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  1. 1

    Aufgabe 1A

    Die auf R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=5(e0,3xe4x)f(x)=5 \cdot\left(e^{-0{,}3 x}-e^{-4 x}\right) modelliert für 0x120 \leq x \leq 12 die Konzentration eines Medikamentenwirkstoffes im Blut. Dabei beschreibt xx die Zeit in Stunden (h)(h) nach der Einnahme des Medikamentes und f(x)f(x) die Konzentration im Blut in Milligramm pro Liter (mgl)\left(\frac{m g}{l}\right).

    Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden, dass f(x)=5(0,3e0,3x+4e4x)f^{\prime}(x)=5 \cdot\left(-0{,}3 e^{-0{,}3 x}+4 e^{-4 x}\right) gilt.

    1. Berechnen Sie die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes. Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die Konzentration erstmals den Wert 2,8 mgl\frac{m g}{l} annimmt.

      Bestimmen Sie, wie lange die Konzentration mindestens 0,5mgl0{,}5 \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}} beträgt. (6BE)

    2. Bestimmen Sie f(0,5)f^{\prime}(0{,}5) und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang. (2BE)

    3. Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration am stärksten abnimmt. (3BE)

    4. Die Konzentration im Blut sollte möglichst eine Stunde vor dem Schlafengehen am größten sein.

      Berechnen Sie, wie viele Stunden vor dem Schlafengehen das Medikament optimalerweise eingenommen werden sollte. (4BE)

    5. Für 1x121 \leq x \leq 12 hat die Gleichung f(x)=12f(x1)f(x)=\frac{1}{2} f(x-1) keine Lösung.

      Interpretieren Sie diese Aussage im Sachkontext. (2BE)

    6. Untersuchen Sie, ob es ein Zeitintervall [x;12][x ; 12] gibt, in dem die durchschnittliche Änderungsrate der Konzentration so groß ist wie die momentane Änderungsrate der Konzentration 0,750{,}75 Stunden nach der Einnahme. (4BE)

    7. Vier Stunden nach der ersten Einnahme wird das Medikament in der gleichen

      Dosierung erneut eingenommen. Die Gesamtkonzentration ist zu jedem Zeitpunkt die Summe der Konzentrationen, die sich aus der ersten und zweiten Einnahme ergeben. Ermitteln Sie die Gesamtkonzentration eine Stunde nach der zweiten Einnahme.

      Die Gesamtkonzentration soll 6mgl6 \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}} nicht übersteigen.

      Untersuchen Sie, ob diese Vorgabe eingehalten wird. (6BE)

    8. Eine vereinfachte Modellierung geht davon aus, dass die Konzentration ab einem bestimmten Zeitpunkt zz durch die Tangente an den Graphen von ff im Punkt P(zf(z))P(z \mid f(z)) beschrieben werden kann.

      Bestimmen Sie für z=5z=5 den Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikamentes, zu dem die Konzentration nach diesem vereinfachten Modell null ist. (4BE)

    9. Untersuchen Sie, ob es nach dieser vereinfachten Modellierung einen Zeitpunkt zz gibt, sodass die Konzentration genau 6 Stunden nach der Einnahme null ist. (4BE)

  2. 2

    Aufgabe 1B

    Für einen Tag wird die in einen Stausee zufließende Wassermenge betrachtet.

    Die momentane Zuflussrate wird durch die auf R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit

    f(x)=0,005x30,18x2+1,55x+2f(x)=0{,}005 x^{3}-0{,}18 x^{2}+1{,}55 x+2 für 0x240 \leq x \leq 24 beschrieben.

    Dabei gibt xx die Zeit nach Beobachtungsbeginn in Stunden (h)(h) und f(x)f(x) die Zuflussrate des Wassers in 1000 Kubikmeter pro Stunde (1000  m3h)\left(1000\;\frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{h}}\right) an.

    Der Stausee verfügt auch über einen künstlichen Wasserablauf. Gehen Sie zunächst davon aus, dass der Ablauf am Tag der Beobachtung geschlossen ist.

    Die Abbildung stellt den Graphen der Funktion ff dar.

    Bild
    1. Geben Sie f(2)f(2) an und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang.

      Begründen Sie mithilfe des Graphen von ff, dass der Wasserstand im Stausee ständig ansteigt. (4BE)

    2. Berechnen Sie die Länge des Zeitraums, in dem die Zuflussrate geringer als 1000  m3h1000\;\frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{h}} ist. (3BE)

    3. Berechnen Sie die maximale Zuflussrate im Beobachtungszeitraum. (3BE)

    4. Bestimmen Sie die Zeitpunkte, an denen die Zuflussrate

      • am stärksten abnimmt.

