1000}{=}\Phi^{-1}(0,95)
1000\left|\cdot1000\right.+2500\\ \left|+2500\right.
Forme nach ee um.
e=1000Φ1(0,95)+2500\displaystyle e=1000\cdot\Phi^{-1}(0,95)+2500
Lies den Wert im Tafelwerk der Stochastik ab.
e10001,645+2500=4145\displaystyle e\approx1000\cdot1,645+2500=4145
Ein Haushalt ist also wohlhabend, wenn er mindestens ein Einkommen von etwa 41454145€ hat.