Abiturprüfungen Mathe gA mit Lösungen

Aufgabe 1A

Die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=5 \cdot\left(e^{-0{,}3 x}-e^{-4 x}\right)$ modelliert für $0 \leq x \leq 12$ die Konzentration eines Medikamentenwirkstoffes im Blut. Dabei beschreibt $x$ die Zeit in Stunden $(h)$ nach der Einnahme des Medikamentes und $f(x)$ die Konzentration im Blut in Milligramm pro Liter $\left(\frac{m g}{l}\right)$ .

Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden, dass $f^{\prime}(x)=5 \cdot\left(-0{,}3 e^{-0{,}3 x}+4 e^{-4 x}\right)$ gilt.

Berechnen Sie die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes. Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die Konzentration erstmals den Wert 2,8 $\frac{m g}{l}$ annimmt.
Bestimmen Sie, wie lange die Konzentration mindestens $0{,}5 \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}$ beträgt. (6BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes
Berechne $f(1)$ :
$f(1)=5\cdot(e^{−0{,}3\cdot 1}−e^{−4\cdot 1})\approx3{,}61$
Die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes beträgt rund $3{,}6\; \frac{\text{m g}}{\text{l}}$ .
Der Zeitpunkt, zu dem die Konzentration erstmals den Wert 2,8 $\frac{\text{m g}}{\text{l}}$ annimmt
Gegeben ist $f(x)=5 \cdot\left(e^{-0{,}3 x}-e^{-4 x}\right)$ .
Berechne $2{,}8=5 \cdot\left(e^{-0{,}3 x}-e^{-4 x}\right)$
Der Zeitpunkt, zu dem die Konzentration erstmals den Wert 2,8 $\frac{\text{m g}}{\text{l}}$ annimmt, ist rund eine viertel Stunde nach der Einnahme.
Wie lange beträgt die Konzentration mindestens $0{,}5 \;\frac{\text{m g}}{\text{l}}$ ?
Berechne $0{,}5=5 \cdot\left(e^{-0{,}3 x}-e^{-4 x}\right)$
Die Schnittstellen des Graphen von $f$ mit der Geraden $y=0{,}5$ sind $x_1\approx0{,}029$ und $x_2\approx 7{,}675$ . Es ist $x_2-x_1\approx7{,}6$ .
Im Bereich $x_1<x<x_2$ ist $f(x)>0{,}5$ , d.h. die Konzentration beträgt ungefähr $7{,}6$ Stunden mindestens $0{,}5 \;\frac{\text{m g}}{\text{l}}$ .
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Teil 1
Berechne $f(1)$ .
Teil 2
Berechne $2{,}8=5 \cdot\left(e^{-0{,}3 x}-e^{-4 x}\right)$ .
Teil 3
Berechne $0{,}5=5 \cdot\left(e^{-0{,}3 x}-e^{-4 x}\right)$ .
Bestimmen Sie $f^{\prime}(0{,}5)$ und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang. (2BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Bestimmen Sie $f^{\prime}(0{,}5)$ .
Ergebnis: $f'(0{,}5)\approx1{,}4\;\frac{\text{m g}}{\text{l}}$
Interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang
Eine halbe Stunde nach der Einnahme nimmt die Konzentration im Blut
momentan um etwa $1{,}4\;\frac{\text{m g}}{\text{l}}$ pro Stunde zu.
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Berechne $f'(0{,}5).$
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration am stärksten abnimmt. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Der Zeitpunkt, zu dem die Konzentration am stärksten abnimmt
Der Zeitpunkt $x_1$ der größten Abnahme liegt vor, wenn $f'$ ein Minimum hat.
Berechne $\dfrac{d}{dx}(f'(x))=0\;\Rightarrow\;\dfrac{d}{dx}\left(5 \cdot(-0{,}3 e^{-0{,}3 x}+4 e^{-4 x})\right)=0$ :
Der GTR liefert als einzige Lösung: $x_1\approx1{,}400144$
Der gesuchte Zeitpunkt ist etwa $1{,}4$ Stunden nach der Einnahme.
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Berechne $f''(x)=0$ .
Die Konzentration im Blut sollte möglichst eine Stunde vor dem Schlafengehen am größten sein.
Berechnen Sie, wie viele Stunden vor dem Schlafengehen das Medikament optimalerweise eingenommen werden sollte. (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Wann ist die Konzentration im Blut am größten?
Der Zeitpunkt $x_1$ maximaler Konzentration liegt vor, wenn $f$ ein Maximum hat.
Berechne $f'(x)=0$ :
Der GTR liefert als einzige Lösung: $x_1\approx0{,}7000722...$

Das Medikament sollte optimalerweise $0{,}7+1=1{,}7$ Stunden vor dem Schlafengehen eingenommen werden.
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Berechne $f'(0)$ .
Für $1 \leq x \leq 12$ hat die Gleichung $f(x)=\frac{1}{2} f(x-1)$ keine Lösung.
Interpretieren Sie diese Aussage im Sachkontext. (2BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Interpretieren Sie diese Aussage im Sachkontext
Im betrachteten Zeitraum gibt es keinen Zeitpunkt $x$ , zu dem die Konzentration
genau halb so groß ist wie eine Stunde davor.
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Überlege, was $f(x-1)$ bedeutet.
Untersuchen Sie, ob es ein Zeitintervall $[x ; 12]$ gibt, in dem die durchschnittliche Änderungsrate der Konzentration so groß ist wie die momentane Änderungsrate der Konzentration $0{,}75$ Stunden nach der Einnahme. (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Änderungsraten und Ableitung - Eine Übersicht
Die durchschnittliche Änderungsrate der Konzentration ist so groß wie die momentane Änderungsrate der Konzentration $0{,}75$ Stunden nach der Einnahme
Die durchschnittliche Änderungsrate der Konzentration im Zeitintervall $[x ; 12]$ ist
$\dfrac{f(x)-f(12)}{x-12}$
Die momentane Änderungsrate der Konzentration $0{,}75$ Stunden nach der Einnahme ist $f'(0{,}75)$ .
$\Rightarrow\;$ Löse die Gleichung $\dfrac{f(x)-f(12)}{x-12}=f'(0{,}75)$
Der GTR liefert als Lösungen: $x_1\approx0{,}207646...$ und $x_2\approx3{,}199844...$ .
Somit ist z.B. eine Lösung dieser Gleichung $x_1$ mit $x_1\approx0{,}2$ .
Es gibt also ein solches Zeitintervall.
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Löse die Gleichung $\dfrac{f(x)-f(12)}{x-12}=f'(0{,}75)$
Vier Stunden nach der ersten Einnahme wird das Medikament in der gleichen
Dosierung erneut eingenommen. Die Gesamtkonzentration ist zu jedem Zeitpunkt die Summe der Konzentrationen, die sich aus der ersten und zweiten Einnahme ergeben. Ermitteln Sie die Gesamtkonzentration eine Stunde nach der zweiten Einnahme.
Die Gesamtkonzentration soll $6 \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}$ nicht übersteigen.
Untersuchen Sie, ob diese Vorgabe eingehalten wird. (6BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Die Gesamtkonzentration eine Stunde nach der zweiten Einnahme
Die Konzentration eine Stunde nach der zweiten Einnahme in $\frac{\text{m g}}{\text{l}}$ ist $f(5)+f(1)$ .
Die Konzentration eine Stunde nach der zweiten Einnahme beträgt rund $4{,}7\;\frac{\text{m g}}{\text{l}}$ .
Die Gesamtkonzentration soll $6 \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}$ nicht übersteigen
Die höchste Gesamtkonzentration wird durch das Maximum der Funktion $h$ mit $h(x)=f(x)+f(x-4), x\geq 4$ beschrieben.
Bestimme mithilfe des GTR-Rechners die Extremstellen der Hilfs-Funktion $h(x)$ .
Eine notwendige Bedingung für relative Extrema ist $h'(x)=0.$
Bilde mit $\dfrac{d}{dx}(h(x))$ die erste Ableitung der Funktion $h(x)$ und finde die Nullstelle:
$h'(x)=0$ für $x\approx4{,}63$
Wegen $h(4)\approx1{,}506$ , $h(4{,}63)\approx4{,}98$ und $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)=0$ ist $x\approx4{,}63$ die absolute Maximumstelle.
Die höchste Konzentration ist $4{,}98 \;\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}$ und bleibt somit unter dem vorgegebenen Höchstwert von $6 \;\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}$ .
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Teil 1
Berechne $f(5)+f(1)$ .
Teil 2
Die höchste Gesamtkonzentration wird durch das Maximum der Funktion $h$ mit $h(x)=f(x)+f(x-4), x\geq 4$ beschrieben. Berechne $h'(x)=0$ .
Eine vereinfachte Modellierung geht davon aus, dass die Konzentration ab einem bestimmten Zeitpunkt $z$ durch die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(z \mid f(z))$ beschrieben werden kann.
Bestimmen Sie für $z=5$ den Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikamentes, zu dem die Konzentration nach diesem vereinfachten Modell null ist. (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Bestimmen Sie für $z=5$ den Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikamentes, zu dem die Konzentration nach diesem vereinfachten Modell null ist
Für $z=5$ ist $P(5|f(5))$ .
Es ist $t(x)=m\cdot x+b$ .
Bestimme die Gleichung der Tangente an der Stelle $x=5$ .
$m=f'(5)\approx-0{,}334695...$ und $f(5)\approx1{,}11565...$
$t(x)=-0{,}3347\cdot x+b\;\Rightarrow\;1{,}1157=-0{,}3347\cdot 5+b\;\Rightarrow\;b\approx2{,}789$
$t(x)=-0{,}335\cdot x+2{,}789$
Löse die Gleichung $t(x)=0$ :
t hat die Nullstelle $x_N$ mit $x_N ≈ 8{,}3$ .
Ungefähr 8,3 Stunden nach der Einnahme des Medikamentes ist die Konzentration null.
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Bestimme die Gleichung $t$ der Tangente im Punkt $P(5|f(5))$ und löse die Gleichung $t(x)=0$ .
Untersuchen Sie, ob es nach dieser vereinfachten Modellierung einen Zeitpunkt $z$ gibt, sodass die Konzentration genau 6 Stunden nach der Einnahme null ist. (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Gibt es einen Zeitpunkt $z$ , sodass die Konzentration genau 6 Stunden nach der Einnahme null ist
Die Tangentengleichung im Punkt $(𝑧|f(𝑧))$ lautet:
Gesucht ist nun $t(6)=0$ :
Der GTR gibt als eine Lösung den Wert $z_1\approx0{,}981163...$ an.
Eine Lösung der Gleichung $t(6)=0$ ist $z_1$ mit $z_1\approx1$ .
$z_1$ ist ein solcher Zeitpunkt.
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Die Tangentengleichung im Punkt $(𝑧|f(𝑧))$ lautet: $t(x) = f'(z)\cdot (x-z) + f(z)$
Gesucht ist $t(6)=0$ .

2

Aufgabe 1B

Für einen Tag wird die in einen Stausee zufließende Wassermenge betrachtet.