      • am stärksten zunimmt.

      (5BE)

    5. Untersuchen Sie, ob es eine Zuflussrate gibt, die sich eine Stunde später verdoppelt hat. (3BE)

    6. Vereinfacht wird die Form des Stausees als Quader mit einer Länge von 1000  m1000\;\text{m} und einer Breite von 200  m200\;\text{m} angenommen.

      Berechnen Sie den Anstieg der Wasserhöhe innerhalb der 2424 Stunden. (4BE)

    7. Von Beobachtungsbeginn bis zum Zeitpunkt tt ist eine bestimmte Wassermenge zugeflossen. In den folgenden drei Stunden fließt noch einmal genauso viel Wasser dazu.

      Berechnen Sie den Zeitpunkt tt. (4BE)

    8. Bei dem künstlichen Wasserablauf können konstante Abflussraten eingestellt werden.

      66 Stunden nach Beobachtungsbeginn wird der Ablauf geöffnet.

      Bestimmen Sie die Abflussrate des Stausees so, dass sich 2424 Stunden nach

      Beobachtungsbeginn genauso viel Wasser im Stausee befindet wie zu Beobachtungsbeginn. (4BE)

    9. Der Wasserablauf wird zu Beobachtungsbeginn mit einer Abflussrate von 2000  m3h2000\; \frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{h}} geöffnet.

      Begründen Sie auch mithilfe einer Skizze und ohne Rechnung, dass etwa zum

      Zeitpunkt 14,3  h14{,}3 \;\text{h} die Wassermenge im Stausee maximal ist. (5BE)

  3. 3

    Aufgabe 1C

    Gegeben ist die auf R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=1100(1500x418x3+52x245x)f(x)=-\frac{1}{100} \cdot\left(\frac{1}{500} x^{4}-\frac{1}{8} x^{3}+\frac{5}{2} x^{2}-45 x\right). Der Querschnitt eines Deichs wird durch die von dem Graphen der Funktion ff und der xx-Achse eingeschlossenen Fläche modelliert. Dabei werden xx und f(x)f(x) in Metern (m)(m) angegeben.

    1. Bild

      Die Abbildung zeigt den Graphen von ff. Markieren Sie in der Abbildung auf der xx-Achse das Intervall, in dem der Deich mindestens 5m5 m hoch ist.

      Ein moderner Deich ist etwa fünfmal so breit wie er hoch ist.

      Entscheiden Sie, ob dieser Deich diese Regel erfüllt, und begründen Sie Ihre Entscheidung nur mithilfe der Abbildung. (5BE)

    2. Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung des Deichs im Intervall [0;30][0 ; 30].

      Bestimmen Sie die größte Steigung des Deichs im Intervall [0;30].[0;30].

      Berechnen Sie den Neigungswinkel des Deichs an der Stelle x=0x=0. (9BE)

    3. In den Deich eindringendes Wasser teilt den Querschnitt des Deiches in einen unteren feuchten und einen oberen trockenen Bereich. Die Trennlinie zwischen dem trockenen und feuchten Bereich nennt man Sickerlinie. Bei einem bestimmten Wasserstand wird die Sickerlinie innerhalb des Deichs durch die auf R\mathbb{R} definierte Funktion gg mit g(x)=20e0,1xg(x)=20 \cdot e^{-0{,}1 x} beschrieben. xx und g(x)g(x) werden in Metern (m)(m) angegeben.

      Berechnen Sie die Höhe, in der die Sickerlinie auf der Wasserseite des Deichs beginnt.

      Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Sickerlinie stets oberhalb des Bodens verläuft.

      Berechnen Sie den prozentualen Anteil des feuchten Bereichs im Querschnitt des

      Deichs. (10BE)

    4. Die Sickerlinie verändert sich mit dem Wasserstand. Sie wird beschrieben durch die auf R\mathbb{R} definierte Funktion hh mit h(x)=ae0,1x,xh(x)=a \cdot e^{-0{,}1 x}, x und h(x)h(x) in Metern (m)(m).

      Bestimmen Sie einen Näherungswert für aa, sodass hh den Beginn der Sickerlinie in der Höhe von 2  m2\;\text{m} auf der Wasserseite beschreibt. (4BE)

    5. Der Bereich der Deichkrone soll abgeplattet werden. Dazu wird Material abgetragen. Der Querschnitt des Deichs wird dabei so verändert, dass der obere Rand im Bereich der Deichkrone parallel zur Horizontalen verläuft.

