Prüfungsteil 2 2023

Aufgabe 1: Herzlich willkommen

Abbildung: geometrische Form eines Herzens

Eine Firma produziert herzförmige Dekoanhänger aus Metall. Jedes Herz besteht aus einem Quadrat mit der Kantenlänge $6 \mathrm{~cm}$ , an das zwei Halbkreise mit einem Radius von jeweils $3 \mathrm{~cm}$ angesetzt sind (Abbildung).

Zeichne ein Herz in Originalgröße in dein Heft. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Schritt 1: Zeichne das Quadrat
Zeichne zuerst die senkrechte Linie.
Berechne dazu die Länge der Strecke zwischen oberer und unterer Ecke.
Hierfür verwenden wir den Satz des Pythagoras:
Der Mittelpunkt der Strecke liegt bei $8{,}5:2=\color{green}4{,}25~\text{cm}$ .
Zeichne die waagerechte Linie mit $4{,}25~\text{cm}$ in jede Richtung.
Zuletzt verbinden wir die Eckpunkte und erhalten so unser Quadrat mit einer Seitenlänge von $6~\text{cm}$ .
Schritt 2: Ergänze die beiden Halbkreise
Setze hierfür in den Mittelpunkt der beiden oberen Seiten deinen Zirkel mit dem Radius $3~\text{cm}$ an und zeichne jeweils einen Halbkreis.
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Zeichne erst das Quadrat. Berechne hierfür die Diagonale mit dem Satz des Pythagoras.
Ergänze die beiden Halbkreise an den oberen Seiten.
Die Herzen werden aus dünnen Metallblechen hergestellt. $1 \mathrm{dm}^{2}$ des Metallblechs wiegt $117 \mathrm{~g}$ .
Berechne das Gewicht eines Herzens. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren
Skizze Herz
Umrechnen der Einheiten
$r=3~\text{cm}=0{,}3~\text{dm}\\a=6~\text{cm}=0{,}6~\text{dm}$
Berechnung der Gesamtfläche
$\color{red}A_{Quadrat}\color{black}=0{,}6\cdot 0{,}6 = 0{,}36$
$\color{green}A_{Halbkreis}\color{black}= \dfrac{1}{2}\cdot \pi\cdot 0{,}3$ $^2=0{,}14$
$A_{Gesamt}=\color{red}A_{Quadrat}\color{black}+2\cdot \color{green}A_{Halbkreis}\color{black}=0{,}36+2\cdot 0{,}14=0{,}64$
Das Herz hat also eine Gesamtfläche von $\color{blue}0{,}64~\text{dm}^2$ .
Berechnung des Gesamtgewichts
Wir wissen, dass $1~\text{dm}^2$ $117~\text{g}$ wiegt. Daher gilt:

$\text{Gesamtgewicht}=117\cdot \color{Blue}0{,}64\color{black}=74{,}88$
Ein Herz wiegt also $74{,}88~g$
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Rechne die Längen in dm um.
Berechne die Gesamtfläche des Herzes. Unterteile hierfür das Herz in drei verschiedene Formen (Quadrat und zwei Halbkreise).
Du kennst das Gewicht für $1~\text{dm}^2$ .
Berechne mithilfe der Gesamtfläche das gesamte Gewicht eines Herzens.
Skizze zur Berechnung der Breite $b$ und der Höhe $h$
Um die Breite $b$ und die Höhe $h$ eines Herzens zu bestimmen, wird eine Skizze angefertigt. Hier gilt: Die Strecke $\overline{A B}$ entspricht der Breite $b . ~\overline{A B}$ geht durch die Mittelpunkte $M_{1}$ und $M_{2}$ der angesetzten Halbkreise.
Berechne die Breite $b$ eines Herzens. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Formel für die Breite $b$
$b$ = $\overline{AM_1} + \overline{M_1M_2} + \overline{M_2B}$
$\overline{AM_1}$ und $\overline{M_2B}$ kennen wir bereits: Es handelt sich dabei um den Radius der Halbkreise.
Berechnung von $\overline{M_1M_2}$
Skizze Dreieck
Uns fällt auf, dass es sich bei $\bigtriangleup M_1M_2C$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Auch hier kennen wir bereits die Strecken $\overline{CM_1}$ und $\overline{M_2C}$ . Es handelt sich wieder um den Radius.
Betrachtet man das Dreieck, handelt es sich bei $\overline{M_1M_2}$ und die Hypotenuse.
Nach Satz des Pythagoras gilt:
$\color{red}\overline{M_1M_2}$ $^2 = \overline{CM_1}$ $^2+\overline{M_2C}$ $^2\\$
$\color{red}\overline{M_1M_2}$ $^2 = 3^2+3^2$
$\color{red}\overline{M_1M_2} \color{black}= \sqrt{18}$
$\color{red}\overline{M_1M_2}\color{black}\approx4{,}24$
Gesamte Breite b
Wir setzten unsere Ergebnisse jetzt einfach in unsere Formel aus dem ersten Schritt und erhalten:
$b=3+3+4{,}24=10{,}24$
Das Herz hat also eine Breite von $10{,}24 ~\text{cm}$ .
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Skizziere dir die Breite.
Untersuche, aus welchen Teilstrecken sie besteht.
Berechne die Strecke $\overline{M_1M_2}$ .
Addiere nun alle Längen, die für die Breite des Herzes nötig sind.
Mithilfe der Abbildung in (c) kann die Höhe $h$ der Herzen berechnet werden.
(1) Berechne die Länge der Strecke $\overline{D E}$ . (3 P)
(2) Begründe, dass für die Höhe $h$ der Herzen gilt: $h=|D E|+3$ . (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Gesamtlänge $\overline{CE}$
Dafür verwenden wir den Satz des Pythagoras, die Strecke $\overline{CE}$ ist dabei die Hypotenuse:
$\overline{CE}^2=6^2+6^2\\\overline{CE}=\sqrt{72}\\\overline{CE}=8{,}49$
Länge der Teilstrecke $\overline{CD}$
Wir wissen, dass es sich bei $\triangle M_1M_2C$ um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, da die beiden Schenkeln dem Radius 3 cm entsprechen.
Somit ist auch $\triangle M_1DC$ ein gleichschenkliges Dreieck.
Daraus folgt, dass:
Länge der Strecke $\overline{DE}$
$\overline{DE}=\overline{CE}-\overline{CD}=8{,}49-2{,}12=6{,}37$
Die Strecke $\overline{DE}$ ist also $6{,}37 ~\text{cm}$ lang.
Begründung der Rechnung (Teil 2)
Wir betrachten die Punkte $M_1$ und $D$ und bemerken, dass sich diese auf derselben Höhe befinden.
Somit hätte auch die Strecke vom Punkt D zur gestrichelten Linie dieselbe Länge wie der Radius des Kreise (was der Strecke von $M_1$ zur gestrichelten Linie entspricht), also 3 cm.
Also lässt sich die gesamte Höhe $h$ des Herzes wie folgt berechnen:
$h=\overline{DE}+3$
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Zu Teilaufgabe (1)
Berechne die Länge der Strecke $\overline{CE}$ mit dem Satz des Pythagoras.
Berechne die Länge der Strecke $\overline{CD}.$ Nutze deine Ergebnisse aus c.
Berechne die Länge der Strecke $\overline{DE}$ , indem du die Teilstrecke $\overline{CD}$ von der Gesamtstrecke $\overline{CE}$ subtrahierst.
Zu Teilaufgabe (2)
Sieh dir die Skizze an und untersuche, was hinter den Bezeichnungen $h$ und $\overline{DE}$ steckt.
Untersuche, woher die 3 in der Rechnung kommt.

Die Herzen werden in den Farben rot und weiß produziert und farblich gemischt in Kartons verpackt. Beim Fabrikverkauf werden die Herzen angeboten. Die Kunden dürfen ohne hinzusehen nacheinander zwei Herzen aus dem Karton ziehen. Zu diesem Zufallsversuch gehört das folgende Baumdiagramm.