Die momentane Zuflussrate wird durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$f(x)=0{,}005 x^{3}-0{,}18 x^{2}+1{,}55 x+2$ für $0 \leq x \leq 24$ beschrieben.

Dabei gibt $x$ die Zeit nach Beobachtungsbeginn in Stunden $(h)$ und $f(x)$ die Zuflussrate des Wassers in 1000 Kubikmeter pro Stunde $\left(1000\;\frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{h}}\right)$ an.

Der Stausee verfügt auch über einen künstlichen Wasserablauf. Gehen Sie zunächst davon aus, dass der Ablauf am Tag der Beobachtung geschlossen ist.

Die Abbildung stellt den Graphen der Funktion $f$ dar.

Geben Sie $f(2)$ an und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang.
Begründen Sie mithilfe des Graphen von $f$ , dass der Wasserstand im Stausee ständig ansteigt. (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Geben Sie $f(2)$ an und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang
Es ist $f(2)=0{,}005\cdot 2^{3}-0{,}18 \cdot 2^{2}+1{,}55 \cdot 2+2=4{,}42$
Die Zuflussrate zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn beträgt etwa $4400\;\frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{h}}$ .
Begründen Sie mithilfe des Graphen von $f$ , dass der Wasserstand im Stausee ständig ansteigt
Der Graph von $f$ verläuft im Beobachtungszeitraum vollständig oberhalb der
x-Achse. Deshalb nimmt die Wassermenge ständig zu und der Wasserspiegel steigt an.
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Teil 1
Berechne $f(2)$ .
Teil 2
Wie verläuft der Graph von $f$ ? Welche Schlussfolgerung kann man daraus ziehen?
Berechnen Sie die Länge des Zeitraums, in dem die Zuflussrate geringer als $1000\;\frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{h}}$ ist. (3BE)
Stunden
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Die Länge des Zeitraums, in dem die Zuflussrate geringer als $1000 \frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{h}}$
Berechne $f(x)=1$ .
Für $0 \leq x \leq 24$ liefert der GTR-Rechner die Lösungen $x_1\approx16{,}602325...$ und $x_2=20$ .
Dann ist $x_2-x_1\approx3{,}4$ .
Für etwa $3{,}4 \;\mathrm{h}$ ist die Zuflussrate geringer als $1000 \frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{h}}$ .
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Berechne $f(x)=1$ .
Du erhältst zwei Lösungen. Die Differenz dieser beiden Lösungen ist die gesuchte Zeitspanne.
Berechnen Sie die maximale Zuflussrate im Beobachtungszeitraum. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Berechnen Sie die maximale Zuflussrate im Beobachtungszeitraum
Die maximale Zuflussrate liegt dort, wo der Graph von $f$ einen Hochpunkt hat.
Das Funktionsmaximum ergibt sich mithilfe des Graphens von $f$ im betrachteten Intervall an der Stelle $x_M\approx5{,}622957...$ .
Der Funktionswert an der Stelle $x_M$ ist $y_M\approx5{,}913330...$ .
Damit beträgt die maximale Zuflussrate etwa $5900\;\frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{h}}$ .
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Das Funktionsmaximum ergibt sich mithilfe des Graphens von $f$ im betrachteten Intervall.
Bestimmen Sie die Zeitpunkte, an denen die Zuflussrate
- am stärksten abnimmt.
- am stärksten zunimmt.
(5BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Die Zeitpunkte, an denen die Zuflussrate am stärksten abnimmt
Der Graph der Ableitungsfunktion beschreibt die Änderung der Zuflussrate.
Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel $f'(x)=\dfrac{3}{200}\cdot x^2-\dfrac{9}{25}\cdot x+\dfrac{31}{20}$ .
Der GTR-Rechner liefert mit $\dfrac{d}{dx}\left(f'(x)\right)=0$ den Wert $x=12$ .
Die Parabel hat einen Tiefpunkt an der Stelle $12$ .
Also nimmt die Zuflussrate nach $12\;\text{h}$ am stärksten ab.
Die Zeitpunkte, an denen die Zuflussrate am stärksten zunimmt
Sie nimmt zu Beobachtungsbeginn und nach $24\;\text{h}$ am stärksten zu.
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Teil 1
Der Graph $f'$ ist eine nach oben geöffnete Parabel. Bestimme $x_{\text{max}}$ .
Teil 2
Betrachte die Randwerte von $f'$ .
Untersuchen Sie, ob es eine Zuflussrate gibt, die sich eine Stunde später verdoppelt hat. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Gibt es eine Zuflussrate, die sich eine Stunde später verdoppelt hat?
Löse die Gleichung: $2\cdot f(x)=f(x+1)$ :
Der GTR-Rechner liefert als Lösung nur den Wert $x\approx-0{,}319242...$ ,
Die Lösung $x\approx -0{,}32$ liegt außerhalb des Definitionsbereiches.
Somit gibt es im Bereich $0 \leq x \leq 23$ keine Lösung für die Gleichung $2\cdot f(x)=f(x+1)$ .
Es gibt die gesuchte Zuflussrate nicht.
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Löse die Gleichung: $2\cdot f(x)=f(x+1)$ . Achte auf den Definitionsbereich!
Vereinfacht wird die Form des Stausees als Quader mit einer Länge von $1000\;\text{m}$ und einer Breite von $200\;\text{m}$ angenommen.
Berechnen Sie den Anstieg der Wasserhöhe innerhalb der $24$ Stunden. (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bestimmtes Integral berechnen
Der Anstieg der Wasserhöhe innerhalb der 24 Stunden
Berechne das Integral:
$\displaystyle\int_0^{24}f(x)\;dx\approx 79{,}68$
Innerhalb von $24$ Stunden nimmt das Wasservolumen um rund $79680\;\text{m}^3$ zu.
Das Volumen des Stausees ändert sich in dieser Zeit um $1000\;\text{m} \cdot 200\;\text{m} \cdot h$ , wobei $h$ die Änderung der Wasserhöhe ist.
$\Rightarrow\;h=\dfrac{79680\;\text{m}^3}{1000\;\text{m} \cdot 200\;\text{m}}\approx 0{,}4\;\text{m}$
Die Wasserhöhe steigt um etwa $0{,}4\;\text{m}$ .
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Berechne das Integral $\displaystyle\int_0^{24}f(x)\;dx$ .
Vergleiche mit dem Volumen des Stausees $V= \text{Länge}\cdot \text{Breite}\cdot \text{Höhe}$ und löse nach der Höhe auf.
Von Beobachtungsbeginn bis zum Zeitpunkt $t$ ist eine bestimmte Wassermenge zugeflossen. In den folgenden drei Stunden fließt noch einmal genauso viel Wasser dazu.
Berechnen Sie den Zeitpunkt $t$ . (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bestimmtes Integral berechnen
Berechnen Sie den Zeitpunkt $t$
Löse die Gleichung:
$\displaystyle\int_0^{t}f(x)\;dx=\displaystyle\int_t^{t+3}f(x)\;dx$
Der GTR-Rechner liefert als Lösung $t\approx 4{,}113869...$ .
Im Bereich $0 \leq x \leq 24$ liegt die Lösung $t\approx 4{,}1$ .
Von Beobachtungsbeginn bis zum Zeitpunkt $4{,}1 \;\text{h}$ ist eine bestimmte Wassermenge zugeflossen. In den folgenden drei Stunden fließt noch einmal genauso viel Wasser dazu.
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Löse die Gleichung $\displaystyle\int_0^{t}f(x)\;dx=\displaystyle\int_t^{t+3}f(x)\;dx$
Bei dem künstlichen Wasserablauf können konstante Abflussraten eingestellt werden.
$6$ Stunden nach Beobachtungsbeginn wird der Ablauf geöffnet.
Bestimmen Sie die Abflussrate des Stausees so, dass sich $24$ Stunden nach
Beobachtungsbeginn genauso viel Wasser im Stausee befindet wie zu Beobachtungsbeginn. (4BE)
m³/h
Bestimmen Sie die Abflussrate des Stausees so, dass sich $24$ Stunden nach Beobachtungsbeginn genauso viel Wasser im Stausee befindet wie zu Beobachtungsbeginn
$6$ Stunden nach Beobachtungsbeginn wird der Ablauf geöffnet.
$\Rightarrow\;$ Es bleiben $18$ Stunden, in denen die Gesamttagesmenge abfließen kann.
$\text{Abflussrate}=\dfrac{79680\;\text{m}^3}{18\;\text{h} }\approx 4427\;\dfrac{\text{m}^3}{\text{h}}$
Die Abflussrate beträgt rund $4400\;\dfrac{\text{m}^3}{\text{h}}$ .
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$6$ Stunden nach Beobachtungsbeginn wird der Ablauf geöffnet. $\Rightarrow\;$ Es bleiben $18$ Stunden, in denen die Gesamttagesmenge abfließen kann.
$\text{Abflussrate}=\dfrac{\text{Zunahme des Wasservolumens in 24 h}}{\text{Abflusszeit}}$
Der Wasserablauf wird zu Beobachtungsbeginn mit einer Abflussrate von $2000\; \frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{h}}$ geöffnet.
Begründen Sie auch mithilfe einer Skizze und ohne Rechnung, dass etwa zum
Zeitpunkt $14{,}3 \;\text{h}$ die Wassermenge im Stausee maximal ist. (5BE)
Begründen Sie auch mithilfe einer Skizze und ohne Rechnung, dass etwa zum Zeitpunkt $14{,}3 \;\text{h}$ die Wassermenge im Stausee maximal ist
Der Wasserablauf wird zu Beobachtungsbeginn mit einer Abflussrate von $2000\; \frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{h}}$ geöffnet. In der Skizze beschreibt die Gerade $g$ die Abflussrate.
Von Beobachtungsbeginn bis etwa $14{,}3\;\text{h}$ und von etwa $21{,}7\;\text{h}$ bis $24\;\text{h}$ verläuft der Graph von $f$ oberhalb von $g$ und die Wassermenge im Stausee nimmt zu.
Von ungefähr $14{,}3\;\text{h}$ bis $21{,}7 \;\text{h}$ verläuft $g$ oberhalb des Graphen von $f$ und die Wassermenge nimmt ab.
Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und $g$ ist ein Maß für die Veränderung der Wassermenge.
In der Abbildung erkennt man, dass der Flächeninhalt von $A_1$ größer ist als der von $A_2$ , d.h. von ungefähr $14{,}3\;\text{h}$ bis $24 \;\text{h}$ nimmt insgesamt die Wassermenge im Stausee ab.
Somit ist die Wassermenge nach etwa $14{,}3 \;\text{h}$ maximal.
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Zeichne in die Abbildung eine Gerade $g:\;y=2$ ein.
Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und $g$ ist ein Maß für die Veränderung der Wassermenge.
Untersuche die verschiedenen Bereiche, die durch $g$ entstehen.