      Berechnen Sie die Breite des abgeplatteten Bereichs, wenn der Deich genau 8 m8 \mathrm{~m} hoch sein soll.

      Berechnen Sie die Höhe des Deichs, wenn der abgeplattete Bereich 9 m9 \mathrm{~m} breit ist. (7BE)

  4. 4

    Aufgabe 2A

    In einem Bundesland wird die Bevölkerungsgruppe derjenigen, die im Jahr 20002000 geboren wurden, im Hinblick auf Schulabschlüsse untersucht. In dieser Bevölkerungsgruppe beträgt der Anteil der Personen mit Abitur 36%36 \%. Unter den Personen mit Abitur sind 54%54 \% weiblich. 34%34 \% der Bevölkerungsgruppe sind nicht weiblich und haben kein Abitur.

    1. Weisen Sie nach, dass unter allen Personen ohne Abitur der Anteil derjenigen, die nicht weiblich sind, etwa 53%53 \% beträgt. (2BE)

    2. Stellen Sie den Sachzusammenhang in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. (3BE)

    3. Zur betrachteten Bevölkerungsgruppe gehören 2700027000 Personen.

      Ermitteln Sie, wie viele dieser Personen weiblich sind. (3BE)

    4. Für eine Online-Befragung werden aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe 100100 Personen zufällig ausgewählt. Es soll davon ausgegangen werden, dass unter den ausgewählten Personen die Anzahl derjenigen mit Abitur binomialverteilt ist.

      Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ausgewählten Personen 3030 mit Abitur sind. (1BE)

    5. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der ausgewählten Personen mit Abitur kleiner als der Erwartungswert dieser Anzahl ist. (3BE)

    6. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der ausgewählten Personen mit Abitur im Intervall [a;b][a ; b] liegt, beträgt etwa 65  %65\; \%.

      Bestimmen Sie die Werte für aa und bb so, dass das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt. (4BE)

    7. Aus der anfangs betrachteten Bevölkerungsgruppe werden nn Personen zufällig ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter mehr als 2020 mit Abitur befinden, ist größer als 0%0 \% und kleiner als 10%10 \%.

      Ermitteln Sie alle Werte, die für nn infrage kommen. (4BE)

  5. 5

    Aufgabe 2B

    Bei einem Smartphone-Spiel kann jeder Spieler jeden Sonntag Sterne gewinnen. Dazu hat er an jedem Sonntag zehn Versuche. Bei jedem Versuch kann nur ein Stern gewonnen werden; die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 40%40 \%.

    1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler bei zehn Versuchen mehr als sechs Sterne gewinnt. (2BE)

    2. Beurteilen Sie die Gültigkeit der folgenden Aussage eines Spielers: (2BE)

      "Ich habe an den letzten drei Sonntagen jeweils acht Sterne gewonnen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, an diesem Sonntag wieder acht Sterne zu gewinnen, deutlich kleiner als vorher.“

    3. An einem Sonntag nutzen vier Spieler jeweils die möglichen zehn Versuche zum Gewinnen von Sternen.

      Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei zwei der vier Spieler jeweils fünf Sterne gewinnen. (3BE)

    4. Die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Versuch einen Stern zu gewinnen, wird geändert. Anschließend beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, bei zehn Versuchen höchstens drei Sterne zu gewinnen, etwa 62%62 \%

      Ermitteln Sie die geänderte Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Versuch einen Stern zu gewinnen, auf ganze Prozent genau. (3BE)

    5. Außerdem hat jeder Spieler täglich einmal die Möglichkeit, allein durch Starten des Spiels Bonuspunkte zu erhalten. Durch das Starten wird ihm automatisch eine zufällig bestimmte Anzahl von Bonuspunkten gutgeschrieben. Der Tabelle können die möglichen Anzahlen und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten entnommen werden.

      Bild

      Ein Spieler startet das Spiel an drei aufeinanderfolgenden Tagen.

      Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Spieler von Tag zu Tag weniger Bonuspunkte erhält. (2BE)

    6. Ein Spieler startet das Spiel an vier Tagen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Spieler dabei insgesamt 8080 Bonuspunkte erhält. (4BE)

    7. Die Wahrscheinlichkeiten für 1010 und 2020 Bonuspunkte werden so geändert, dass die Spieler im Zeitraum von 200200 Tagen, an denen das Spiel gestartet wird, im Mittel 30003000 Bonuspunkte erhalten.

