Prüfungsteil 2 2023 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1: Herzlich willkommen

Eine Firma produziert herzförmige Dekoanhänger aus Metall. Jedes Herz besteht aus einem Quadrat mit der Kantenlänge $6 \mathrm{~cm}$ , an das zwei Halbkreise mit einem Radius von jeweils $3 \mathrm{~cm}$ angesetzt sind (Abbildung).

Abbildung: geometrische Form eines Herzens

Zeichne ein Herz in Originalgröße in dein Heft. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Schritt 1: Zeichne das Quadrat
Zeichne zuerst die senkrechte Linie.
Berechne dazu die Länge der Strecke zwischen oberer und unterer Ecke.
Hierfür verwenden wir den Satz des Pythagoras:
Der Mittelpunkt der Strecke liegt bei $8{,}5:2=\color{green}4{,}25~\text{cm}$ .
Zeichne die waagerechte Linie mit $4{,}25~\text{cm}$ in jede Richtung.
Zuletzt verbinden wir die Eckpunkte und erhalten so unser Quadrat mit einer Seitenlänge von $6~\text{cm}$ .
Schritt 2: Ergänze die beiden Halbkreise
Setze hierfür in den Mittelpunkt der beiden oberen Seiten deinen Zirkel mit dem Radius $3~\text{cm}$ an und zeichne jeweils einen Halbkreis.
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Zeichne erst das Quadrat. Berechne hierfür die Diagonale mit dem Satz des Pythagoras.
Ergänze die beiden Halbkreise an den oberen Seiten.
Die Herzen werden aus dünnen Metallblechen hergestellt. $1 \mathrm{dm}^{2}$ des Metallblechs wiegt $117 \mathrm{~g}$ .
Berechne das Gewicht eines Herzens. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren
Umrechnen der Einheiten
$r=3~\text{cm}=0{,}3~\text{dm}\\a=6~\text{cm}=0{,}6~\text{dm}$
Berechnung der Gesamtfläche
$\color{red}A_{Quadrat}\color{black}=0{,}6\cdot 0{,}6 = 0{,}36$
$\color{green}A_{Halbkreis}\color{black}= \dfrac{1}{2}\cdot \pi\cdot 0{,}3$ $^2=0{,}14$
$A_{Gesamt}=\color{red}A_{Quadrat}\color{black}+2\cdot \color{green}A_{Halbkreis}\color{black}=0{,}36+2\cdot 0{,}14=0{,}64$
Das Herz hat also eine Gesamtfläche von $\color{blue}0{,}64~\text{dm}^2$ .
Skizze Herz
Berechnung des Gesamtgewichts
Wir wissen, dass $1~\text{dm}^2$ $117~\text{g}$ wiegt. Daher gilt:

$\text{Gesamtgewicht}=117\cdot \color{Blue}0{,}64\color{black}=74{,}88$
Ein Herz wiegt also $74,88 g$
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Rechne die Längen in dm um.
Berechne die Gesamtfläche des Herzes. Unterteile hierfür das Herz in drei verschiedene Formen (Quadrat und zwei Halbkreise).
Du kennst das Gewicht für $1~\text{dm}^2$ .
Berechne mithilfe der Gesamtfläche das gesamte Gewicht eines Herzens.
Um die Breite $b$ und die Höhe $h$ eines Herzens zu bestimmen, wird eine Skizze angefertigt. Hier gilt: Die Strecke $\overline{A B}$ entspricht der Breite $b . ~\overline{A B}$ geht durch die Mittelpunkte $M_{1}$ und $M_{2}$ der angesetzten Halbkreise.
Berechne die Breite $b$ eines Herzens. (3 P)
Skizze zur Berechnung der Breite $b$ und der Höhe $h$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Formel für die Breite $b$
$b$ = $\overline{AM_1} + \overline{M_1M_2} + \overline{M_2B}$
$\overline{AM_1}$ und $\overline{M_2B}$ kennen wir bereits: Es handelt sich dabei um den Radius der Halbkreise.
Berechnung von $\overline{M_1M_2}$
Uns fällt auf, dass es sich bei $\bigtriangleup M_1M_2C$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Auch hier kennen wir bereits die Strecken $\overline{CM_1}$ und $\overline{M_2C}$ . Es handelt sich wieder um den Radius.
Betrachtet man das Dreieck, handelt es sich bei $\overline{M_1M_2}$ und die Hypotenuse.
Nach Satz des Pythagoras gilt:
$\color{red}\overline{M_1M_2}$ $^2 = \overline{CM_1}$ $^2+\overline{M_2C}$ $^{2}$
$\color{red}\overline{M_1M_2}$ $^{2} = 3^{2} + 3^{2}$
$\color{red}\overline{M_1M_2} \color{black}= \sqrt{18}$
$\color{red}\overline{M_1M_2}\color{black}\approx4{,}24$
Skizze Dreieck
Gesamte Breite b
Wir setzten unsere Ergebnisse jetzt einfach in unsere Formel aus dem ersten Schritt und erhalten:
$b = 3 + 3 + 4,24 = 10,24$
Das Herz hat also eine Breite von $10{,}24 ~\text{cm}$ .
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Skizziere dir die Breite.
Untersuche, aus welchen Teilstrecken sie besteht.
Berechne die Strecke $\overline{M_1M_2}$ .
Addiere nun alle Längen, die für die Breite des Herzes nötig sind.
Mithilfe der Abbildung in (c) kann die Höhe $h$ der Herzen berechnet werden.
(1) Berechne die Länge der Strecke $\overline{D E}$ . (3 P)
(2) Begründe, dass für die Höhe $h$ der Herzen gilt: $h = ∣ D E ∣ + 3$ . (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Gesamtlänge $\overline{CE}$
Dafür verwenden wir den Satz des Pythagoras, die Strecke $\overline{CE}$ ist dabei die Hypotenuse:
$\overline{CE}^2=6^2+6^2\\\overline{CE}=\sqrt{72}\\\overline{CE}=8{,}49$
Länge der Teilstrecke $\overline{CD}$
Wir wissen, dass es sich bei $\triangle M_1M_2C$ um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, da die beiden Schenkeln dem Radius 3 cm entsprechen.
Somit ist auch $\triangle M_1DC$ ein gleichschenkliges Dreieck.
Daraus folgt, dass:
Länge der Strecke $\overline{DE}$
$\overline{DE}=\overline{CE}-\overline{CD}=8{,}49-2{,}12=6{,}37$
Die Strecke $\overline{DE}$ ist also $6{,}37 ~\text{cm}$ lang.
Begründung der Rechnung (Teil 2)
Wir betrachten die Punkte $M_{1}$ und $D$ und bemerken, dass sich diese auf derselben Höhe befinden.
Somit hätte auch die Strecke vom Punkt D zur gestrichelten Linie dieselbe Länge wie der Radius des Kreise (was der Strecke von $M_{1}$ zur gestrichelten Linie entspricht), also 3 cm.
Also lässt sich die gesamte Höhe $h$ des Herzes wie folgt berechnen:
$h=\overline{DE}+3$
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Zu Teilaufgabe (1)
Berechne die Länge der Strecke $\overline{CE}$ mit dem Satz des Pythagoras.
Berechne die Länge der Strecke $\overline{CD}.$ Nutze deine Ergebnisse aus c.
Berechne die Länge der Strecke $\overline{DE}$ , indem du die Teilstrecke $\overline{CD}$ von der Gesamtstrecke $\overline{CE}$ subtrahierst.
Zu Teilaufgabe (2)
Sieh dir die Skizze an und untersuche, was hinter den Bezeichnungen $h$ und $\overline{DE}$ steckt.
Untersuche, woher die 3 in der Rechnung kommt.

