Aufgaben zum Erwartungswert - lernen mit Serlo!

Auf einem Jahrmarkt gibt es einen Stand mit Losen. In einer Lostrommel befinden sich 10 Lose, unter denen 6 Gewinnlose und 4 Nieten sind. Berechne für 5-maliges Ziehen eines Loses, wobei die Lose nicht zurückgelegt werden, den Erwartungswert für

die Zufallsgröße $X$ : "Anzahl der Gewinnlose"
die Zufallsgröße $Y$ : "Anzahl der Nieten"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert bestimmen

Teilaufgabe 1

$X$ : Anzahl der Gewinnlose unter den 5 gezogenen Losen.

Gesucht: Erwartungswert $E(X)$

Für den Erwartungswert einer (diskreten) Zufallgröße gibt es eine Formel, bei der

alle vorkommenden Werte von $X$ jeweils mit ihrer Wahrscheinlichkeit multipliziert werden,
und dann alle diese Produkte addiert werden.

Das heißt: Du brauchst jetzt als erstes die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ .

Überlege dir dazu zunächst das richtige Modell für diese Aufgabe, d. h.:

mit oder ohne Zurücklegen?
mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge?

Urnenmodell für diese Aufgabe:

Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 6 Kugeln schwarz sind (bzw. 6 Lose Gewinnlose sind).

Wenn du jetzt das richtige Modell gefunden hast, kannst du die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen:

Für das Modell "Ziehen von n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit S schwarzen und N-S weißen Kugeln" gilt die Formel der hypergeometrischen Verteilung:

\displaystyle P(X=k)=\frac{\begin{pmatrix}S\\k\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}N-S\\n-k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}

für die Wahrscheinlichkeit, genau k schwarze Kugeln zu erhalten.

Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten

$P(X=0)=\frac{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{1\cdot 0}{252}=0$

$P(X=1)=\frac{\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{6\cdot 1}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$

$P(X=2)=\frac{\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{15\cdot 4}{252}=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}$

$P(X=3)=\frac{\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{20\cdot 6}{252}=\frac{120}{252}=\frac{10}{21}$

$P(X=4)=\frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{15\cdot 4}{252}=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}$

$P(X=5)=\frac{\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{6\cdot 1}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$

Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:

k	0	1	2	3	4	5
P(X=k)	0	$\frac{6}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{120}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{6}{252}$

Der Erwartungswert ist also: $E(X)=0+1\cdot\frac{6}{252}+2\cdot\frac{60}{252}+3\cdot\frac{120}{252}+4\cdot\frac{60}{252}+5\cdot\frac{6}{252}=\frac{756}{252}=3$

Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 3 Gewinnlose unter den 5 Losen zieht.

Teilaufgabe 2

$Y$ : Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen.

Gesucht: Erwartungswert $E(Y)$

Möglichkeit 1:

Wenn du Teilaufgabe 1 bereits gelöst hast, kannst du den Erwartungswert $E(Y)$ sehr schnell so bestimmen:

$E(Y)=?$

Da $X$ die Anzahl der Gewinnlose und $Y$ die Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen ist, muss $X+Y$ stets gleich 5 sein.

Entsprechend gilt das auch für die Erwartungswerte.

$E(X)+E(Y) =5$

Diese Gleichung kannst du nun ganz einfach nach $E(Y)$ umstellen,

$E(Y) =5-E(X)$

und dann $E(X)= 3$ einsetzen.

$E(Y) =5-3=2$

Möglichkeit 2:

Zur Kontrolle - oder wenn du Teilaufgabe 1 nicht verwenden willst - kannst du das Ergebnis auch noch einmal unabhängig vom Ergebnis von Teilaufgabe 1 ausrechnen. Das geht nach der gleichen Methode wie die Rechnung bei Teilaufgabe 1:

$Y$ : Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen.

Gesucht: Erwartungswert $E(Y)$

Damit hast du festgelegt, was $Y$ ist,

und brauchst für die Berechnung des Erwartungswertes von $Y$ jetzt wiederum die Formel für den Erwartungswert

$E(Z)= \sum^{n}_{i=1} z_i \cdot P(Z=z_i)$

und dazu die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ .

Überlege dir dazu wieder das geeignete Modell.

Urnenmodell für diese Aufgabe:

Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 4 Kugeln schwarz sind (bzw. 4 Lose Nieten sind).

Das ist ganz entsprechend wie bei Teilaufgabe 1.

Verwende nun wieder (genauso wie bei Teilaufgabe 1), dass für das Modell "Ziehen von n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit S schwarzen und N-S weißen Kugeln"

die Formel der hypergeometrischen Verteilung gilt:

\displaystyle P(X=k)=\frac{\begin{pmatrix}S\\k\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}N-S\\n-k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}

Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten.

$P(Y=0)=\frac{\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{1\cdot 6}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$

$P(Y=1)=\frac{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{4\cdot 15}{252}=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}$

$P(Y=2)=\frac{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{6\cdot 20}{252}=\frac{120}{252}=\frac{10}{21}$

$P(Y=3)=\frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{4\cdot 15}{252}=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}$

$P(Y=4)=\frac{\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{1\cdot 6}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$

$P(Y=5)=\frac{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{0\cdot 1}{252}=0$

Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:

k	0	1	2	3	4	5
P(Y=k)	$\frac{6}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{120}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{6}{252}$	0

Der Erwartungswert ist also: $E(Y)=0+1\cdot\frac{60}{252}+2\cdot\frac{120}{252}+3\cdot\frac{60}{252}+4\cdot\frac{6}{252}+5\cdot0=2$

Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 2 Nieten unter den 5 Losen erhält.

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