      Ermitteln Sie die beiden geänderten Wahrscheinlichkeiten. (4BE)

  6. 6

    Aufgabe 2C

    Ein Unternehmen produziert Leiterplatten zum Einbau in elektronische Geräte. Aus Erfahrung weiß man, dass 3%3 \% der Leiterplatten fehlerhaft sind. 600600 Leiterplatten werden zufällig ausgewählt. Die Anzahl der fehlerhaften Leiterplatten unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße XX beschrieben werden.

    1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ausgewählten Leiterplatten

      • 2525 Leiterplatten fehlerhaft sind.

      • maximal 2020 Leiterplatten fehlerhaft sind.

      • mehr als 1515 aber weniger als 3030 Leiterplatten fehlerhaft sind.

      (5BE)

    2. Geben Sie die Bedeutung des folgenden Terms im Sachzusammenhang an:

      (2BE)

    3. Jede fehlerhafte Leiterplatte wird untersucht. Sie weist entweder Fehler 11 oder Fehler 22 auf. Die Wahrscheinlichkeit für Fehler 11 beträgt 80%80 \%, die für Fehler 22 beträgt 20%20 \%.

      Beim Standardverfahren wird der vorliegende Fehler mit absoluter Sicherheit gefunden. Es wird zunächst Fehler 11 gesucht. Falls dieser an keiner Stelle vorliegt, muss die Stelle gesucht werden, an der Fehler 22 vorliegt. Die Suche von Fehler 11 kostet 1212 €, die Suche von Fehler 22 kostet 33 €.

      Geben Sie die Kosten an, die dem Unternehmen entstehen, wenn bei einer Leiterplatte der Fehler 22 gefunden wird.

      Weisen Sie nach, dass die zu erwartenden Kosten für das Standardverfahren

      12,6012{,}60 € pro Leiterplatte betragen. (4BE)

    4. Um Kosten einzusparen, wird für die fehlerhaften Leiterplatten ein Schnelltest vorgeschlagen: In diesem wird bei den fehlerhaften Leiterplatten ausschließlich Fehler 11 gesucht. Dieser Schnelltest kostet nur 22 €, allerdings wird ein vorhandener Fehler 11 nur in 50%50 \% der Fälle gefunden.

      Wird mit diesem Schnelltest der Fehler 11 nicht gefunden, wird anschließend das Standardverfahren durchgeführt.

      Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Fehler 11 in diesem Schnelltest nicht gefunden wird, 60%60 \% beträgt.

      Bestimmen Sie unter der Bedingung, dass bei dem Schnelltest Fehler 11 nicht gefunden wurde, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der vorhandene Fehler trotzdem Fehler 11 ist. (4BE)

    5. Untersuchen Sie, ob sich die zu erwartenden Kosten pro Leiterplatte für die Fehlersuche mit Schnelltest und Standardverfahren tatsächlich verringern. (5BE)

  7. 7

    Aufgabe 3A

    Bild

    Die Abbildung zeigt die Pyramide ABCDSA B C D S mit

    A(000),B(200),C(220),D(020)A(0|0| 0), B(2|0| 0), C(2|2| 0), D(0|2| 0) und S(114)S(1|1| 4).

    Die Grundfläche ABCDA B C D ist quadratisch.

    Der Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche ABCDA B C D wird mit TT bezeichnet.

    1. Geben Sie die Koordinaten des Punktes TT an.

      Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche der Pyramide ABCDSA B C D S. (6BE)

    2. Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen den Kanten AS\overline{A S} und AB\overline{A B}. (3BE)

    3. Der Mittelpunkt der Kante CD\overline{C D} wird mit MM bezeichnet.

      Untersuchen Sie, ob es einen Punkt PP auf der Kante DS\overline{D S} gibt, für den das Dreieck BMPB M P im Punkt MM rechtwinklig ist. (5BE)

    4. Die vier Punkte E,F,GE, F, G und HH liegen jeweils auf einer der vier vom Punkt SS ausgehenden Kanten und haben alle die zz-Koordinate 11 (vgl. Abbildung).

      Gegeben ist die folgende Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten:

      (200)+k(114)=(xy1)\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ 1\end{array}\right) liefert k=14k=\frac{1}{4} und damit x=1,75x=1{,}75 und y=0,25y=0{,}25.

      Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den Ansatz der gegebenen Lösung. (3BE)

    5. Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide EFGHTEFGHT. (3BE)

  8. 8

    Aufgabe 3B

    Das Rechteck OAEKO A E K stellt ein Tennisspielfeld dar. Die Koordinaten für die folgenden Punkte lauten: O(000),A(2700),B(27180),C(27390),E(27780),F(27393,5)O(0|0| 0), A(27|0| 0), B(27|18| 0), C(27|39| 0), E(27|78| 0), F(27|39| 3{,}5) und M(13,5393)M(13{,}5|39| 3).

