Schritt 2: Ergänze die beiden Halbkreise

Setze hierfür in den Mittelpunkt der beiden oberen Seiten deinen Zirkel mit dem Radius $3\text{cm}$ an und zeichne jeweils einen Halbkreis.

Berechnung des Gesamtgewichts

Wir wissen, dass $1{\text{dm}}^2$ $117\text{g}$ wiegt. Daher gilt:

$\text{Gesamtgewicht}=117\cdot \mathrm{0,64}=\mathrm{74,88}$

Ein Herz wiegt also $\mathrm{74,88}g$

Formel für die Breite $b$

$b$ = $\overline{A{M}_1}+\overline{M_1{M}_2}+\overline{M_{2}B}$

$\overline{A{M}_1}$ und $\overline{M_{2}B}$ kennen wir bereits: Es handelt sich dabei um den Radius der Halbkreise.

Berechnung von $\overline{M_1{M}_2}$

Gesamte Breite b

Wir setzten unsere Ergebnisse jetzt einfach in unsere Formel aus dem ersten Schritt und erhalten:

$b=3+3+\mathrm{4,24}=\mathrm{10,24}$

Das Herz hat also eine Breite von $\mathrm{10,24}\text{cm}$.

Gesamtlänge $\overline{CE}$

Dafür verwenden wir den Satz des Pythagoras, die Strecke $\overline{CE}$ ist dabei die Hypotenuse:

$\begin{array}{l}{\overline{CE}}^2=6^2+6^2\\ \overline{CE}=\sqrt{72}\\ \overline{CE}=\mathrm{8,49}\end{array}$

Länge der Teilstrecke $\overline{CD}$

Wir wissen, dass es sich bei $△M_1{M}_{2}C$ um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, da die beiden Schenkeln dem Radius 3 cm entsprechen.

Somit ist auch $△M_{1}DC$ ein gleichschenkliges Dreieck.

Daraus folgt, dass:

Länge der Strecke $\overline{DE}$

$\overline{DE}=\overline{CE}-\overline{CD}=\mathrm{8,49}-\mathrm{2,12}=\mathrm{6,37}$

Die Strecke $\overline{DE}$ ist also $\mathrm{6,37}\text{cm}$ lang.

Begründung der Rechnung (Teil 2)

• Wir betrachten die Punkte $M_1$ und $D$ und bemerken, dass sich diese auf derselben Höhe befinden.

• Somit hätte auch die Strecke vom Punkt D zur gestrichelten Linie dieselbe Länge wie der Radius des Kreise (was der Strecke von $M_1$ zur gestrichelten Linie entspricht), also 3 cm.

• Also lässt sich die gesamte Höhe $h$ des Herzes wie folgt berechnen:

$h=\overline{DE}+3$

Wir wissen...

• In dem Karton befinden sich 15 rote Herzen.

• $p(rot)={\displaystyle \frac{3}{4}}$ ist die Wahrscheinlichkeit, ein rotes Herz zu ziehen.

Dreisatz anwenden

15 Herzen entsprechen 75% des Kartoninhalts. Nun berechnen wir die Gesamtanzahl ($100\%$) der Herzen durch einen einfachen Dreisatz:

In dem Karton befinden sich also insgesamt 20 Herzen.

Wir zeichnen zunächst das Baumdiagramm:

• Berechne die Gegenwahrscheinlichkeit zu p(rot) und du erhältst p(weiß): $1-{\displaystyle \frac{3}{4}}=\underset{p(weiß)}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}$

• Wir betrachten zuerst die Pfade, wenn wir beim ersten Mal ein rotes Herz gezogen haben:

  • Beim zweiten Zug enthält der Karton nur noch insgesamt 19 Herzen. Davon sind nur noch 14 rot, da beim ersten Zug schon ein rotes Herz weggenommen wurde, also ${\displaystyle \frac{14}{19}}$

  • Für die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Zug ein weißes Herz zu ziehen, berechnen wir die Gegenwahrscheinlichkeit: $1-{\displaystyle \frac{14}{19}}={\displaystyle \frac{5}{19}}$

• Dies wiederholen wir für die Wahrscheinlichkeiten, wenn beim ersten Mal ein weißes Herz gezogen wurde und erhalten so unser Baumdiagramm:

Nun berechnen wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

• Wir überlegen uns, bei welchen Kombinationen zwei verschiedenfarbige Herzen gezogen werden:

  • Dies ist der Fall für p(rot,weiß) und p(weiß,rot)

• Hierfür berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Pfadregel:

Die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedenfarbige Herzen zu ziehen, beträgt $\frac{15}{38}$.