3

Aufgabe 1C

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=-\frac{1}{100} \cdot\left(\frac{1}{500} x^{4}-\frac{1}{8} x^{3}+\frac{5}{2} x^{2}-45 x\right)$ . Der Querschnitt eines Deichs wird durch die von dem Graphen der Funktion $f$ und der $x$ -Achse eingeschlossenen Fläche modelliert. Dabei werden $x$ und $f(x)$ in Metern $(m)$ angegeben.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ . Markieren Sie in der Abbildung auf der $x$ -Achse das Intervall, in dem der Deich mindestens $5 m$ hoch ist.
Ein moderner Deich ist etwa fünfmal so breit wie er hoch ist.
Entscheiden Sie, ob dieser Deich diese Regel erfüllt, und begründen Sie Ihre Entscheidung nur mithilfe der Abbildung. (5BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Erfüllt dieser Deich diese Regel, und begründen Sie Ihre Entscheidung nur mithilfe der Abbildung
Intervall, in dem der Klimadeich mindestens $5 \mathrm{~m}$ hoch ist
Zeichne eine Parallele zur x-Achse im Abstand $5$ . Betrachte die x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Parallelen mit dem Graphen von $f$ .
Dann gehen die Markierung auf der x-Achse von etwa $17$ bis etwa $42$ .
Entscheidung, ob der Klimadeich diese Regel (etwa fünfmal so breit wie er hoch) erfüllt
Die beiden Nullstellen von $f$ liegen bei $x=0$ und bei $x\approx46$ , d.h. der Deich hat eine Breite von etwa $46\;\text{m}$ . Die y-Koordinate des Maximums ist die Dammhöhe. Sie beträgt etwa $9\;\text{m}$ .
$\;\Rightarrow\;\dfrac{46}{9}\approx5$
Der Klimadeich erfüllt diese Regel.
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Teil 1
Zeichne eine Parallele im Abstand $5$ zur x-Achse ein.
Betrachte die x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Parallelen mit dem Graphen von $f$ .
Teil 2
Die Differenz der beiden Nullstellen ergibt die Breite des Damms. Die y-Koordinate des Maximums ist die Dammhöhe. Bilde den Quotienten.
Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung des Deichs im Intervall $[0 ; 30]$ .
Bestimmen Sie die größte Steigung des Deichs im Intervall $[0;30].$

Berechnen Sie den Neigungswinkel des Deichs an der Stelle $x=0$ . (9BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung und Steigungswinkel
Durchschnittliche Steigung des Klimadeiches im Intervall $[0; 30]$
Durchschnittliche Steigung $=\dfrac{f(30)-f(0)}{30-0}$
Mit $f(30)=\dfrac{171}{20}$ und $f(0)=0$ folgt dann:
Durchschnittliche Steigung $=\dfrac{\frac{171}{20}-0}{30}=\dfrac{57}{200}=0{,}285$
Die durchschnittliche Steigung des Klimadeiches im Intervall $[0; 30]$ beträgt $0{,}285$ .
Neigungswinkel des Klimadeiches an der Stelle $x=0$
Es ist $f'(0)=\dfrac{9}{20}$ .
Dann gilt für den Neigungswinkel des Klimadeiches:
Der Neigungswinkel des Klimadeiches an der Stelle $x=0$ beträgt rund $24^\circ$ .
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Teil 1
Die durchschnittliche Steigung beträgt $\dfrac{f(30)-f(0)}{30-0}$ .
Teil2
Berechne $f'(0)\;\Rightarrow\alpha=\tan^{-1}\left(f'(0)\right)$ .
In den Deich eindringendes Wasser teilt den Querschnitt des Deiches in einen unteren feuchten und einen oberen trockenen Bereich. Die Trennlinie zwischen dem trockenen und feuchten Bereich nennt man Sickerlinie. Bei einem bestimmten Wasserstand wird die Sickerlinie innerhalb des Deichs durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit $g(x)=20 \cdot e^{-0{,}1 x}$ beschrieben. $x$ und $g(x)$ werden in Metern $(m)$ angegeben.
Berechnen Sie die Höhe, in der die Sickerlinie auf der Wasserseite des Deichs beginnt.
Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Sickerlinie stets oberhalb des Bodens verläuft.
Berechnen Sie den prozentualen Anteil des feuchten Bereichs im Querschnitt des
Deichs. (10BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
Die Höhe, in der die Sickerlinie auf der Wasserseite des Deichs beginnt
Berechne $f(x)=g(x)$ :
Die gesuchte Lösung ist $x_1\approx15{,}18$ .
(Die zweite Lösung $x_2\approx 45{,}83$ entfällt, da sie auf der Landseite liegt.)
Die gesuchte Höhe erhält man durch Berechnung des Funktionswertes an der Stelle $x_1$ .
$f(x_1)\approx4{,}38\;\text{m}$
Die Höhe, in der die Sickerlinie auf der Wasserseite des Deichs beginnt, beträgt rund $4{,}38\;\text{m}$ .
Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Sickerlinie stets oberhalb des Bodens verläuft
Die Funktion $g$ ist eine Exponentialfunktion. Da $g(x)=20 \cdot e^{-0{,}1 x}$ stets größer null ist, verläuft der Graph oberhalb der 𝑥-Achse.
Demnach verläuft die Sickerlinie stets oberhalb des Bodens.
Der prozentuale Anteil des feuchten Bereichs im Querschnitt des Deichs
Berechne $f(x)=0$ :
Die beiden Nullstellen sind $x_3=0$ und $x_4 \approx45{,}95$ .
Berechne die gesamte Deichfläche:
$A_{\text{Deich}}=\displaystyle\int_0^{45{,}95}f(x)\;dx\approx240{,}32\;\text{m}^2$
Berechne die Fläche (rot gefärbt) zwischen den Graphen von $f$ und $g$ mit den Schnittpunkten $x_1\approx15{,}18$ und $x_2\approx 45{,}83$ :
$A_{\text{f,g}}=\displaystyle\int_{15{,}18}^{45{,}83}f(x)\;dx\approx162{,}46\;\text{m}^2$
Der feuchte Bereich (orange gefärbt) ist dann die Differenz von $A_{\text{Deich}}$ und $A_{\text{f,g}}$ :
$A_{\text{feucht}}\approx240{,}32-162{,}46\approx77{,}86\;\text{m}^2$
Der gesuchte Anteil ist: $\dfrac{A_{\text{Deich}}-A_{\text{f,g}}}{A_\text{Deich}}=\dfrac{77{,}86}{240{,}32}\approx32{,}4\;\%.$
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Teil 1
Berechne $f(x)=g(x)$ .
Die gesuchte Lösung liegt auf der Seeseite des Deichs $\;\Rightarrow\;x_1$ . Berechne den Funktionswert an der Stelle $x_1$ .
Teil 2
Welche wichtige Eigenschaft hat eine e-Funktion?
Teil 3
Die Fläche des feuchten Bereichs ist die Differenz von der gesamten Deichfläche und der Fläche zwischen den Graphen von $f$ und $g$ .
Der gesuchte Anteil ist dann: $\dfrac{\text{Fläche des feuchten Bereichs}}{\text{gesamten Deichfläche}}$
Die Sickerlinie verändert sich mit dem Wasserstand. Sie wird beschrieben durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x)=a \cdot e^{-0{,}1 x}, x$ und $h(x)$ in Metern $(m)$ .
Bestimmen Sie einen Näherungswert für $a$ , sodass $h$ den Beginn der Sickerlinie in der Höhe von $2\;\text{m}$ auf der Wasserseite beschreibt. (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
Ein Näherungswert für $a$ , sodass $h$ den Beginn der Sickerlinie in der Höhe von $2\;\text{m}$ auf der Wasserseite beschreibt
Löse die Gleichung $f(x)=2$ :
Die Lösung $x_1 \approx 5{,}84$ liegt auf der Wasserseite (die andere Lösung entfällt).
Berechne $h(5{,}84)=2$ :
Für $a$ erhält man den Näherungswert $3{,}59$ .
Anmerkung: Für $x_1\approx5{,}836$ erhält man $a\approx3{,}58$ .
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Löse die Gleichung $f(x)=2$ . $\;\Rightarrow\;x_1$ (auf der Wasserseite)
Berechne $h(x_1)=2$ . $\;\Rightarrow\; a$
Der Bereich der Deichkrone soll abgeplattet werden. Dazu wird Material abgetragen. Der Querschnitt des Deichs wird dabei so verändert, dass der obere Rand im Bereich der Deichkrone parallel zur Horizontalen verläuft.
Berechnen Sie die Breite des abgeplatteten Bereichs, wenn der Deich genau $8 \mathrm{~m}$ hoch sein soll.
Berechnen Sie die Höhe des Deichs, wenn der abgeplattete Bereich $9 \mathrm{~m}$ breit ist. (7BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
Die Breite des abgeplatteten Bereichs, wenn der Deich genau $8 \mathrm{~m}$ hoch sein soll
Löse die Gleichung $f(x)=8$ :
Im betrachteten Intervall gibt es die Lösungen $x_1 \approx27{,}39$ und $x_2\approx37{,}72$ .
$\Rightarrow\;x_2-x_1\approx10{,}33$
Der abgeplattete Bereich ist etwa $10{,}3\;\text{m}$ breit.
Die Höhe des Deichs, wenn der abgeplattete Bereich $9 \mathrm{~m}$ breit ist
Berechne $f(x)=f(x+9)$ :
Im betrachteten Intervall gibt es die Lösung $x_3\approx28{,}2$ .
Berechne $f(28{,}2)$ :
Der Deich ist nach der Abplattung etwa $8{,}2\;\text{m}$ hoch.
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Teil 1
Löse die Gleichung $f(x)=8$ . Du erhältst zwei Lösungen $x_1$ und $x_2$ . Die Breite des abgeplatteten Bereichs ist dann $x_2-x_1$ .
Teil 2
Berechne $f(x)=f(x+9)$ $\;\Rightarrow\;x_3$
Berechne $f(x_3)$ :

4

Aufgabe 2A

In einem Bundesland wird die Bevölkerungsgruppe derjenigen, die im Jahr $2000$ geboren wurden, im Hinblick auf Schulabschlüsse untersucht. In dieser Bevölkerungsgruppe beträgt der Anteil der Personen mit Abitur $36 \%$ . Unter den Personen mit Abitur sind $54 \%$ weiblich. $34 \%$ der Bevölkerungsgruppe sind nicht weiblich und haben kein Abitur.