In einem Karton sind 15 Herzen rot, die restlichen Herzen sind weiß.

Begründe, dass sich in dem Karton insgesamt 20 Herzen befinden. (2 P)

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedenfarbige Herzen gezogen werden.

(1) Ergänze im Baumdiagramm die dafür notwendigen Wahrscheinlichkeiten. (2 P)

(2) Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit. (2 P)

2

Aufgabe 2: Varroa-Milbe

Abbildung 1: Varroa-Milbe (vergrößert) Quelle: https://www.mikroskopieforum.de/index.php?topic=16864.0 (verändert)

Die Varroa-Milbe ist ein Schädling, der in jedem Bienenvolk lebt. Die Schülerinnen und Schüler der Bienen-AG untersuchen die Milbe mit einem Mikroskop.

Berechne die Länge und Breite der Milbe durch Messen der Pfeillängen und Anwenden des Maßstabs (Abbildung 1). (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
Pfeillängen
Miss die Pfeillängen, die die Länge und Breite der Milbe in der Zeichnung markieren:
Länge (Zeichnung): $63~\text{mm}$
Breite (Zeichnung): $48~\text{mm}$
Maßstab
Bestimme den Maßstab, in dem du misst, wie viel mm die angegebenen 0,5 mm in der Zeichnung entsprechen.
$0{,}5~\text{mm (in echt)}~\hat{=}~15~\text{mm (in der Zeichnung)}$
Umrechnung
Rechne die Pfeillängen mithilfe des Maßstabs um.
Länge (Zeichnung): $63~\text{mm}:15\cdot 0{,}5~\hat{=}~2{,}1~\text{mm}$ (in echt)
Breite (Zeichnung): $48~\text{mm}:15\cdot 0{,}5~\hat{=}~1{,}6~\text{mm}$ (in echt)
$\rightarrow$ Die Milbe hat eine Länge von $2{,}1~\text{mm}$ und eine Breite von $1{,}6~\text{mm}$ .
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Bestimme die Pfeillängen, die die Länge und die Breite der Milbe in der Zeichnung markieren.
Bestimme den Maßstab: Wieviel mm entsprechen die angegebenen $0{,}5$ mm in der Zeichnung?
(Für diese beiden Schritte kannst du das GeoGebra Applet nutzen.)
Rechne die Pfeillängen mithilfe des Maßstabs um.
Im Frühjahr ermitteln sie die Anzahl der Milben im Bienenvolk.
Im Internet finden sie die Faustregel, dass sich die Anzahl der Milben alle vier Wochen etwa verdoppelt. Sie kalkulieren die voraussichtliche Anzahl der Milben für die kommenden vier und acht Wochen. Die Werte halten sie in einer Tabelle fest.
Ergänze die fehlenden Werte in der Tabelle. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Tabelle vervollständigen
Die Anzahl der Milben verdoppelt sich alle 4 Wochen. Nach 4 Wochen ist die Anzahl der Milben das doppelte des Ausgangswertes, also: $\mathrm{308 \cdot 2=616 \ Milben}$
Die Anzahl Milben nach 8 Wochen ist doppelt so groß, wie die Anzahl nach 4 Wochen. Der Wert nach 8 Wochen ist somit: $\mathrm{616\cdot2=1232 \ Milben}$
Trage die Werte in die Tabelle ein.
Wert 1
Wert 2
Wert 3
Zeit in Wochen
0
4
8
Anzahl der Milben
308
616
1232
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Berechne zunächst die Anzahl Milben nach 4 Wochen.
Nutze die Anzahl Milben nach 4 Wochen, um die Anzahl nach 8 Wochen zu berechnen.
Um die Entwicklung der Milben pro Woche vorauszusagen, beschreiben sie die Anzahl der Milben mit der folgenden Exponentialfunktion $f$ :
$f(x)=308 \cdot 1{,}19^{x} \quad x \text { ist die Zeit in Wochen, } x=0 \text { ist der Beobachtungsbeginn }$
Gib die Bedeutung der Werte 308 und 1,19 im Zusammenhang an. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Bedeutung im Sachzusammenhang
Den Wert $308$ nimmt die Funktion zum Zeitpunkt $x=0$ an, er ist also der Anfangswert.
Der Wert $1{,}19$ ist der Wachstumsfaktor. Er ist der Faktor, um den sich die Zahl der Milben innerhalb einer Woche vermehrt.
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Untersuche den Funktionsterm:
Der Faktor $308$ hat eine Bedeutung für den Beobachtungsbeginn $x=0$ .
Die Basis $1{,}19$ haben mit der Entwicklung zu tun.
Bestätige mithilfe der Funktionsgleichung, dass nach 12 Wochen ca. 2500 Milben vorhanden sind. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Anzahl der Milben nach 12 Wochen
Da in der Funktionsgleichung das x für die Anzahl an Wochen steht, musst du für das x die 12 einsetzen und erhältst:
Nach 12 Wochen sind somit etwa 2482 Milben vorhanden, also fast 2500.
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Setze die gegebene Wochenzahl in die Funktionsgleichung ein.
Vergleiche dein Ergebnis mit dem gegebenen Wert.

