Prüfungsteil 2 2023 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3: Zahlenpaare

Merle hat Spaß an Zahlen und ist immer auf der Suche nach Tricks, um den Rechenaufwand einer Aufgabe zu verringern. Bei der Addition der Zahlen von 1 bis 10 bemerkt sie:

„Die beiden Zahlen 1 und 10 ergeben zusammen 11, ebenso wie die beiden Zahlen 2 und 9, die Zahlen 3 und 8 usw. Da ich so fünf Zahlenpaare jeweils mit dem Wert 11 bilden kann, muss ich nur $5 \cdot 11$ rechnen und erhalte das Ergebnis 55.“ (Abbildung 1)

Abbildung 1: Rechentrick für die Addition der Zahlen von 1 bis 10

Merle verwendet den Trick für aufwendigere Additionen. Damit die Rechnungen übersichtlich bleiben, ersetzt sie fehlende Summanden durch Pünktchen. In Abbildung 2 ist Merles Berechnung für die Summe der Zahlen von 1 bis 30 dargestellt.

Abbildung 2: Addition der Zahlen von 1 bis 30

Begründe, dass in den Kästchen die Zahlen 15 bzw. 31 stehen müssen. (2 P)
Begründung
Die Anzahl der Zahlen, die addiert werden, beträgt 30. Dieser Wert wird durch 2 dividiert:
Es gibt also $15$ Zahlenpaare. An der ersten Stelle muss deshalb $\boxed{15}$ eingesetzt werden.
Ermittlung des Werts des ersten Zahlenpaares.
Der Wert jedes Zahlenpaares ist also $31$ . An der zweiten Stelle muss deshalb $\boxed{31}$ eingesetzt werden.
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Ermittle, wie viele Zahlen addiert werden sollen und wie viele Zahlenpaare den gleichen Wert ergeben.
Die Anzahl der Zahlenpaare teilst du durch 2.
Bilde die Summe der Zahlenpaare.

Merle findet einen allgemeinen Term, um die Summe der Zahlen von 1 bis $n$ zu berechnen.

Sie notiert $\frac{1}{2} n \cdot(n+1)$ .

(1) Berechne mit dem Term den Wert der Summe für $n=40$ . (2 P)

(2) Erläutere die Bedeutung der Faktoren $\frac{1}{2} n$ und $(n+1)$ im Zusammenhang mit dem Rechentrick. (2 P)

Merles Freund Silas nutzt ebenfalls den Term und notiert dafür $24 \cdot 48=1152$ .
Begründe, warum diese Rechnung nicht zu dem Rechentrick passen kann. (2 P)
Begründung
Der erste Faktor des Terms ist $\frac{1}{2}n$
Ermittlung von $n$ durch Gleichsetzen mit 24:
$\displaystyle \frac{1}{2}n$ $=$ $\displaystyle 24$ $\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle n$ $=$ $\displaystyle 48$
Einsetzen des gefundenen Wertes für $n$ in den zweiten Faktor des Terms.
$\displaystyle (n+1)$
↓
Einstzen von 48 für n
$=$ $\displaystyle (48+1)$
$=$ $\displaystyle 49$
Vergleich des gefundenen Wertes mit dem Wert von Silas:
$49 \ne 48$
Die Werte von Silas stimmen deshalb nicht.
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Nimm den ersten Faktor des Terms.
Ermittle daraus den Wert für $n$ .
Setze den gefundenen Wert in den zweiten Faktor des Terms ein.
Vergleiche das Ergebnis mit 48.

Merle formt den Term um und erhält $\frac{1}{2} n^{2}+\frac{1}{2} n$ .

Berechne den Wert der Summe für $n=100$ mit diesem vereinfachten Term. (2 P)

(1) Berechne die beiden Lösungen der Gleichung $\frac{1}{2} n^{2}+\frac{1}{2} n=2080$ . (4 P)

(2) Erkläre, warum nur eine Lösung für den Kontext sinnvoll ist. (2 P)

„Bei meinem Rechentrick muss man die Summanden paarweise zusammenfassen. Daher nehme ich an, dass meine Formel für ungerade Zahlen nicht gilt“, meint Merle.

Silas hat eine Idee: „Wenn $u$ eine ungerade Zahl ist, dann ist $u-1$ eine gerade Zahl. Für gerade Zahlen kann ich Merles Formel nutzen und anschließend die fehlende Zahl addieren.“

Zeige mit Silas Idee, dass für ungerade Zahlen der $\operatorname{Term} \frac{1}{2}(u-1) \cdot u+u$ gilt. (3 P)

	$\displaystyle \frac{1}{2}n\cdot(n+1)$
	↓ Einsetzen von 40 für $n$
$=$	$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot (40 + 1)$
$=$	$\displaystyle 40 \cdot 41 : 2$
$=$	$\displaystyle 820$

	$\displaystyle \frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n$
	↓ Einsetzen von $n = 100$
$=$	$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 100^2 + \frac{1}{2} \cdot 100$
$=$	$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 10000 + \frac{1}{2} \cdot 100$
$=$	$\displaystyle 5000 + 50$
$=$	$\displaystyle 5050$

$\displaystyle \frac{1}{2}n^2 +\frac{1}{2}n$	$=$	$\displaystyle 2080$	$\displaystyle -2080$
$\displaystyle \frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n - 2080$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle n^2 + n - 4160$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Anwendung der pq-Formel
$\displaystyle n_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 4160}$
$\displaystyle n_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -0{,}5 \pm \sqrt{4160{,}25}$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Wurzel berechnen
$\displaystyle n_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -0{,}5 \pm 64{,}5$
$\displaystyle n_1$	$=$	$\displaystyle -0{,}5 + 64{,}5$
$\displaystyle n_1$	$=$	$\displaystyle 64$
$\displaystyle n_2$	$=$	$\displaystyle -0{,}5 - 64{,}5$
$\displaystyle n_2$	$=$	$\displaystyle -65$

	$\displaystyle \frac{1}{2} (u-1) \cdot u + u$
	↓ Klammer auflösen
$=$	$\displaystyle \frac{1}{2} u^2 - \frac{1}{2}u + u$
$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}u^2+\frac{1}{2}u$

Aufgabe 3: Zahlenpaare

Begründung

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Berechnung mit $n=40$

Erläuterung der Faktoren

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Begründung

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Term verwenden und $n=100$ einsetzen

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Lösung berechnen

Erklärung

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$\displaystyle \frac{1}{2}n$	$=$	$\displaystyle 24$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle n$	$=$	$\displaystyle 48$

	$\displaystyle (n+1)$
	↓ Einstzen von 48 für n
$=$	$\displaystyle (48+1)$
$=$	$\displaystyle 49$

Aufgabe 3: Zahlenpaare

Begründung

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Berechnung mit n=40n=40n=40

Erläuterung der Faktoren

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Term verwenden und n=100n=100n=100 einsetzen

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Berechnung mit $n=40$

Term verwenden und $n=100$ einsetzen