Weisen Sie nach, dass unter allen Personen ohne Abitur der Anteil derjenigen, die nicht weiblich sind, etwa $53 \%$ beträgt. (2BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Unter allen Personen ohne Abitur beträgt der Anteil derjenigen, die nicht weiblich sind, etwa $53 \%$ .
$A$ : Person hat Abitur
$W$ : Person ist weiblich
Es ist $P(A)=0{,}36\;\Rightarrow\;P\left(\overline {A}\right)=1-0{,}36=0{,}64$
Weiterhin ist $P\left(\overline {A}\cap\overline {W}\right)=0{,}34$ .
Dann folgt:
$P\left(\overline {A}\right)\cdot x=P\left(\overline {A}\cap\overline {W}\right)\;\Rightarrow\;x=\dfrac{P\left(\overline {A}\cap\overline {W}\right)}{P(\overline {A})}=\dfrac{0{,}34}{0{,}64}\approx0{,}53$
Unter allen Personen ohne Abitur beträgt der Anteil derjenigen, die nicht weiblich sind, etwa $53 \%$ .
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$A$ : Person hat Abitur; $W$ : Person ist weiblich
Berechne $P(\overline {A})$ . Gegeben ist $P\left(\overline {A}\cap\overline {W}\right)$ .
Der gesuchte Anteil ist $\dfrac{P\left(\overline {A}\cap\overline {W}\right)}{P(\overline {A})}$
Stellen Sie den Sachzusammenhang in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Ein beschriftetes Baumdiagramm
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Erstelle mit den Angaben in der Aufgabenstellung und mit dem Ergebnis aus Aufgabe a) ein Baumdiagramm.
Zur betrachteten Bevölkerungsgruppe gehören $27000$ Personen.
Ermitteln Sie, wie viele dieser Personen weiblich sind. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Berechne $P(W)$ :
$P(W)=P(A)\cdot P_A(W)+P(\overline {A})\cdot P_{\overline {A}}(W)=0{,}36\cdot 0{,}54+0{,}64\cdot0{,}47=0{,}4952$
$\Rightarrow\;n=P(W)\cdot 27000=0{,}4952\cdot 27000\approx13400$
In der betrachteten Bevölkerungsgruppe sind etwa 13400 Personen weiblich.
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Berechne $P(W)$ .
$n=P(W)\cdot 27000$
Für eine Online-Befragung werden aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe $100$ Personen zufällig ausgewählt. Es soll davon ausgegangen werden, dass unter den ausgewählten Personen die Anzahl derjenigen mit Abitur binomialverteilt ist.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ausgewählten Personen $30$ mit Abitur sind. (1BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Personen $30$ mit Abitur sind
Es ist $X$ die Anzahl der ausgewählten Personen mit Abitur.
$n = 100$ und $p = 0{,}36$
Gesucht ist $P(X=30)$ :
$P(X=30)=\text{binompdf}(100{,}0.36{,}30)\approx0{,}0389$
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Personen $30$ mit Abitur sind, beträgt etwa $4\;\%$ .
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$X$ ist die Anzahl der ausgewählten Personen mit Abitur.
$n = 100$ und $p = 0{,}36$
Gesucht ist $P(X=30)$ .
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der ausgewählten Personen mit Abitur kleiner als der Erwartungswert dieser Anzahl ist. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der ausgewählten Personen mit Abitur kleiner als der Erwartungswert dieser Anzahl ist
Es ist $\mu=n\cdot p=100\cdot 0{,}36=36$ .
Berechne $P(X\leq 35)$ :
$P(X\leq 35)=\text{binomcdf}(100{,}0.36{,}0,35)\approx0{,}4624$
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Berechne $\mu$ .
Berechne $P(X\leq \mu -1)$ .
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der ausgewählten Personen mit Abitur im Intervall $[a ; b]$ liegt, beträgt etwa $65\; \%$ .
Bestimmen Sie die Werte für $a$ und $b$ so, dass das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt. (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Bestimmen Sie die Werte für $a$ und $b$ so, dass das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt
Es ist $P(a\leq X \leq b)\approx0{,}65$ . Der Erwartungswert ist $36$ .
Bekannt ist, dass die Werte von $X$ zu etwa $68\; \%$ im Intervall $[\mu-\sigma;\mu+\sigma]$ liegen:
$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{100\cdot 0{,}36\cdot 0{,}64}=4{,}8$
Dann ist $[\mu-\sigma;\mu+\sigma]=[36-4{,}8;36+4{,}8]=[31{,}2;40{,}8]$ .
Gerundet erhält man das Intervall $[32;40]$ .
Berechne $P(32\leq X \leq 40)=\text{binomcdf}(100{,}0.36{,}32{,}40)\approx0{,}6515$ .
Damit ist $a = 32$ und $b = 40$ .
Anmerkung: $P(33\leq X \leq 39)=\text{binomcdf}(100{,}0.36{,}33{,}39)\approx0{,}534< 0{,}65$
Damit wäre dieses Intervall zu klein.
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Bekannt ist, dass die Werte von $X$ zu etwa $68\; \%$ im Intervall $[\mu-\sigma;\mu+\sigma]$ liegen.
Berechne $\sigma$ und das gerundete Intervall $[x_1;x_2]$ .
Berechne $P(x_1\leq X \leq x_2)$ .
Aus der anfangs betrachteten Bevölkerungsgruppe werden $n$ Personen zufällig ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter mehr als $20$ mit Abitur befinden, ist größer als $0 \%$ und kleiner als $10 \%$ .
Ermitteln Sie alle Werte, die für $n$ infrage kommen. (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Ermitteln Sie alle Werte, die für $n$ infrage kommen
Es ist $0\leq P(\geq 21)\leq 0{,}1$ .
Berechne für einige Werte von $n$ die Wahrscheinlichkeit: $P(\geq 21)=\text{binomcdf}(n,0.36{,}21,n)$
Beginne mit $n=21$ :
$n$
$P(\geq 21)$
$21$
$\approx 0$
31
$\approx0{,}0003$
41
$\approx0{,}0328$
45
$\approx0{,}0923$
46
$\approx0{,}1141$
Wie man aus der Tabelle entnehmen kann, liegt die Wahrscheinlichkeit $P(\geq 21)$ bis $n=45$ in dem geforderten Bereich.
Also kommen für $n$ alle Werte mit $21\leq n\leq 45$ infrage.

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Berechne für einige Werte von $n$ die Wahrscheinlichkeit: $P(\geq 21)=\text{binomcdf}(n,0.36{,}21,n)$

$n$	$P(\geq 21)$
$21$	$\approx 0$
31	$\approx0{,}0003$
41	$\approx0{,}0328$
45	$\approx0{,}0923$
46	$\approx0{,}1141$

5

Aufgabe 2B

Bei einem Smartphone-Spiel kann jeder Spieler jeden Sonntag Sterne gewinnen. Dazu hat er an jedem Sonntag zehn Versuche. Bei jedem Versuch kann nur ein Stern gewonnen werden; die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt $40 \%$ .

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler bei zehn Versuchen mehr als sechs Sterne gewinnt. (2BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler bei zehn Versuchen mehr als sechs Sterne gewinnt
Es ist $X$ die Anzahl der gewonnenen Sterne.
$X$ ist binomialverteilt mit $n = 10$ und $p = 0{,}4$ .
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P(X > 6)$ :
$P(X > 6)=P(X\geq 7)=\text{binomcdf(10{,}0.4{,}7,10)}\approx0{,}0548$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler bei zehn Versuchen mehr als sechs Sterne gewinnt, beträgt rund $5\;\%$ .
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$X$ ist binomialverteilt mit $n = 10$ und $p = 0{,}4$ .
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P(X > 6)$ .
Beurteilen Sie die Gültigkeit der folgenden Aussage eines Spielers: (2BE)
"Ich habe an den letzten drei Sonntagen jeweils acht Sterne gewonnen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, an diesem Sonntag wieder acht Sterne zu gewinnen, deutlich kleiner als vorher.“

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unabhängigkeit von Ereignissen
Gültigkeit der Aussage
Die Aussage ist falsch.
Die einzelnen Spiele sind stochastisch unabhängig, d.h. die Spiele der vergangenen Sonntage beeinflussen nicht die Wahrscheinlichkeiten der zukünftigen Spiele.
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Beachte, dass die einzelnen Spiele stochastisch unabhängig sind.
An einem Sonntag nutzen vier Spieler jeweils die möglichen zehn Versuche zum Gewinnen von Sternen.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei zwei der vier Spieler jeweils fünf Sterne gewinnen. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der vier Spieler jeweils fünf Sterne gewinnen
Es ist $Y$ die Anzahl der Spieler mit $5$ Sternen
$Y$ ist binomialverteilt mit $n = 4$ und $p = P(X = 5)$ .
Dabei ist $P(X=5)=\text{binompdf(10{,}0.4{,}5)}\approx0{,}2007$ .
Gesucht ist nun $P(Y=2)=\text{binompdf(4{,}0.2007{,}2)}\approx0{,}1544$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der vier Spieler jeweils fünf Sterne gewinnen, beträgt rund $15\;\%$ .
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Es ist $Y$ die Anzahl der Spieler mit $5$ Sternen
$Y$ ist binomialverteilt mit $n = 4$ und $p = P(X = 5)$
Berechne $P(X = 5)$ und dann $P(Y = 2)$ .

Die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Versuch einen Stern zu gewinnen, wird geändert. Anschließend beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, bei zehn Versuchen höchstens drei Sterne zu gewinnen, etwa $62 \%$

Ermitteln Sie die geänderte Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Versuch einen Stern zu gewinnen, auf ganze Prozent genau. (3BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung

Die geänderte Wahrscheinlichkeit, bei einem Versuch einen Stern zu gewinnen

Es ist bekannt, dass $P(X\leq 3)\approx0{,}62$ ist. Dabei ist $n=10$ und $p$ ist unbekannt.

$P(X\leq 3)=\text{binomcdf(10,p,0{,}3)}\approx0{,}62$

Erstelle eine Tabelle mit verschiedenen p-Werten:

p	$\text{binomcdf(10,p,0{,}3)}$
$0{,}1$	$0{,}9872$
$0{,}2$	$0{,}8791$
$0{,}3$	$0{,}6496$
$0{,}31$	$0{,}6228$
$0{,}32$	$0{,}5956$

Für $p=0{,}31$ ist $P(X\leq 3)=\text{binomcdf(10{,}0.31{,}0,3)}\approx0{,}623$ .

Die geänderte Wahrscheinlichkeit, bei einem Versuch einen Stern zu gewinnen, beträgt etwa $0{,}31$ bzw. $31\;\%$ .

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Außerdem hat jeder Spieler täglich einmal die Möglichkeit, allein durch Starten des Spiels Bonuspunkte zu erhalten. Durch das Starten wird ihm automatisch eine zufällig bestimmte Anzahl von Bonuspunkten gutgeschrieben. Der Tabelle können die möglichen Anzahlen und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten entnommen werden.

Ein Spieler startet das Spiel an drei aufeinanderfolgenden Tagen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Spieler von Tag zu Tag weniger Bonuspunkte erhält. (2BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Spieler von Tag zu Tag weniger Bonuspunkte erhält
Angenommen, der Spieler erhält am ersten Tag $50$ Bonuspunkte mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}1$ . Am nächsten Tag soll er weniger Bonuspunkte erhalten, also nun $20$ , mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}4$ . Einen Tag weiter erhält er dann $10$ Bonuspunkte mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}5$ .