	Wert 1	Wert 2	Wert 3
Zeit in Wochen	0	4	8
Anzahl der Milben	308	616	1232

Bei einer Anzahl von ca. 10000 Milben würde das Bienenvolk so großen Schaden nehmen, dass es nicht überleben kann.

Bestimme, nach wie vielen Wochen die Anzahl von 10000 Milben überschritten wird. (3 P)

Damit das Bienenvolk überlebt, wird nach 12 Wochen Ameisensäure eingesetzt. Dadurch wird die Anzahl von ca. 2500 Milben einmalig um $90 \%$ reduziert.

Weise nach, dass durch die Behandlung mit der Ameisensäure die Anzahl von 10000 Milben 21 Wochen nach Beobachtungsbeginn nicht überschritten wird. (3 P)

3

Aufgabe 3: Zahlenpaare

Merle hat Spaß an Zahlen und ist immer auf der Suche nach Tricks, um den Rechenaufwand einer Aufgabe zu verringern. Bei der Addition der Zahlen von 1 bis 10 bemerkt sie:

„Die beiden Zahlen 1 und 10 ergeben zusammen 11, ebenso wie die beiden Zahlen 2 und 9, die Zahlen 3 und 8 usw. Da ich so fünf Zahlenpaare jeweils mit dem Wert 11 bilden kann, muss ich nur $5 \cdot 11$ rechnen und erhalte das Ergebnis 55.“ (Abbildung 1)

Abbildung 1: Rechentrick für die Addition der Zahlen von 1 bis 10

Merle verwendet den Trick für aufwendigere Additionen. Damit die Rechnungen übersichtlich bleiben, ersetzt sie fehlende Summanden durch Pünktchen. In Abbildung 2 ist Merles Berechnung für die Summe der Zahlen von 1 bis 30 dargestellt.

Abbildung 2: Addition der Zahlen von 1 bis 30

Begründe, dass in den Kästchen die Zahlen 15 bzw. 31 stehen müssen. (2 P)
Begründung
Die Anzahl der Zahlen, die addiert werden, beträgt 30. Dieser Wert wird durch 2 dividiert:
Es gibt also $15$ Zahlenpaare. An der ersten Stelle muss deshalb $\boxed{15}$ eingesetzt werden.
Ermittlung des Werts des ersten Zahlenpaares.
Der Wert jedes Zahlenpaares ist also $31$ . An der zweiten Stelle muss deshalb $\boxed{31}$ eingesetzt werden.
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Ermittle, wie viele Zahlen addiert werden sollen und wie viele Zahlenpaare den gleichen Wert ergeben.
Die Anzahl der Zahlenpaare teilst du durch 2.
Bilde die Summe der Zahlenpaare.

