Geben Sie $f(2)f(2)$ an und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang

Es ist $f(2)=\mathrm{0,005}\cdot 2^3-\mathrm{0,18}\cdot 2^2+\mathrm{1,55}\cdot 2+2=\mathrm{4,42}f(2)=0\{,\}005\backslash cdot\; 2^\{3\}-0\{,\}18\; \backslash cdot\; 2^\{2\}+1\{,\}55\; \backslash cdot\; 2+2=4\{,\}42$

Die Zuflussrate zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn beträgt etwa $4400\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{h}}4400\backslash ;\backslash frac\{\backslash mathrm\{m\}^\{3\}\}\{\backslash mathrm\{h\}\}$.

Begründen Sie mithilfe des Graphen von $ff$, dass der Wasserstand im Stausee ständig ansteigt

Der Graph von $ff$ verläuft im Beobachtungszeitraum vollständig oberhalb der

x-Achse. Deshalb nimmt die Wassermenge ständig zu und der Wasserspiegel steigt an.

Die Länge des Zeitraums, in dem die Zuflussrate geringer als $1000\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{h}}1000\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{m\}^\{3\}\}\{\backslash mathrm\{h\}\}$

Berechne $f(x)=1f(x)=1$.

Für $0\le x\le 240\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; 24$ liefert der GTR-Rechner die Lösungen $x_1\approx \mathrm{16,602325...}x\_1\backslash approx16\{,\}602325...$ und $x_2=20x\_2=20$.

Dann ist $x_2-x_1\approx \mathrm{3,4}x\_2-x\_1\backslash approx3\{,\}4$.

Für etwa $\mathrm{3,4}\mathrm{h}3\{,\}4\; \backslash ;\backslash mathrm\{h\}$ ist die Zuflussrate geringer als $1000\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{h}}1000\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{m\}^\{3\}\}\{\backslash mathrm\{h\}\}$.

Berechnen Sie die maximale Zuflussrate im Beobachtungszeitraum

Die maximale Zuflussrate liegt dort, wo der Graph von $ff$ einen Hochpunkt hat.

Das Funktionsmaximum ergibt sich mithilfe des Graphens von $ff$ im betrachteten Intervall an der Stelle $x_M\approx \mathrm{5,622957...}x\_M\backslash approx5\{,\}622957...$.

Der Funktionswert an der Stelle $x_{M}x\_M$ ist $y_M\approx \mathrm{5,913330...}y\_M\backslash approx5\{,\}913330...$.

Damit beträgt die maximale Zuflussrate etwa $5900\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{h}}5900\backslash ;\backslash frac\{\backslash mathrm\{m\}^\{3\}\}\{\backslash mathrm\{h\}\}$.

Die Zeitpunkte, an denen die Zuflussrate am stärksten abnimmt

Der Graph der Ableitungsfunktion beschreibt die Änderung der Zuflussrate.

Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3}{200}}\cdot x^2-{\displaystyle \frac{9}{25}}\cdot x+{\displaystyle \frac{31}{20}}f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{3\}\{200\}\backslash cdot\; x^2-\backslash dfrac\{9\}\{25\}\backslash cdot\; x+\backslash dfrac\{31\}\{20\}$.

Der GTR-Rechner liefert mit ${\displaystyle \frac{d}{dx}}(f^{\mathrm{\prime }}(x))=0\backslash dfrac\{d\}\{dx\}\backslash left(f\text{'}(x)\backslash right)=0$ den Wert $x=12x=12$.

Die Parabel hat einen Tiefpunkt an der Stelle $1212$.

Also nimmt die Zuflussrate nach $12\text{h}12\backslash ;\backslash text\{h\}$ am stärksten ab.

Die Zeitpunkte, an denen die Zuflussrate am stärksten zunimmt

Sie nimmt zu Beobachtungsbeginn und nach $24\text{h}24\backslash ;\backslash text\{h\}$ am stärksten zu.

Gibt es eine Zuflussrate, die sich eine Stunde später verdoppelt hat?

Löse die Gleichung: $2\cdot f(x)=f(x+1)2\backslash cdot\; f(x)=f(x+1)$:

Der GTR-Rechner liefert als Lösung nur den Wert $x\approx -\mathrm{0,319242...}x\backslash approx-0\{,\}319242...$,

Die Lösung $x\approx -\mathrm{0,32}x\backslash approx\; -0\{,\}32$ liegt außerhalb des Definitionsbereiches.

Somit gibt es im Bereich $0\le x\le 230\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; 23$ keine Lösung für die Gleichung $2\cdot f(x)=f(x+1)2\backslash cdot\; f(x)=f(x+1)$.

Es gibt die gesuchte Zuflussrate nicht.

Der Anstieg der Wasserhöhe innerhalb der 24 Stunden

Berechne das Integral:

${\displaystyle {\int }_0^{24}f(x)dx\approx \mathrm{79,68}}\backslash displaystyle\backslash int\_0^\{24\}f(x)\backslash ;dx\backslash approx\; 79\{,\}68$

Innerhalb von $2424$ Stunden nimmt das Wasservolumen um rund $79680{\text{m}}^{3}79680\backslash ;\backslash text\{m\}^3$ zu.