Insgesamt beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit also $0{,}1 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 2\;\%$ .
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Bestimme, welche Kombination von Bonuspunkten der Spieler erhält.
Berechne die Wahrscheinlichkeit mithilfe des Produkts.
Ein Spieler startet das Spiel an vier Tagen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Spieler dabei insgesamt $80$ Bonuspunkte erhält. (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Spieler dabei insgesamt $80$ Bonuspunkte erhält
Der Spieler startet das Spiel an vier Tagen. An jedem Tag erhält der Spieler eine bestimmte Anzahl von Bonuspunkten. Die Summe aus den vier Tagen muss also $80$ sein.
Es gibt zwei mögliche Kombinationen $80$ Punkte zu erhalten:
$\mathrm{(I)}\;\;$ $20+20+20+20=80$ oder $\mathrm{(II)}\;$ $10+10+10+50=80$
Die Wahrscheinlichkeit für die Kombination $\mathrm{(I)}$ ist $0{,}4^4$ .
Die Wahrscheinlichkeit für die Kombination $\mathrm{(II)}$ ist $4\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^3\cdot 0{,}1$ .
Die gesamte Wahrscheinlichkeit ist dann:
$0{,}4^4+4\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^3\cdot 0{,}1=0{,}0756$
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Spieler dabei insgesamt $80$ Bonuspunkte erhält, beträgt rund $8\;\%$ .
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Überlege, welche möglichen Kombinationen es gibt, $80$ Punkte zu erhalten.
Berechne dann die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeiten für $10$ und $20$ Bonuspunkte werden so geändert, dass die Spieler im Zeitraum von $200$ Tagen, an denen das Spiel gestartet wird, im Mittel $3000$ Bonuspunkte erhalten.
Ermitteln Sie die beiden geänderten Wahrscheinlichkeiten. (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Ermitteln Sie die beiden geänderten Wahrscheinlichkeiten
Die Spieler erhalten im Zeitraum von $200$ Tagen, an denen das Spiel gestartet wird, im Mittel $3000$ Bonuspunkte.
Pro Tag erhalten sie also im Mittel $\dfrac{3000}{200}=15$ Bonuspunkte.
Es ist x die Wahrscheinlichkeit für $10$ Bonuspunkte. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für $20$ Bonuspunkte $1-0{,}1-x=0{,}9-x$ .
Siehe Tabelle:
Anzahl Bonuspunkte
$10$
$20$
$50$
Wahrscheinlichkeit
$x$
$0{,}9-x$
$0{,}1$
Berechne den Erwartungswert mit der Tabelle und löse mit dem TR:
$10\cdot x+20\cdot (0{,}9-x)+50\cdot 0{,}1 =15$
Also ist $x=0{,}8$ und die Wahrscheinlichkeit für $10$ Bonuspunkte ist $80\;\%$ .
Die Wahrscheinlichkeit für $20$ Bonuspunkte ist $10\;\%$ .
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Berechne, wie viele Bonuspunkte die Spieler pro Tag erhalten. $\Rightarrow\;$ Erwartungswert
Es ist $x$ die Wahrscheinlichkeit für $10$ Bonuspunkte.
Ergänze die Wahrscheinlichkeitstabelle und berechne den Erwartungswert.

Anzahl Bonuspunkte	$10$	$20$	$50$
Wahrscheinlichkeit	$x$	$0{,}9-x$	$0{,}1$

6

Aufgabe 2C

Ein Unternehmen produziert Leiterplatten zum Einbau in elektronische Geräte. Aus Erfahrung weiß man, dass $3 \%$ der Leiterplatten fehlerhaft sind. $600$ Leiterplatten werden zufällig ausgewählt. Die Anzahl der fehlerhaften Leiterplatten unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschrieben werden.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ausgewählten Leiterplatten
- $25$ Leiterplatten fehlerhaft sind.
- maximal $20$ Leiterplatten fehlerhaft sind.
- mehr als $15$ aber weniger als $30$ Leiterplatten fehlerhaft sind.
(5BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten $25$ Leiterplatten fehlerhaft sind
Berechne $P(X=25)$ :
$P(X=25)=\text{binompdf(600{,}0.03{,}25)}\approx0{,}0232$
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten $25$ Leiterplatten fehlerhaft sind, beträgt rund $2{,}3\;\%$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten maximal $20$ Leiterplatten fehlerhaft sind
Berechne $P(X\leq 20)$ :
$P(X\leq 20)=\text{binomcdf(600{,}0.03{,}0,20)}\approx0{,}7732$
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten maximal $20$ Leiterplatten fehlerhaft sind, beträgt rund $77{,}3\;\%$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten mehr als $15$ aber weniger als $30$ Leiterplatten fehlerhaft sind
Berechne $P(15<X< 30)$ : $P(15<X< 30)=P(16\leq X\leq 29)=\text{binomcdf(600{,}0.03{,}16{,}29)}\approx0{,}7117$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten mehr als $15$ aber weniger als $30$ Leiterplatten fehlerhaft sind, beträgt rund $71{,}2\;\%$ .
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Teil 1
Berechne $P(X=25)$ .
Teil 2
Berechne $P(X\leq 20)$ .
Teil 3
Berechne $P(15<X< 30)$ .
Geben Sie die Bedeutung des folgenden Terms im Sachzusammenhang an:
(2BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang
Der Term stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass von $600$ zufällig ausgewählten
Leiterplatten $550$ oder $551$ fehlerfrei sind.
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Was bedeuten die Zahlen $550$ und $551$ und welche Bedeutung hat die Wahrscheinlichkeit $0{,}97$ ?
Jede fehlerhafte Leiterplatte wird untersucht. Sie weist entweder Fehler $1$ oder Fehler $2$ auf. Die Wahrscheinlichkeit für Fehler $1$ beträgt $80 \%$ , die für Fehler $2$ beträgt $20 \%$ .
Beim Standardverfahren wird der vorliegende Fehler mit absoluter Sicherheit gefunden. Es wird zunächst Fehler $1$ gesucht. Falls dieser an keiner Stelle vorliegt, muss die Stelle gesucht werden, an der Fehler $2$ vorliegt. Die Suche von Fehler $1$ kostet $12 €$ , die Suche von Fehler $2$ kostet $3 €$ .
Geben Sie die Kosten an, die dem Unternehmen entstehen, wenn bei einer Leiterplatte der Fehler $2$ gefunden wird.
Weisen Sie nach, dass die zu erwartenden Kosten für das Standardverfahren
$12{,}60 €$ pro Leiterplatte betragen. (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Die Kosten, die dem Unternehmen entstehen, wenn bei einer Leiterplatte der Fehler $2$ gefunden wird
Die Kosten betragen $12\;€+3\;€=15\;€$ .
Die zu erwartenden Kosten für das Standardverfahren betragen $12{,}60\;€$ pro Leiterplatte
Zu erwartende Kosten pro Leiterplatte:
Es fallen $12\;€$ für den Fehler $1$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}8$ und $15\;€$ für den Fehler $2$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}2$ an:
$0{,}8\cdot 12\;€ + 0{,}2 \cdot 15\;€ = 12{,}60\;€$
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Teil 1
Addiere die Kosten für den Fehler $1$ und Fehler $2$ .
Teil 2
Berechne die Kosten je Fehler mal die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler (Erwartungswert).
Um Kosten einzusparen, wird für die fehlerhaften Leiterplatten ein Schnelltest vorgeschlagen: In diesem wird bei den fehlerhaften Leiterplatten ausschließlich Fehler $1$ gesucht. Dieser Schnelltest kostet nur $2 €$ , allerdings wird ein vorhandener Fehler $1$ nur in $50 \%$ der Fälle gefunden.
Wird mit diesem Schnelltest der Fehler $1$ nicht gefunden, wird anschließend das Standardverfahren durchgeführt.
Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Fehler $1$ in diesem Schnelltest nicht gefunden wird, $60 \%$ beträgt.
Bestimmen Sie unter der Bedingung, dass bei dem Schnelltest Fehler $1$ nicht gefunden wurde, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der vorhandene Fehler trotzdem Fehler $1$ ist. (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit, dass Fehler $1$ in diesem Schnelltest nicht gefunden wird, beträgt $60 \;\%$
Fehler $1$ wird während des Schnelltests in $50 ~\%$ der Fälle gefunden, in denen
Fehler $1$ tatsächlich vorliegt, in allen anderen Fällen nicht.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Fehler $1$ vorliegt und gefunden wird, beträgt $0{,}8\cdot 0{,}5=0{,}4$ .
Die Gegenwahrscheinlichkeit, dass Fehler $1$ nicht gefunden wird, ist dann
$1 − 0{,}4 = 0{,}6$ .
Bestimmen Sie unter der Bedingung, dass bei dem Schnelltest Fehler $1$ nicht gefunden wurde, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der vorhandene Fehler trotzdem Fehler $1$ ist
Es ist $F$ : Fehler $1$ liegt vor und wird gefunden und $\overline{F}$ : Fehler $1$ wird nicht gefunden.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Fehler $1$ vorliegt und gefunden wird, beträgt $0{,}8\cdot 0{,}5=0{,}4$ und es ist $P(\overline{F})=0{,}6$ .
Gesucht ist $P_{\overline{F}}(F)=\dfrac{0{,}8\cdot 0{,}5}{0{,}6}=\dfrac{2}{3}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass der vorhandene Fehler trotzdem Fehler $1$ ist, beträgt $\dfrac{2}{3}$ .

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Teil 1
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Fehler $1$ vorliegt und gefunden wird.
Gesucht ist die Gegenwahrscheinlichkeit dazu.
Teil 2
Gesucht ist $P_{\overline{F}}(F)$ .
Dabei ist $F$ : Fehler $1$ liegt vor und wird gefunden und $\overline{F}$ : Fehler $1$ wird nicht gefunden.
Untersuchen Sie, ob sich die zu erwartenden Kosten pro Leiterplatte für die Fehlersuche mit Schnelltest und Standardverfahren tatsächlich verringern. (5BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Die zu erwartenden Kosten pro Leiterplatte für die Fehlersuche mit Schnelltest und Standardverfahren verringern sich tatsächlich
In Aufgabe c) waren die zu erwartende Kosten pro Leiterplatte berechnet worden:
$0{,}8\cdot 12\;€ + 0{,}2 \cdot 15\;€ = 12{,}60\;€$
Der Schnelltest kostet $2\;€$ , allerdings wird ein vorhandener Fehler $1$ nur in $50\;\%$ der Fälle gefunden.
Zu den Kosten aus Aufgabe c) kommen die $2\;€$ hinzu und die Kosten für den Fehler $1$ treten nur zu $\textcolor{cc0000}{50\;\%}$ auf.
Also erhält man: $2\;€+\textcolor{cc0000}{0{,}5}\cdot 0{,}8\cdot 12\;€ + 0{,}2 \cdot 15\;€ = 9{,}80\;€$
Die zu erwartenden Kosten pro Leiterplatte für die Fehlersuche mit Schnelltest betragen $9{,}80\;€$ gegenüber $12{,}60 \;€$ für das Standardverfahren.
Die zu erwartenden Kosten haben sich also verringert.
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Der Schnelltest kostet $2\;€$ , allerdings wird ein vorhandener Fehler $1$ nur in $50\;\%$ der Fälle gefunden.
Berücksichtige diese Aussage beim Ergebnis aus Aufgabe c).