Merle findet einen allgemeinen Term, um die Summe der Zahlen von 1 bis $n$ zu berechnen.

Sie notiert $\frac{1}{2} n \cdot(n+1)$ .

(1) Berechne mit dem Term den Wert der Summe für $n=40$ . (2 P)

(2) Erläutere die Bedeutung der Faktoren $\frac{1}{2} n$ und $(n+1)$ im Zusammenhang mit dem Rechentrick. (2 P)

Merles Freund Silas nutzt ebenfalls den Term und notiert dafür $24 \cdot 48=1152$ .
Begründe, warum diese Rechnung nicht zu dem Rechentrick passen kann. (2 P)
Begründung
Der erste Faktor des Terms ist $\frac{1}{2}n$
Ermittlung von $n$ durch Gleichsetzen mit 24:
$\displaystyle \frac{1}{2}n$ $=$ $\displaystyle 24$ $\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle n$ $=$ $\displaystyle 48$
Einsetzen des gefundenen Wertes für $n$ in den zweiten Faktor des Terms.
$\displaystyle (n+1)$
↓
Einstzen von 48 für n
$=$ $\displaystyle (48+1)$
$=$ $\displaystyle 49$
Vergleich des gefundenen Wertes mit dem Wert von Silas:
$49 \ne 48$
Die Werte von Silas stimmen deshalb nicht.
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Nimm den ersten Faktor des Terms.
Ermittle daraus den Wert für $n$ .
Setze den gefundenen Wert in den zweiten Faktor des Terms ein.
Vergleiche das Ergebnis mit 48.

Merle formt den Term um und erhält $\frac{1}{2} n^{2}+\frac{1}{2} n$ .

Berechne den Wert der Summe für $n=100$ mit diesem vereinfachten Term. (2 P)

(1) Berechne die beiden Lösungen der Gleichung $\frac{1}{2} n^{2}+\frac{1}{2} n=2080$ . (4 P)

(2) Erkläre, warum nur eine Lösung für den Kontext sinnvoll ist. (2 P)

„Bei meinem Rechentrick muss man die Summanden paarweise zusammenfassen. Daher nehme ich an, dass meine Formel für ungerade Zahlen nicht gilt“, meint Merle.

Silas hat eine Idee: „Wenn $u$ eine ungerade Zahl ist, dann ist $u-1$ eine gerade Zahl. Für gerade Zahlen kann ich Merles Formel nutzen und anschließend die fehlende Zahl addieren.“

Zeige mit Silas Idee, dass für ungerade Zahlen der $\operatorname{Term} \frac{1}{2}(u-1) \cdot u+u$ gilt. (3 P)

$\displaystyle \color{darkorange}15\ \text{Herzen}$	$≙$	$\displaystyle \color{blue}75\ \%$	$\displaystyle :15$
$\displaystyle 1\ \text{Herz}$	$=$	$\displaystyle 5\ \%$	$\displaystyle \cdot20$
$\displaystyle 20\ \text{Herzen}$	$=$	$\displaystyle \color{green}100\ \%$

$\displaystyle p(\text{verschiedenfarbige Herzen})$	$=$	$\displaystyle p(\text{rot,weiß})+p(\text{weiß,rot})$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}\cdot\frac{5}{19}+\frac{1}{4}\cdot\frac{15}{19}$
	$=$	$\displaystyle \frac{15}{38}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 308\cdot1{,}19^x$
	↓	Setze die Anzahl der Milben (10000) für den Funktionswert ein.
$\displaystyle 10000$	$=$	$\displaystyle 308\cdot1{,}19^x$	$\displaystyle :308$
$\displaystyle \frac{10000}{308}$	$=$	$\displaystyle 1{,}19^x$
	↓	Logarithmieren
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_{1{,}19}\left(\frac{10000}{308}\right)$
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle 20{,}00675$

