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Aufgabe 1B

Für einen Tag wird die in einen Stausee zufließende Wassermenge betrachtet.

Die momentane Zuflussrate wird durch die auf R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit

f(x)=0,005x30,18x2+1,55x+2f(x)=0{,}005 x^{3}-0{,}18 x^{2}+1{,}55 x+2 für 0x240 \leq x \leq 24 beschrieben.

Dabei gibt xx die Zeit nach Beobachtungsbeginn in Stunden (h)(h) und f(x)f(x) die Zuflussrate des Wassers in 1000 Kubikmeter pro Stunde (1000m3 h)\left(1000 \frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{~h}}\right) an.

Der Stausee verfügt auch über einen künstlichen Wasserablauf. Gehen Sie zunächst davon aus, dass der Ablauf am Tag der Beobachtung geschlossen ist.

Die Abbildung stellt den Graphen der Funktion ff dar.

Bild
  1. Geben Sie f(2)f(2) an und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang.

    Begründen Sie mithilfe des Graphen von ff, dass der Wasserstand im Stausee ständig ansteigt. (4BE)

  2. Berechnen Sie die Länge des Zeitraums, in dem die Zuflussrate geringer als

    1000m3h1000 \frac{m^{3}}{h} ist. (3BE)

  3. Bestimmen Sie die maximale Zuflussrate im Beobachtungszeitraum. (3BE)

  4. Bestimmen Sie die Zeitpunkte, an denen die Zuflussrate

    • am stärksten abnimmt.

    • am stärksten zunimmt.

    (5BE)

  5. Untersuchen Sie, ob es eine Zuflussrate gibt, die sich eine Stunde später verdoppelt hat. (3BE)

  6. Vereinfacht wird die Form des Stausees als Quader mit einer Länge von 1000 m1000 \mathrm{~m} und einer Breite von 200 m200 \mathrm{~m} angenommen.

    Berechnen Sie den Anstieg der Wasserhöhe innerhalb der 2424 Stunden. (4BE)

  7. Von Beobachtungsbeginn bis zum Zeitpunkt tt ist eine bestimmte Wassermenge zugeflossen. In den folgenden drei Stunden fließt noch einmal genauso viel Wasser dazu.

    Berechnen Sie den Zeitpunkt tt. (4BE)

  8. Bei dem künstlichen Wasserablauf können konstante Abflussraten eingestellt werden.

    66 Stunden nach Beobachtungsbeginn wird der Ablauf geöffnet.

    Bestimmen Sie die Abflussrate des Stausees so, dass sich 2424 Stunden nach Beobachtungsbeginn genauso viel Wasser im Stausee befindet wie zu Beobachtungsbeginn. (4BE)

  9. Der Wasserablauf wird zu Beobachtungsbeginn mit einer Abflussrate von 2000m3 h2000 \frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{~h}} geöffnet.

    Begründen Sie auch mithilfe einer Skizze und ohne Rechnung, dass etwa zum

    Zeitpunkt 14,314{,}3 h die Wassermenge im Stausee maximal ist. (5BE)