7

Aufgabe 3A

Die Abbildung zeigt die Pyramide $A B C D S$ mit

$A(0|0| 0), B(2|0| 0), C(2|2| 0), D(0|2| 0)$ und $S(1|1| 4)$ .

Die Grundfläche $A B C D$ ist quadratisch.

Der Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche $A B C D$ wird mit $T$ bezeichnet.

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $T$ an.
Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche der Pyramide $A B C D S$ . (6BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Die Koordinaten des Punktes $T$
$\overrightarrow{OT}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$
Die Koordinaten des Punktes sind $T(1|1|0)$ .
Der Inhalt der Oberfläche der Pyramide $ABCDS$
$O_{ABCDS}=A_G+4\cdot A_{\triangle}=2\cdot 2+4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot h=4+4\cdot h$
Berechnung der Höhe der Seitenfläche $h$
Die Mitte der Seite $\overline{BC}$ ist: $\overrightarrow{OU}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$
Dann ist der Vektor $\overrightarrow{US}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OU}=\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\4\end{pmatrix}$ .
Die Höhe der Seitenfläche ist:
$h=\left|\overrightarrow{US}\right|=\left|\begin{pmatrix}-1\\0\\4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1)^2+0^2+4^2}=\sqrt{17}$
Damit ergibt sich der Inhalt der Pyramidenoberfläche zu:
$O_{ABCDS}=4+4\cdot h=4+4\cdot \sqrt{17}$
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Teil 1
Berechne $\overrightarrow{OT}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right)$
Teil 2
Berechne $O_{ABCDS}=A_G+4\cdot A_{\triangle}$

Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen den Kanten $\overline{A S}$ und $\overline{A B}$ . (3BE)

Der Mittelpunkt der Kante $\overline{C D}$ wird mit $M$ bezeichnet.

Untersuchen Sie, ob es einen Punkt $P$ auf der Kante $\overline{D S}$ gibt, für den das Dreieck $B M P$ im Punkt $M$ rechtwinklig ist. (5BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie

Gibt es einen Punkt $P$ auf der Kante $\overline{D S}$ , für den das Dreieck $B M P$ im Punkt $M$ rechtwinklig ist?

$M$ ist der Mittelpunkt der Kante $\overline{C D}$ :

$\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$

Also ist $M(1|2|0)$ .

Erstelle eine Geradengleichung durch die Punkte $D$ und $S$ .

$\overrightarrow{DS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$

$g:\;\vec x=\overrightarrow{OD}+r\cdot \overrightarrow{D S}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$

Ein möglicher Punkt $P\in\overline{C S}$ hat die Form $(r|2 − r|4r)$ mit $0\leq r\leq 1$ .

Das Dreieck soll im Punkt $M$ rechtwinklig sein $\;\Rightarrow\;\overrightarrow{MB}\circ\overrightarrow{MP}=0$ .

$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}r\\2-r\\4r\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r-1\\-r\\4r\end{pmatrix}$

$\displaystyle \overrightarrow{MB}\circ\overrightarrow{MP}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze die berechneten Vektoren ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}r-1\\-r\\4r\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle r-1+2r$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle 3r$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}$

Man hat eine Lösung für $r$ gefunden, d.h. es gibt einen solchen Punkt.

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Die vier Punkte $E, F, G$ und $H$ liegen jeweils auf einer der vier vom Punkt $S$ ausgehenden Kanten und haben alle die $z$ -Koordinate $1$ (vgl. Abbildung).
Gegeben ist die folgende Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten:
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ 1\end{array}\right)$ liefert $k=\frac{1}{4}$ und damit $x=1{,}75$ und $y=0{,}25$ .
Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den Ansatz der gegebenen Lösung. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den Ansatz der gegebenen Lösung
Aufgabenstellung: Bestimmen Sie die x- und y-Koordinaten des Punktes $F$ .
Ansatz der gegebenen Lösung:
Auf der linken Seite der Gleichung steht die Geradengleichung durch die Punkte $D$ und $S$ . Die rechte Seite der Gleichung ist ein Vektor zu einem Punkt auf der Geraden, der die z-Koordinate $1$ hat. Berechnet werden mit diesem Ansatz die Koordinaten des Punktes $F$ .
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Teil 1
Gesucht sind die x- und y-Koordinaten eines Punktes, der auf einer bestimmten Geraden liegt.
Teil 2
Beachte, was auf den beiden Seiten der Gleichung steht.
Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide $EFGHT$ . (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Das Volumen der Pyramide $EFGHT$
$V_{EFGHT}=\dfrac{1}{3}\cdot \left|\overrightarrow{FG}\right|^2\cdot h$
Mit dem Ergebnis aus Aufgabe d) erhält man die Koordinaten von $F(1{,}75|0{,}25|1)$ und $G(1{,}75|1{,}75|1)$ . (Da die Fläche quadratisch ist, muss die y-Koordinate von $G$ gleich der x-Koordinate von $F$ sein.)
$\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}1{,}75\\1{,}75\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1{,}75\\0{,}25\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1{,}5\\0\end{pmatrix}$
$\Rightarrow\left|\overrightarrow{FG}\right|=1{,}5$
Die Höhe entspricht $h=1$ , da alle Punkte der Grundfläche die z-Koordinate $z=1$ haben.
$\;\Rightarrow\;V_{EFGHT}=\dfrac{1}{3}\cdot 1{,}5^2\cdot1=\dfrac{3}{4}$
Das Volumen der Pyramide $EFGHT$ beträgt $\dfrac{3}{4}$ .
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Bestimme mit dem Ergebnis aus Aufgabe d) die Koordinaten von $F$ und $G$ .
Berechne das Volumen mit $V_{EFGHT}=\dfrac{1}{3}\cdot \left|\overrightarrow{FG}\right|^2\cdot h$

8

Aufgabe 3B

Das Rechteck $O A E K$ stellt ein Tennisspielfeld dar. Die Koordinaten für die folgenden Punkte lauten: $O(0|0| 0), A(27|0| 0), B(27|18| 0), C(27|39| 0), E(27|78| 0), F(27|39| 3{,}5)$ und $M(13{,}5|39| 3)$ .

Alle Koordinaten haben die Längeneinheit Fuß (ft). Das Netz ist an Pfosten befestigt, die durch die Strecken $\overline{C F}$ und $\overline{G H}$ dargestellt sind. Es hat an den Enden eine Höhe von 3,5 ft und fällt geradlinig ab, bis es in der Mitte $M$ nur noch eine Höhe von $3 \mathrm{ft}$ hat. Der Boden wird durch die $x y$ -Ebene dargestellt. Der Ball wird als punktförmig angenommen.

Geben Sie die Koordinaten der Punkte $D$ und $H$ an.
Berechnen Sie die Länge der Diagonalen des Spielfeldes. (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Die Koordinaten der Punkte $D$ und $H$
$D$ hat dieselbe x-Koordinate wie der Punkt $A$ also $27$ .
Die y-Koordinate vom Punkt $B$ ist $18$ und die vom Punkt $C$ ist $39$ . Der Abstand der beiden Punkte $B$ und $C$ ist also $39-18=21$ .
Um die y-Koordinate des Punktes $D$ zu erhalten, muss zur y-Koordinate $39$ vom Punkt $C$ $21$ addiert werden $\;\Rightarrow\; 39+21=60$ .
Die z-Koordinate von $D$ ist $0\;\Rightarrow\;D(27|60|0)$
$H$ hat die x-Koordinate $x=0$ .
$H$ hat dieselbe y-Koordinate wie der Punkt $C$ , also $y=39$ .
Die z-Koordinate von $H$ ist gleich der z-Koordinaten von $F$ , also $z=3{,}5$ .
$\Rightarrow\;H(0|39|3{,}5)$
Die Länge der Diagonalen des Spielfeldes
Die Länge der Diagonale ist:
$|\overrightarrow{OE}|=\sqrt{27^2+78^2+0^2}=\sqrt{6813}\approx82{,}5$
Die Länge der Diagonalen des Spielfeldes beträgt rund $82{,}5\;\text{ft}$ .
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$D$ liegt nicht in der Mitte von $C$ und $E$ . Betrachte die Koordinaten von $B$ und $C$ .
$H$ kann aus den Koordinaten von $F$ bestimmt werden. Betrachte zudem die x-Koordinate des Ursprungs.

Bei einem Aufschlag wird der Ball im Punkt $P(13|0| 10{,}4)$ getroffen und fliegt in Richtung $\def\arraystretch{1.25} \vec{v}=\left(\begin{array}{c}13 \\ 58{,}5 \\ -10{,}4\end{array}\right)$ . Er trifft im Punkt $Q(26|58{,}5| 0)$ auf dem Boden auf. Es kann vorausgesetzt werden, dass der Ball das Netz überquert und dass die $x$ -Koordinate zu diesem Zeitpunkt größer als $13{,}5$ ist. Die Flugbahn des Balls wird als geradlinig angenommen.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem der Ball sich über dem Netz befindet. [Zur Kontrolle: $R\left(\frac{65}{3}|39| \frac{52}{15}\right)$ ]

Berechnen Sie die Höhe des Netzes an der Stelle, an der der Ball das Netz überquert.

(7BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie

Die Koordinaten des Punktes, in dem der Ball sich über dem Netz befindet

Der Punkt $R$ , in dem der Ball das Netz überquert, hat die gleiche y-Koordinate wie der Punkt $C, y=39$ : $\;\Rightarrow\;R(x|39|z)$

Der Punkt $R(x|39|z)$ liegt auf der Flugbahn $\vec x= \overrightarrow{OP}+r\cdot \vec v$ .

$\begin{pmatrix}x\\39\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\0\\10{,}4\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\-10{,}4\end{pmatrix}$

Aus Gleichung $\mathrm{ (II)}$ folgt: $r=\dfrac{39}{58{,}5}=\dfrac{2}{3}$ .

Damit ist dann $x=13+\dfrac{2}{3}\cdot 13=\dfrac{65}{3}$ und $z=10{,}4+\dfrac{2}{3}\cdot (-10{,}4)=\dfrac{52}{15}$

Der Punkt $R$ hat die Koordinaten $R\left(\frac{65}{3}|39|\frac{52}{15}\right)$

Die Höhe des Netzes an der Stelle, an der der Ball das Netz überquert

Die Netzoberkante wird durch folgende Gleichung beschrieben:

$l:\;\vec x=\overrightarrow{OF}+s\cdot \overrightarrow{FM}$

$l:\;\vec x=\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}+s\cdot \left(\begin{pmatrix}13{,}5\\39\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-13{,}5\\0\\-0{,}5\end{pmatrix}$

Der Punkt der Netzoberkante, der überquert wird, ist $V(\frac{65}{3}\mid 39\mid z)$ .