$\displaystyle 2500\ Milben$	$≙$	$\displaystyle 100\%$
$\displaystyle 25\ Milben$	$≙$	$\displaystyle 1\%$
$\displaystyle 250\ Milben$	$≙$	$\displaystyle 10\%$

	$\displaystyle \frac{1}{2}n\cdot(n+1)$
	↓ Einsetzen von 40 für $n$
$=$	$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot (40 + 1)$
$=$	$\displaystyle 40 \cdot 41 : 2$
$=$	$\displaystyle 820$

$\displaystyle \frac{1}{2}n$	$=$	$\displaystyle 24$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle n$	$=$	$\displaystyle 48$

	$\displaystyle (n+1)$
	↓ Einstzen von 48 für n
$=$	$\displaystyle (48+1)$
$=$	$\displaystyle 49$

	$\displaystyle \frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n$
	↓ Einsetzen von $n = 100$
$=$	$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 100^2 + \frac{1}{2} \cdot 100$
$=$	$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 10000 + \frac{1}{2} \cdot 100$
$=$	$\displaystyle 5000 + 50$
$=$	$\displaystyle 5050$

$\displaystyle \frac{1}{2}n^2 +\frac{1}{2}n$	$=$	$\displaystyle 2080$	$\displaystyle -2080$
$\displaystyle \frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n - 2080$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle n^2 + n - 4160$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Anwendung der pq-Formel
$\displaystyle n_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 4160}$
$\displaystyle n_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -0{,}5 \pm \sqrt{4160{,}25}$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Wurzel berechnen
$\displaystyle n_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -0{,}5 \pm 64{,}5$
$\displaystyle n_1$	$=$	$\displaystyle -0{,}5 + 64{,}5$
$\displaystyle n_1$	$=$	$\displaystyle 64$
$\displaystyle n_2$	$=$	$\displaystyle -0{,}5 - 64{,}5$
$\displaystyle n_2$	$=$	$\displaystyle -65$

	$\displaystyle \frac{1}{2} (u-1) \cdot u + u$
	↓ Klammer auflösen
$=$	$\displaystyle \frac{1}{2} u^2 - \frac{1}{2}u + u$
$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}u^2+\frac{1}{2}u$

Prüfungsteil 2 2023

Aufgabe 1: Herzlich willkommen

Schritt 1: Zeichne das Quadrat

Schritt 2: Ergänze die beiden Halbkreise

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Umrechnen der Einheiten

Berechnung der Gesamtfläche

Berechnung des Gesamtgewichts

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Formel für die Breite bbb

Berechnung von M1M2‾\overline{M_1M_2}M1​M2​​

Gesamte Breite b

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Gesamtlänge CE‾\overline{CE}CE

Länge der Teilstrecke CD‾\overline{CD}CD

Länge der Strecke DE‾\overline{DE}DE

Begründung der Rechnung (Teil 2)

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Zu Teilaufgabe (1)

Zu Teilaufgabe (2)

Wir wissen...

Dreisatz anwenden

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Wir zeichnen zunächst das Baumdiagramm:

Nun berechnen wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

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Aufgabe 2: Varroa-Milbe

Pfeillängen

Maßstab

Umrechnung

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Tabelle vervollständigen

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Bedeutung im Sachzusammenhang

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Anzahl der Milben nach 12 Wochen

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Anzahl der Milben nach der Behandlung mit Ameisensäure

Aufstellen der Funktionsgleichung

Berechnen der Milbenanzahl

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Aufgabe 3: Zahlenpaare

Begründung

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Berechnung mit n=40n=40n=40

Erläuterung der Faktoren

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Begründung

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Term verwenden und n=100n=100n=100 einsetzen

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Lösung berechnen

Erklärung

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Term umformen

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Formel für die Breite $b$

Berechnung von $\overline{M_1M_2}$

Gesamtlänge $\overline{CE}$

Länge der Teilstrecke $\overline{CD}$

Länge der Strecke $\overline{DE}$

Berechnung mit $n=40$

Term verwenden und $n=100$ einsetzen