Einem Paket mit Gläsern werden 4 Gläser entnommen. Es soll geprüft werden wie viele Gläser schadhaft sind. Man weiß, dass 85% der Gläser eines Paketes in Ordnung sind. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X:"Anzahl der ganzen Gläser unter den entnommenen 4 Gläsern".
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zufallsgrößen
Wenn du die Binomialverteilung kennst, kannst sie du direkt mit n=4, p=0,85 und k von 0 bis 4 verwenden.
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der ganzen Gläser unter den 4 gezogenen Gläsern, X kann also den Wert 0,1,2,3 und 4 annehmen. Die Gläser werden nicht unterschieden. Ein Glas ist mit der Wahrscheinlichkeit p=0,85 ganz. Die Wahrscheinlichkeit P(X=k) berechnet sich mit der Formel: pk(1−p)4−k.
Diese Zahl muss noch mit der Anzahl der Möglichkeiten multipliziert werden. Z. B. kann ein defektes Glas als 1. Glas, als 2. Glas, als 3. Glas oder als 4. Glas gezogen werden, es gibt also hier 4 Möglichkeiten.
Allgemein könnte man die Anzahl der Möglichkeiten k kaputte Gläser aus n gezogenen Gläsern mit dem Binomialkoeffizient (kn) berechnen.
P(X=4)=(44)⋅0,854⋅0,150=1⋅0,854⋅0,150≈0,5220
P(X=3)=(34)⋅0,853⋅0,151=4⋅0,853⋅0,151≈0,3685
P(X=2)=(24)⋅0,852⋅0,152=6⋅0,852⋅0,152≈0,0975
P(X=1)=(14)⋅0,851⋅0,153=4⋅0,851⋅0,153≈0,0115
P(X=0)=(04)⋅0,850⋅0,154=1⋅0,850⋅0,154≈0,0005
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X sieht also so aus:
k
0
1
2
3
4
P(X=k)
0,0005
0,0115
0,0975
0,3685
0,5220
Überlege dir für jeden Fall (0, 1, 2, 3 oder 4 kaputte Gläser):
Die Wahrscheinlichkeit, genau so viele kaputte und nicht-kaputte Gläser zu ziehen
Die Anzahl der Reihenfolgen, in denen man diese kaputten Gläser ziehen könnte
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