Der Punkt $V$ muss auf der Netzoberkante $l$ liegen:

$\begin{pmatrix}\frac{65}{3}\\39\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-13{,}5\\0\\-0{,}5\end{pmatrix}$

Gleichung $\mathrm{(I)}$ lautet: $\dfrac{65}{3}=27-13{,}5\cdot s$

Auflösung nach $s$ :

$\displaystyle \frac{65}{3}$	$=$	$\displaystyle 27-13{,}5\cdot s\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$	$\displaystyle +13{,}5\cdot s-\frac{65}{3}$
	↓	Löse nach $s$ auf.
$\displaystyle 13{,}5\cdot s$	$=$	$\displaystyle 27-\dfrac{65}{3}$
$\displaystyle 13{,}5\cdot s$	$=$	$\displaystyle \dfrac{16}{3}$	$\displaystyle :13{,}5$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle \dfrac{16}{\dfrac{3}{13{,}5}}$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle \dfrac{32}{81}$

Dann folgt für die z-Koordinate:

$z=3{,}5+\dfrac{32}{81}\cdot (-0{,}5)=\dfrac{535}{162}\approx3{,}3$

Der Punkt $V$ hat die Koordinaten $V(\frac{65}{3}|39|\frac{535}{162})$ .

Das Netz hat eine Höhe von etwa $3{,}3\;\text{ft}$ an der Stelle, an der es von dem Ball

überquert wird.

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Spiegelt man die Gerade, die die Flugbahn des Balles beschreibt, an der $x y$ -Ebene, ergibt sich die Gerade $h$ . Die Gerade $h$ beschreibt die Flugbahn direkt nach dem Aufprall.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Gerade $h$ . (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Gleichung der Geraden $h$
Der Punkt $P(13|0|10{,}4)$ muss an der xy-Ebene gespiegelt werden.
$\Rightarrow\;P'(13|0|-10{,}4)$
Die Gerade $h$ geht durch die Punkte $P'(13|0|-10{,}4)$ und $Q(26|58{,}5| 0)$ .
$h:\;\vec x=\overrightarrow{OQ}+r\cdot \overrightarrow{P'Q}$
mit $r\in\mathbb{R}$ .
Die Gleichung der Geraden $h$ lautet:
$h:\;\vec x=\begin{pmatrix}26\\58{,}5\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\10{,}4\end{pmatrix}$
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Der Punkt $P(13|0|10{,}4)$ muss an der xy-Ebene gespiegelt werden $\;\Rightarrow\;P'$
Bestimme die Gerade $h$ durch die Punkte $P'$ und $Q$ .
Im Punkt $S(k|39| 7), k \in \mathbb{R}$ , befindet sich eine Kamera. Sie zeichnet die Flugbahn des Balles von Punkt $P$ nach Punkt $Q$ auf.
Bestimmen Sie den Wert von $k$ so, dass die Kamera den gleichen Abstand zu Punkt $P$
und zu Punkt $Q$ hat. (5BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Der Wert von $k$ , sodass die Kamera den gleichen Abstand zu Punkt $P$ und zu Punkt $Q$ hat
Gegeben sind $S(k|39| 7)$ , $P(13|0| 10{,}4)$ und $Q(26|58{,}5| 0)$ .
$\overrightarrow{SP}=\begin{pmatrix}13\\0\\10{,}4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}k\\39\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13-k\\-39\\3{,}4\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{SQ}=\begin{pmatrix}26\\58{,}5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}k\\39\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}26-k\\19{,}5\\-7\end{pmatrix}$
Für den gleichen Abstand muss $|\overrightarrow{SP}|=|\overrightarrow{SQ}|$ sein:
$\Rightarrow\;\sqrt{(13-k)^2+(-39)^2+3{,}4^2}=\sqrt{(26-k)^2+19{,}5^2+(-7)^2}$
Die Lösung ist $k=-22{,}935$ .
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Berechne die Vektoren $\overrightarrow{SP}$ und $\overrightarrow{SQ}$ .
Für den gleichen Abstand muss $|\overrightarrow{SP}|=|\overrightarrow{SQ}|$ sein.

9

Aufgabe 3C

In einem Koordinatensystem mit Ursprung $O(0|0| 0)$ sind die folgenden Vektoren gegeben:

$\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O A}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -2\end{array}\right), \overrightarrow{O B}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 1{,}5 \\ -0{,}5\end{array}\right)$ und $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O C}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ -3\end{array}\right)$

Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Aussagen:
- Es gibt Werte für $a$ und $b$ , sodass gilt: $\overrightarrow{O C}=a \cdot \overrightarrow{O A}+b \cdot \overrightarrow{O B}$
- $\overrightarrow{O C}$ und $\overrightarrow{A B}$ sind nicht kollinear.
(4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearkombination
Es gibt Werte für $a$ und $b$ , sodass gilt: $\overrightarrow{O C}=a \cdot \overrightarrow{O A}+b \cdot \overrightarrow{O B}$
Setze die gegebenen Vektoren in die Gleichung für $\overrightarrow{O C}$ ein:
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ -3\end{array}\right)=a\cdot \left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)+b\cdot \left(\begin{array}{c}4 \\ 1{,}5 \\ -0{,}5\end{array}\right)$
Aus Gleichung $\mathrm{(II)}$ folgt: $-2=1{,}5\cdot b\;\Rightarrow\;b=-\dfrac{4}{3}$
$b=-\dfrac{4}{3}$ in Gleichung $\mathrm{(I)}$ eingesetzt ergibt:
$2=4\cdot a -\dfrac{4}{3}\cdot 4\;\Rightarrow\;2+\dfrac{16}{3}=4\cdot a\;\Rightarrow\;a=\dfrac{11}{6}$
Die Werte sind $a=\dfrac{11}{6}$ und $b=-\dfrac{4}{3}$ .
Die Gültigkeit folgender Aussagen: $\overrightarrow{O C}$ und $\overrightarrow{A B}$ sind nicht kollinear.
$\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O C}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ -3\end{array}\right)$ , $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 1{,}5 \\ -0{,}5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1{,}5 \\ 1{,}5\end{array}\right)$
Der Koordinatenvergleich der beiden Vektoren zeigt, dass die Vektoren nicht kollinear sind: $\overrightarrow{O C}\neq r\cdot\overrightarrow{AB}$
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Teil 1
Setze die gegebenen Vektoren in $\overrightarrow{O C}=a \cdot \overrightarrow{O A}+b \cdot \overrightarrow{O B}$ ein und löse das Gleichungssystem.
Teil 2
Berechne den Vektor $\overrightarrow{AB}$ und zeige, dass $\overrightarrow{O C}\neq r\cdot\overrightarrow{AB}$ .
Die Gerade durch die Punkte $A(4|0| − 2)$ und $B(4|1{,}5| − 0{,}5)$ wird mit $g$ bezeichnet.
Die Gerade durch die Punkte $O$ und $C(2|−2| − 3)$ wird mit $h$ bezeichnet.
Begründen Sie nur mit den Aussagen aus Teilaufgabe a), dass sich $g$ und $h$ in genau einem Punkt schneiden. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Begründen Sie nur mit den Aussagen aus Teilaufgabe a), dass sich $g$ und $h$ in genau einem Punkt schneiden.
Wie in Aufgabe a) gezeigt wurde, ist der Vektor $\overrightarrow{O C}$ eine Linearkombination der beiden Vektoren $\overrightarrow{O A}$ und $\overrightarrow{O B}$ . Somit folgt, die Geraden $g$ und $h$ liegen in einer Ebene. Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der Vektor $\overrightarrow{AB}$ und der Vektor $\overrightarrow{OC}$ ist der Richtungsvektor der Geraden $h$ . Die Vektoren $\overrightarrow{O C}$ und $\overrightarrow{A B}$ sind nicht kollinear, d.h. $g$ und $h$ sind weder parallel noch identisch und haben somit einen Schnittpunkt.
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Der Vektor $\overrightarrow{O C}$ ist eine Linearkombination der beiden Vektoren $\overrightarrow{O A}$ und $\overrightarrow{O B}$ .
Die Geraden $g$ und $h$ liegen in einer Ebene.
Der Richtungsvektor der Geraden $g$ und der Richtungsvektor der Geraden $h$ sind nicht kollinear.
Was folgt daraus für die Lage der beiden Geraden?
Die Geraden $g$ und $h$ liegen in der Ebene $E$ mit der Gleichung
$\def\arraystretch{1.25} \vec{x}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 1{,}5 \\ 1{,}5\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}-2 \\ -2 \\ -1\end{array}\right), s \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}$ .
Für jeden Wert von $a \in \mathbb{R}$ wird ein Punkt $D_{a}\left(a|1| 1-\frac{a}{2}\right)$ betrachtet.
Geben Sie eine Gleichung der Geraden durch $B$ und $D_{1}$ an. (2BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Eine Gleichung der Geraden durch $B$ und $D_{1}$
Es ist $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O B}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 1{,}5 \\ -0{,}5\end{array}\right)$ und $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O D_1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 0{,}5\end{array}\right)$ .
Dann ist die gesuchte Geradengleichung:
$\def\arraystretch{1.25} \vec x=\overrightarrow{O D_1}+r\cdot \overrightarrow{D_1B}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 0{,}5\end{array}\right)+r \cdot \left(\begin{array}{c}3 \\ 0{,}5 \\ -1\end{array}\right)$
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Bestimme den Vektor $\overrightarrow{O D_1}$ .
Erstelle die Geradengleichung durch $B$ und $D_{1}$ .
Zeigen Sie, dass der Punkt $D_{a}$ für jeden Wert von $a$ in der Ebene $E$ liegt. (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung Punkt-Ebene (Inzidenz)
Der Punkt $D_{a}$ liegt für jeden Wert von $a$ in der Ebene $E$
Gegeben sind der Vektor $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O D_a}=\left(\begin{array}{c}a \\ 1\\ 1-0{,}5\cdot a\end{array}\right)$ und die Ebene $\def\arraystretch{1.25} E:\;\vec{x}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 1{,}5 \\ 1{,}5\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}-2 \\ -2 \\ -1\end{array}\right), s \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}$ .
Der Punkt $D_{a}$ liegt in der Ebene $E$ . Dann ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}a \\ 1\\ 1-0{,}5\cdot a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 1{,}5 \\ 1{,}5\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}-2 \\ -2 \\ -1\end{array}\right)$
Die Gleichungen $\mathrm{(II)}$ und $\mathrm{(III)}$ werden mit dem TR gelöst:
Es ergeben sich die Lösungen $s=-\dfrac{2}{3} a+\dfrac{10}{3}=\dfrac{2}{3}\cdot(5-a)$ und $t=-\dfrac{1}{2} a+2=\dfrac{1}{2}\cdot (4-a)$ .
Damit liegen alle Punkte $D_a$ in der Ebene $E$ .
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Setze in der Ebenengleichung für den Vektor $\vec x$ den Vektor $\overrightarrow{O D_1}$ ein.
Löse das Gleichungssystem.
Berechnen Sie den Wert von $a$ , sodass sich die Gerade $g$ und die Gerade durch die Punkte $B$ und $D_{a}$ orthogonal schneiden. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zwei zueinander senkrechte Geraden (analytische Geometrie)
Die Gerade durch die Punkte $A(4|0| − 2)$ und $B(4|1{,}5| − 0{,}5)$ wird mit $g$ bezeichnet. Der Richtungsvektor von $g$ ist $\overrightarrow{AB}$ und der Richtungsvektor der Geraden durch die Punkte $B$ und $D_{a}$ ist $\overrightarrow{D_a B}$ .
Die beiden Geraden schneiden sich orthogonal, wenn $\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{D_a B}=0$ ist.
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}0 \\ 1{,}5\\ 1{,}5\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}4 -a\\ 0{,}5 \\ -1{,}5+0{,}5\cdot a\end{array}\right)=0+1{,}5\cdot 0{,}5+1{,}5\cdot (-1{,}5+0{,}5\cdot a)=0$
$\Rightarrow\;0{,}75-2{,}25+0{,}75 \cdot a=0\;\Rightarrow\;-1{,}5+0{,}75\cdot a=0\;\Rightarrow\;a=2$
Für $a=2$ schneiden sich die Geraden orthogonal.
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Die beiden Geraden schneiden sich orthogonal, wenn $\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{D_a B}=0$ ist.

