Geben Sie $f(2)$ an und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang

Es ist $f(2)=\mathrm{0,005}\cdot 2^3-\mathrm{0,18}\cdot 2^2+\mathrm{1,55}\cdot 2+2=\mathrm{4,42}$

Die Zuflussrate zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn beträgt etwa $4400\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{h}}$.

Begründen Sie mithilfe des Graphen von $f$, dass der Wasserstand im Stausee ständig ansteigt

Der Graph von $f$ verläuft im Beobachtungszeitraum vollständig oberhalb der

x-Achse. Deshalb nimmt die Wassermenge ständig zu und der Wasserspiegel steigt an.

Die Länge des Zeitraums, in dem die Zuflussrate geringer als $1000\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{h}}$

Berechne $f(x)=1$.

Für $0\le x\le 24$ liefert der GTR-Rechner die Lösungen $x_1\approx \mathrm{16,602325...}$ und $x_2=20$.

Dann ist $x_2-x_1\approx \mathrm{3,4}$.

Für etwa $\mathrm{3,4}\mathrm{h}$ ist die Zuflussrate geringer als $1000\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{h}}$.

Berechnen Sie die maximale Zuflussrate im Beobachtungszeitraum

Die maximale Zuflussrate liegt dort, wo der Graph von $f$ einen Hochpunkt hat.

Das Funktionsmaximum ergibt sich mithilfe des Graphens von $f$ im betrachteten Intervall an der Stelle $x_M\approx \mathrm{5,622957...}$.

Der Funktionswert an der Stelle $x_M$ ist $y_M\approx \mathrm{5,913330...}$.

Damit beträgt die maximale Zuflussrate etwa $5900\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{h}}$.

Die Zeitpunkte, an denen die Zuflussrate am stärksten abnimmt

Der Graph der Ableitungsfunktion beschreibt die Änderung der Zuflussrate.

Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3}{200}}\cdot x^2-{\displaystyle \frac{9}{25}}\cdot x+{\displaystyle \frac{31}{20}}$.

Der GTR-Rechner liefert mit ${\displaystyle \frac{d}{dx}}(f^{\prime }(x))=0$ den Wert $x=12$.

Die Parabel hat einen Tiefpunkt an der Stelle $12$.

Also nimmt die Zuflussrate nach $12\text{h}$ am stärksten ab.

Die Zeitpunkte, an denen die Zuflussrate am stärksten zunimmt

Sie nimmt zu Beobachtungsbeginn und nach $24\text{h}$ am stärksten zu.

Gibt es eine Zuflussrate, die sich eine Stunde später verdoppelt hat?

Löse die Gleichung: $2\cdot f(x)=f(x+1)$:

Der GTR-Rechner liefert als Lösung nur den Wert $x\approx -\mathrm{0,319242...}$,

Die Lösung $x\approx -\mathrm{0,32}$ liegt außerhalb des Definitionsbereiches.

Somit gibt es im Bereich $0\le x\le 23$ keine Lösung für die Gleichung $2\cdot f(x)=f(x+1)$.

Es gibt die gesuchte Zuflussrate nicht.

Der Anstieg der Wasserhöhe innerhalb der 24 Stunden

Berechne das Integral:

$${\displaystyle {\int }_0^{24}f(x)dx\approx \mathrm{79,68}}$$

Innerhalb von $24$ Stunden nimmt das Wasservolumen um rund $79680{\text{m}}^3$ zu.

Das Volumen des Stausees ändert sich in dieser Zeit um $1000\text{m}\cdot 200\text{m}\cdot h$, wobei $h$ die Änderung der Wasserhöhe ist.

$\Rightarrow h={\displaystyle \frac{79680{\text{m}}^3}{1000\text{m}\cdot 200\text{m}}}\approx \mathrm{0,4}\text{m}$

Die Wasserhöhe steigt um etwa $\mathrm{0,4}\text{m}$.

Berechnen Sie den Zeitpunkt $t$

Löse die Gleichung:

$${\displaystyle {\int }_0^{t}f(x)dx={\displaystyle {\int }_t^{t+3}f(x)dx}}$$

Der GTR-Rechner liefert als Lösung $t\approx \mathrm{4,113869...}$.

Im Bereich $0\le x\le 24$ liegt die Lösung $t\approx \mathrm{4,1}$.

Von Beobachtungsbeginn bis zum Zeitpunkt $\mathrm{4,1}\text{h}$ ist eine bestimmte Wassermenge zugeflossen. In den folgenden drei Stunden fließt noch einmal genauso viel Wasser dazu.

Bestimmen Sie die Abflussrate des Stausees so, dass sich $24$ Stunden nach Beobachtungsbeginn genauso viel Wasser im Stausee befindet wie zu Beobachtungsbeginn

$6$ Stunden nach Beobachtungsbeginn wird der Ablauf geöffnet.

$\Rightarrow$Es bleiben $18$ Stunden, in denen die Gesamttagesmenge abfließen kann.

$\text{Abflussrate}={\displaystyle \frac{79680{\text{m}}^3}{18\text{h}}}\approx 4427{\displaystyle \frac{{\text{m}}^3}{\text{h}}}$

Die Abflussrate beträgt rund $4400{\displaystyle \frac{{\text{m}}^3}{\text{h}}}$.

Begründen Sie auch mithilfe einer Skizze und ohne Rechnung, dass etwa zum Zeitpunkt $\mathrm{14,3}\text{h}$ die Wassermenge im Stausee maximal ist

Der Wasserablauf wird zu Beobachtungsbeginn mit einer Abflussrate von $2000\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{h}}$ geöffnet. In der Skizze beschreibt die Gerade $g$ die Abflussrate.

Von Beobachtungsbeginn bis etwa $\mathrm{14,3}\text{h}$ und von etwa $\mathrm{21,7}\text{h}$ bis $24\text{h}$ verläuft der Graph von $f$ oberhalb von $g$ und die Wassermenge im Stausee nimmt zu.

Von ungefähr $\mathrm{14,3}\text{h}$ bis $\mathrm{21,7}\text{h}$ verläuft $g$ oberhalb des Graphen von $f$ und die Wassermenge nimmt ab.

Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und $g$ ist ein Maß für die Veränderung der Wassermenge.

In der Abbildung erkennt man, dass der Flächeninhalt von $A_1$ größer ist als der von $A_2$, d.h. von ungefähr $\mathrm{14,3}\text{h}$ bis $24\text{h}$ nimmt insgesamt die Wassermenge im Stausee ab.

Somit ist die Wassermenge nach etwa $\mathrm{14,3}\text{h}$ maximal.