Das Volumen des Stausees ändert sich in dieser Zeit um $1000\text{m}\cdot 200\text{m}\cdot h1000\backslash ;\backslash text\{m\}\; \backslash cdot\; 200\backslash ;\backslash text\{m\}\; \backslash cdot\; h$, wobei $hh$ die Änderung der Wasserhöhe ist.

$\Rightarrow h={\displaystyle \frac{79680{\text{m}}^3}{1000\text{m}\cdot 200\text{m}}}\approx \mathrm{0,4}\text{m}\backslash Rightarrow\backslash ;h=\backslash dfrac\{79680\backslash ;\backslash text\{m\}^3\}\{1000\backslash ;\backslash text\{m\}\; \backslash cdot\; 200\backslash ;\backslash text\{m\}\}\backslash approx\; 0\{,\}4\backslash ;\backslash text\{m\}$

Die Wasserhöhe steigt um etwa $\mathrm{0,4}\text{m}0\{,\}4\backslash ;\backslash text\{m\}$.

Berechnen Sie den Zeitpunkt $tt$

Löse die Gleichung:

${\displaystyle {\int }_0^{t}f(x)dx={\displaystyle {\int }_t^{t+3}f(x)dx}}\backslash displaystyle\backslash int\_0^\{t\}f(x)\backslash ;dx=\backslash displaystyle\backslash int\_t^\{t+3\}f(x)\backslash ;dx$

Der GTR-Rechner liefert als Lösung $t\approx \mathrm{4,113869...}t\backslash approx\; 4\{,\}113869...$.

Im Bereich $0\le x\le 240\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; 24$ liegt die Lösung $t\approx \mathrm{4,1}t\backslash approx\; 4\{,\}1$.

Von Beobachtungsbeginn bis zum Zeitpunkt $\mathrm{4,1}\text{h}4\{,\}1\; \backslash ;\backslash text\{h\}$ ist eine bestimmte Wassermenge zugeflossen. In den folgenden drei Stunden fließt noch einmal genauso viel Wasser dazu.

Bestimmen Sie die Abflussrate des Stausees so, dass sich $2424$ Stunden nach Beobachtungsbeginn genauso viel Wasser im Stausee befindet wie zu Beobachtungsbeginn

$66$ Stunden nach Beobachtungsbeginn wird der Ablauf geöffnet.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow\backslash ;$Es bleiben $1818$ Stunden, in denen die Gesamttagesmenge abfließen kann.

$\text{Abflussrate}={\displaystyle \frac{79680{\text{m}}^3}{18\text{h}}}\approx 4427{\displaystyle \frac{{\text{m}}^3}{\text{h}}}\backslash text\{Abflussrate\}=\backslash dfrac\{79680\backslash ;\backslash text\{m\}^3\}\{18\backslash ;\backslash text\{h\}\; \}\backslash approx\; 4427\backslash ;\backslash dfrac\{\backslash text\{m\}^3\}\{\backslash text\{h\}\}$

Die Abflussrate beträgt rund $4400{\displaystyle \frac{{\text{m}}^3}{\text{h}}}4400\backslash ;\backslash dfrac\{\backslash text\{m\}^3\}\{\backslash text\{h\}\}$.

Begründen Sie auch mithilfe einer Skizze und ohne Rechnung, dass etwa zum Zeitpunkt $\mathrm{14,3}\text{h}14\{,\}3\; \backslash ;\backslash text\{h\}$ die Wassermenge im Stausee maximal ist

Der Wasserablauf wird zu Beobachtungsbeginn mit einer Abflussrate von $2000\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{h}}2000\backslash ;\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{m\}^\{3\}\}\{\backslash mathrm\{h\}\}$ geöffnet. In der Skizze beschreibt die Gerade $gg$ die Abflussrate.

Von Beobachtungsbeginn bis etwa $\mathrm{14,3}\text{h}14\{,\}3\backslash ;\backslash text\{h\}$ und von etwa $\mathrm{21,7}\text{h}21\{,\}7\backslash ;\backslash text\{h\}$ bis $24\text{h}24\backslash ;\backslash text\{h\}$ verläuft der Graph von $ff$ oberhalb von $gg$ und die Wassermenge im Stausee nimmt zu.

Von ungefähr $\mathrm{14,3}\text{h}14\{,\}3\backslash ;\backslash text\{h\}$ bis $\mathrm{21,7}\text{h}21\{,\}7\; \backslash ;\backslash text\{h\}$ verläuft $gg$ oberhalb des Graphen von $ff$ und die Wassermenge nimmt ab.

Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $ff$ und $gg$ ist ein Maß für die Veränderung der Wassermenge.

In der Abbildung erkennt man, dass der Flächeninhalt von $A_{1}A\_1$ größer ist als der von $A_{2}A\_2$, d.h. von ungefähr $\mathrm{14,3}\text{h}14\{,\}3\backslash ;\backslash text\{h\}$ bis $24\text{h}24\; \backslash ;\backslash text\{h\}$ nimmt insgesamt die Wassermenge im Stausee ab.

Somit ist die Wassermenge nach etwa $\mathrm{14,3}\text{h}14\{,\}3\; \backslash ;\backslash text\{h\}$ maximal.