Bestimmen Sie den Wert von $a$ , für den der Abstand von $A$ und $D_{a}$ minimal ist. (4BE)

$\displaystyle \left\|\overrightarrow{ AD_a}\right\|$	$=$	$\displaystyle \sqrt{(a-4)^2+1^2+(3-0{,}5\cdot a)^2}$
	↓	Berechne die Quadrate.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{a^2-8a+16+1+9-3\cdot a+0{,}25\cdot a^2}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\dfrac{5}{4}\cdot a^2-11\cdot a+26}$

$\displaystyle \cos\alpha$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overrightarrow{AS}\circ \overrightarrow{AB}}{\left\|\overrightarrow{AS}\right\|\cdot \left\|\overrightarrow{AB}\right\|}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+1^2+4^2}\cdot\sqrt{2^2+0^2+0^2}}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{18}\cdot 2}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{18}}$

Wahlteil - GTR

Aufgabe 1A

Die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes

Der Zeitpunkt, zu dem die Konzentration erstmals den Wert 2,8 m gl\frac{\text{m g}}{\text{l}}lm g​ annimmt

Wie lange beträgt die Konzentration mindestens 0,5 m gl0{,}5 \;\frac{\text{m g}}{\text{l}}0,5lm g​?

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Bestimmen Sie f′(0,5)f^{\prime}(0{,}5)f′(0,5).

Interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang

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Der Zeitpunkt, zu dem die Konzentration am stärksten abnimmt

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Wann ist die Konzentration im Blut am größten?

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Interpretieren Sie diese Aussage im Sachkontext

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Die durchschnittliche Änderungsrate der Konzentration ist so groß wie die momentane Änderungsrate der Konzentration 0,750{,}750,75 Stunden nach der Einnahme

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Die Gesamtkonzentration eine Stunde nach der zweiten Einnahme

Die Gesamtkonzentration soll 6mgl6 \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}6lmg​ nicht übersteigen

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Bestimmen Sie für z=5z=5z=5 den Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikamentes, zu dem die Konzentration nach diesem vereinfachten Modell null ist

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Gibt es einen Zeitpunkt zzz, sodass die Konzentration genau 6 Stunden nach der Einnahme null ist

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Aufgabe 1B

Geben Sie f(2)f(2)f(2) an und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang

Begründen Sie mithilfe des Graphen von fff, dass der Wasserstand im Stausee ständig ansteigt

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Die Länge des Zeitraums, in dem die Zuflussrate geringer als 1000m3h1000 \frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{h}}1000hm3​

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Berechnen Sie die maximale Zuflussrate im Beobachtungszeitraum

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Die Zeitpunkte, an denen die Zuflussrate am stärksten abnimmt

Die Zeitpunkte, an denen die Zuflussrate am stärksten zunimmt

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Gibt es eine Zuflussrate, die sich eine Stunde später verdoppelt hat?

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Der Anstieg der Wasserhöhe innerhalb der 24 Stunden

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Berechnen Sie den Zeitpunkt ttt

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Bestimmen Sie die Abflussrate des Stausees so, dass sich 242424 Stunden nach Beobachtungsbeginn genauso viel Wasser im Stausee befindet wie zu Beobachtungsbeginn

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Begründen Sie auch mithilfe einer Skizze und ohne Rechnung, dass etwa zum Zeitpunkt 14,3 h14{,}3 \;\text{h}14,3h die Wassermenge im Stausee maximal ist

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Aufgabe 1C

Erfüllt dieser Deich diese Regel, und begründen Sie Ihre Entscheidung nur mithilfe der Abbildung

Intervall, in dem der Klimadeich mindestens 5 m5 \mathrm{~m}5 m hoch ist

Entscheidung, ob der Klimadeich diese Regel (etwa fünfmal so breit wie er hoch) erfüllt

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Durchschnittliche Steigung des Klimadeiches im Intervall [0;30][0; 30][0;30]

Neigungswinkel des Klimadeiches an der Stelle x=0x=0x=0

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Die Höhe, in der die Sickerlinie auf der Wasserseite des Deichs beginnt

Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Sickerlinie stets oberhalb des Bodens verläuft

Der prozentuale Anteil des feuchten Bereichs im Querschnitt des Deichs

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Ein Näherungswert für aaa, sodass hhh den Beginn der Sickerlinie in der Höhe von 2 m2\;\text{m}2m auf der Wasserseite beschreibt

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Die Breite des abgeplatteten Bereichs, wenn der Deich genau 8 m8 \mathrm{~m}8 m hoch sein soll

Die Höhe des Deichs, wenn der abgeplattete Bereich 9 m9 \mathrm{~m}9 m breit ist

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Aufgabe 2A

Unter allen Personen ohne Abitur beträgt der Anteil derjenigen, die nicht weiblich sind, etwa 53%53 \%53%.

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Ein beschriftetes Baumdiagramm

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Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Personen 303030 mit Abitur sind

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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der ausgewählten Personen mit Abitur kleiner als der Erwartungswert dieser Anzahl ist

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Bestimmen Sie die Werte für aaa und bbb so, dass das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt

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Ermitteln Sie alle Werte, die für nnn infrage kommen

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Aufgabe 2B

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler bei zehn Versuchen mehr als sechs Sterne gewinnt

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Gültigkeit der Aussage

Der Zeitpunkt, zu dem die Konzentration erstmals den Wert 2,8 $\frac{\text{m g}}{\text{l}}$ annimmt

Wie lange beträgt die Konzentration mindestens $0{,}5 \;\frac{\text{m g}}{\text{l}}$ ?

Bestimmen Sie $f^{\prime}(0{,}5)$ .

Die durchschnittliche Änderungsrate der Konzentration ist so groß wie die momentane Änderungsrate der Konzentration $0{,}75$ Stunden nach der Einnahme

Die Gesamtkonzentration soll $6 \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}$ nicht übersteigen

Bestimmen Sie für $z=5$ den Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikamentes, zu dem die Konzentration nach diesem vereinfachten Modell null ist

Gibt es einen Zeitpunkt $z$ , sodass die Konzentration genau 6 Stunden nach der Einnahme null ist

Geben Sie $f(2)$ an und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang

Begründen Sie mithilfe des Graphen von $f$ , dass der Wasserstand im Stausee ständig ansteigt

Die Länge des Zeitraums, in dem die Zuflussrate geringer als $1000 \frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{h}}$

Berechnen Sie den Zeitpunkt $t$

Bestimmen Sie die Abflussrate des Stausees so, dass sich $24$ Stunden nach Beobachtungsbeginn genauso viel Wasser im Stausee befindet wie zu Beobachtungsbeginn

Begründen Sie auch mithilfe einer Skizze und ohne Rechnung, dass etwa zum Zeitpunkt $14{,}3 \;\text{h}$ die Wassermenge im Stausee maximal ist

Intervall, in dem der Klimadeich mindestens $5 \mathrm{~m}$ hoch ist

Durchschnittliche Steigung des Klimadeiches im Intervall $[0; 30]$

Neigungswinkel des Klimadeiches an der Stelle $x=0$

Ein Näherungswert für $a$ , sodass $h$ den Beginn der Sickerlinie in der Höhe von $2\;\text{m}$ auf der Wasserseite beschreibt

Die Breite des abgeplatteten Bereichs, wenn der Deich genau $8 \mathrm{~m}$ hoch sein soll

Die Höhe des Deichs, wenn der abgeplattete Bereich $9 \mathrm{~m}$ breit ist

Unter allen Personen ohne Abitur beträgt der Anteil derjenigen, die nicht weiblich sind, etwa $53 \%$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Personen $30$ mit Abitur sind

Bestimmen Sie die Werte für $a$ und $b$ so, dass das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt

Ermitteln Sie alle Werte, die für $n$ infrage kommen

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Spieler dabei insgesamt $80$ Bonuspunkte erhält

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten $25$ Leiterplatten fehlerhaft sind

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten maximal $20$ Leiterplatten fehlerhaft sind

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten mehr als $15$ aber weniger als $30$ Leiterplatten fehlerhaft sind

Die Kosten, die dem Unternehmen entstehen, wenn bei einer Leiterplatte der Fehler $2$ gefunden wird

Die zu erwartenden Kosten für das Standardverfahren betragen $12{,}60\;€$ pro Leiterplatte

Die Wahrscheinlichkeit, dass Fehler $1$ in diesem Schnelltest nicht gefunden wird, beträgt $60 \;\%$

Bestimmen Sie unter der Bedingung, dass bei dem Schnelltest Fehler $1$ nicht gefunden wurde, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der vorhandene Fehler trotzdem Fehler $1$ ist

Die Koordinaten des Punktes $T$

Der Inhalt der Oberfläche der Pyramide $ABCDS$

Die Größe des Winkels zwischen den Kanten $\overline{A S}$ und $\overline{A B}$

Gibt es einen Punkt $P$ auf der Kante $\overline{D S}$ , für den das Dreieck $B M P$ im Punkt $M$ rechtwinklig ist?

Das Volumen der Pyramide $EFGHT$

Die Koordinaten der Punkte $D$ und $H$

Gleichung der Geraden $h$

Der Wert von $k$ , sodass die Kamera den gleichen Abstand zu Punkt $P$ und zu Punkt $Q$ hat

Es gibt Werte für $a$ und $b$ , sodass gilt: $\overrightarrow{O C}=a \cdot \overrightarrow{O A}+b \cdot \overrightarrow{O B}$

Die Gültigkeit folgender Aussagen: $\overrightarrow{O C}$ und $\overrightarrow{A B}$ sind nicht kollinear.

Begründen Sie nur mit den Aussagen aus Teilaufgabe a), dass sich $g$ und $h$ in genau einem Punkt schneiden.

Eine Gleichung der Geraden durch $B$ und $D_{1}$

Der Punkt $D_{a}$ liegt für jeden Wert von $a$ in der Ebene $E$

Der Wert von $a$ , für den der Abstand von $A$ und $D_{a}$ minimal ist