Die Herzen werden in den Farben rot und weiß produziert und farblich gemischt in Kartons verpackt. Beim Fabrikverkauf werden die Herzen angeboten. Die Kunden dürfen ohne hinzusehen nacheinander zwei Herzen aus dem Karton ziehen. Zu diesem Zufallsversuch gehört das folgende Baumdiagramm.

In einem Karton sind 15 Herzen rot, die restlichen Herzen sind weiß.

Begründe, dass sich in dem Karton insgesamt 20 Herzen befinden. (2 P)

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedenfarbige Herzen gezogen werden.

(1) Ergänze im Baumdiagramm die dafür notwendigen Wahrscheinlichkeiten. (2 P)

(2) Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit. (2 P)

$\displaystyle \color{darkorange}15\ \text{Herzen}$	$≘$	$\displaystyle \color{blue}75\ \%$	$\displaystyle :15$
$\displaystyle 1\ \text{Herz}$	$=$	$\displaystyle 5\ \%$	$\displaystyle \cdot20$
$\displaystyle 20\ \text{Herzen}$	$=$	$\displaystyle \color{green}100\ \%$

$\displaystyle p(\text{verschiedenfarbige Herzen})$	$=$	$\displaystyle p(\text{rot,weiß})+p(\text{weiß,rot})$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}\cdot\frac{5}{19}+\frac{1}{4}\cdot\frac{15}{19}$
	$=$	$\displaystyle \frac{15}{38}$

Aufgabe 1: Herzlich willkommen

Schritt 1: Zeichne das Quadrat

Schritt 2: Ergänze die beiden Halbkreise

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Umrechnen der Einheiten

Berechnung der Gesamtfläche

Berechnung des Gesamtgewichts

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Formel für die Breite $b$

Berechnung von $\overline{M_1M_2}$

Gesamte Breite b

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Gesamtlänge $\overline{CE}$

Länge der Teilstrecke $\overline{CD}$

Länge der Strecke $\overline{DE}$

Begründung der Rechnung (Teil 2)

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Zu Teilaufgabe (1)

Zu Teilaufgabe (2)

Wir wissen...

Dreisatz anwenden

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Wir zeichnen zunächst das Baumdiagramm:

Nun berechnen wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

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Aufgabe 1: Herzlich willkommen

Schritt 1: Zeichne das Quadrat

Schritt 2: Ergänze die beiden Halbkreise

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Umrechnen der Einheiten

Berechnung der Gesamtfläche

Berechnung des Gesamtgewichts

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Formel für die Breite bbb

Berechnung von M1M2‾\overline{M_1M_2}M1​M2​​

Gesamte Breite b

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Gesamtlänge CE‾\overline{CE}CE

Länge der Teilstrecke CD‾\overline{CD}CD

Länge der Strecke DE‾\overline{DE}DE

Begründung der Rechnung (Teil 2)

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Zu Teilaufgabe (1)

Zu Teilaufgabe (2)

Wir wissen...

Dreisatz anwenden

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Wir zeichnen zunächst das Baumdiagramm:

Nun berechnen wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

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Formel für die Breite $b$

Berechnung von $\overline{M_1M_2}$

Gesamtlänge $\overline{CE}$

Länge der Teilstrecke $\overline{CD}$

Länge der Strecke $\overline{DE}$