    Alle Koordinaten haben die Längeneinheit Fuß (ft). Das Netz ist an Pfosten befestigt, die durch die Strecken CF\overline{C F} und GH\overline{G H} dargestellt sind. Es hat an den Enden eine Höhe von 3,5 ft und fällt geradlinig ab, bis es in der Mitte MM nur noch eine Höhe von 3ft3 \mathrm{ft} hat. Der Boden wird durch die xyx y-Ebene dargestellt. Der Ball wird als punktförmig angenommen.

    Bild
    1. Geben Sie die Koordinaten der Punkte DD und HH an.

      Berechnen Sie die Länge der Diagonalen des Spielfeldes. (4BE)

    2. Bei einem Aufschlag wird der Ball im Punkt P(13010,4)P(13|0| 10{,}4) getroffen und fliegt in Richtung v=(1358,510,4)\def\arraystretch{1.25} \vec{v}=\left(\begin{array}{c}13 \\ 58{,}5 \\ -10{,}4\end{array}\right). Er trifft im Punkt Q(2658,50)Q(26|58{,}5| 0) auf dem Boden auf. Es kann vorausgesetzt werden, dass der Ball das Netz überquert und dass die xx-Koordinate zu diesem Zeitpunkt größer als 13,513{,}5 ist. Die Flugbahn des Balls wird als geradlinig angenommen.

      Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem der Ball sich über dem Netz befindet. [Zur Kontrolle: R(653395215)R\left(\frac{65}{3}|39| \frac{52}{15}\right) ]

      Berechnen Sie die Höhe des Netzes an der Stelle, an der der Ball das Netz überquert.

      (7BE)

    3. Spiegelt man die Gerade, die die Flugbahn des Balles beschreibt, an der xyx y-Ebene, ergibt sich die Gerade hh. Die Gerade hh beschreibt die Flugbahn direkt nach dem Aufprall.

      Bestimmen Sie eine Gleichung der Gerade hh. (4BE)

    4. Im Punkt S(k397),kRS(k|39| 7), k \in \mathbb{R}, befindet sich eine Kamera. Sie zeichnet die Flugbahn des Balles von Punkt PP nach Punkt QQ auf.

      Bestimmen Sie den Wert von kk so, dass die Kamera den gleichen Abstand zu Punkt PP

      und zu Punkt QQ hat. (5BE)

  9. 9

    Aufgabe 3C

    In einem Koordinatensystem mit Ursprung O(000)O(0|0| 0) sind die folgenden Vektoren gegeben:

    OA=(402),OB=(41,50,5)\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O A}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -2\end{array}\right), \overrightarrow{O B}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 1{,}5 \\ -0{,}5\end{array}\right) und OC=(223)\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O C}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ -3\end{array}\right)

    1. Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Aussagen:

      • Es gibt Werte für aa und bb, sodass gilt: OC=aOA+bOB\overrightarrow{O C}=a \cdot \overrightarrow{O A}+b \cdot \overrightarrow{O B}

      • OC\overrightarrow{O C} und AB\overrightarrow{A B} sind nicht kollinear.

      (4BE)

    2. Die Gerade durch die Punkte A(402)A(4|0| − 2) und B(41,50,5)B(4|1{,}5| − 0{,}5) wird mit gg bezeichnet.

      Die Gerade durch die Punkte OO und C(223)C(2|−2| − 3) wird mit hh bezeichnet.

      Begründen Sie nur mit den Aussagen aus Teilaufgabe a), dass sich gg und hh in genau einem Punkt schneiden. (3BE)

    3. Die Geraden gg und hh liegen in der Ebene EE mit der Gleichung

      x=(402)+s(01,51,5)+t(221),sR,tR\def\arraystretch{1.25} \vec{x}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 1{,}5 \\ 1{,}5\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}-2 \\ -2 \\ -1\end{array}\right), s \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}.

      Für jeden Wert von aRa \in \mathbb{R} wird ein Punkt Da(a11a2)D_{a}\left(a|1| 1-\frac{a}{2}\right) betrachtet.

      Geben Sie eine Gleichung der Geraden durch BB und D1D_{1} an. (2BE)

    4. Zeigen Sie, dass der Punkt DaD_{a} für jeden Wert von aa in der Ebene EE liegt. (4BE)

    5. Berechnen Sie den Wert von aa, sodass sich die Gerade gg und die Gerade durch die Punkte BB und DaD_{a} orthogonal schneiden. (3BE)

    6. Bestimmen Sie den Wert von aa, für den der Abstand von AA und DaD_{a} minimal ist. (4BE)


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