Wahlteil - GTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3C

In einem Koordinatensystem mit Ursprung $O (0 | 0 | 0)$ sind die folgenden Vektoren gegeben:

$\vec{O A} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 2 \end{array}), \vec{O B} = (\begin{array}{c} 4 \\ 1,5 \\ - 0,5 \end{array})$ und $\vec{O C} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 3 \end{array})$

Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Aussagen:
- Es gibt Werte für $a$ und $b$ , sodass gilt: $\vec{O C} = a \cdot \vec{O A} + b \cdot \vec{O B}$
- $\vec{O C}$ und $\vec{A B}$ sind nicht kollinear.
(4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearkombination
Es gibt Werte für $a$ und $b$ , sodass gilt: $\vec{O C} = a \cdot \vec{O A} + b \cdot \vec{O B}$
Setze die gegebenen Vektoren in die Gleichung für $\vec{O C}$ ein:
$(\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) = a \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + b \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 1,5 \\ - 0,5 \end{array})$
Aus Gleichung $(I I)$ folgt: $- 2 = 1,5 \cdot b \Rightarrow b = - \frac{4}{3}$
$b = - \frac{4}{3}$ in Gleichung $(I)$ eingesetzt ergibt:
$2 = 4 \cdot a - \frac{4}{3} \cdot 4 \Rightarrow 2 + \frac{16}{3} = 4 \cdot a \Rightarrow a = \frac{11}{6}$
Die Werte sind $a = \frac{11}{6}$ und $b = - \frac{4}{3}$ .
Die Gültigkeit folgender Aussagen: $\vec{O C}$ und $\vec{A B}$ sind nicht kollinear.
$\vec{O C} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 3 \end{array})$ , $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 4 \\ 1,5 \\ - 0,5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 1,5 \\ 1,5 \end{array})$
Der Koordinatenvergleich der beiden Vektoren zeigt, dass die Vektoren nicht kollinear sind: $\vec{O C} \neq r \cdot \vec{A B}$
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Teil 1
Setze die gegebenen Vektoren in $\vec{O C} = a \cdot \vec{O A} + b \cdot \vec{O B}$ ein und löse das Gleichungssystem.
Teil 2
Berechne den Vektor $\vec{A B}$ und zeige, dass $\vec{O C} \neq r \cdot \vec{A B}$ .
Die Gerade durch die Punkte $A (4 | 0 | - 2)$ und $B (4 | 1,5 | - 0,5)$ wird mit $g$ bezeichnet.
Die Gerade durch die Punkte $O$ und $C (2 | - 2 | - 3)$ wird mit $h$ bezeichnet.
Begründen Sie nur mit den Aussagen aus Teilaufgabe a), dass sich $g$ und $h$ in genau einem Punkt schneiden. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Begründen Sie nur mit den Aussagen aus Teilaufgabe a), dass sich $g$ und $h$ in genau einem Punkt schneiden.
Wie in Aufgabe a) gezeigt wurde, ist der Vektor $\vec{O C}$ eine Linearkombination der beiden Vektoren $\vec{O A}$ und $\vec{O B}$ . Somit folgt, die Geraden $g$ und $h$ liegen in einer Ebene. Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der Vektor $\vec{A B}$ und der Vektor $\vec{O C}$ ist der Richtungsvektor der Geraden $h$ . Die Vektoren $\vec{O C}$ und $\vec{A B}$ sind nicht kollinear, d.h. $g$ und $h$ sind weder parallel noch identisch und haben somit einen Schnittpunkt.
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Der Vektor $\vec{O C}$ ist eine Linearkombination der beiden Vektoren $\vec{O A}$ und $\vec{O B}$ .
Die Geraden $g$ und $h$ liegen in einer Ebene.
Der Richtungsvektor der Geraden $g$ und der Richtungsvektor der Geraden $h$ sind nicht kollinear.
Was folgt daraus für die Lage der beiden Geraden?
Die Geraden $g$ und $h$ liegen in der Ebene $E$ mit der Gleichung
$\vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1,5 \\ 1,5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{l} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}), s \in ℝ, t \in ℝ$ .
Für jeden Wert von $a \in ℝ$ wird ein Punkt $D_{a} (a | 1 | 1 - \frac{a}{2})$ betrachtet.
Geben Sie eine Gleichung der Geraden durch $B$ und $D_{1}$ an. (2BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Eine Gleichung der Geraden durch $B$ und $D_{1}$
Es ist $\vec{O B} = (\begin{array}{c} 4 \\ 1,5 \\ - 0,5 \end{array})$ und $\vec{O D_{1}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0,5 \end{array})$ .
Dann ist die gesuchte Geradengleichung:
$\vec{x} = \vec{O D_{1}} + r \cdot \vec{D_{1} B} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0,5 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 0,5 \\ - 1 \end{array})$
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Bestimme den Vektor $\vec{O D_{1}}$ .
Erstelle die Geradengleichung durch $B$ und $D_{1}$ .
Zeigen Sie, dass der Punkt $D_{a}$ für jeden Wert von $a$ in der Ebene $E$ liegt. (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung Punkt-Ebene (Inzidenz)
Der Punkt $D_{a}$ liegt für jeden Wert von $a$ in der Ebene $E$
Gegeben sind der Vektor $\vec{O D_{a}} = (\begin{array}{c} a \\ 1 \\ 1 - 0,5 \cdot a \end{array})$ und die Ebene $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1,5 \\ 1,5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{l} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}), s \in ℝ, t \in ℝ$ .
Der Punkt $D_{a}$ liegt in der Ebene $E$ . Dann ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$(\begin{array}{c} a \\ 1 \\ 1 - 0,5 \cdot a \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1,5 \\ 1,5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{l} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$
Die Gleichungen $(I I)$ und $(I I I)$ werden mit dem TR gelöst:
Es ergeben sich die Lösungen $s = - \frac{2}{3} a + \frac{10}{3} = \frac{2}{3} \cdot (5 - a)$ und $t = - \frac{1}{2} a + 2 = \frac{1}{2} \cdot (4 - a)$ .
Damit liegen alle Punkte $D_{a}$ in der Ebene $E$ .
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Setze in der Ebenengleichung für den Vektor $\vec{x}$ den Vektor $\vec{O D_{1}}$ ein.
Löse das Gleichungssystem.
Berechnen Sie den Wert von $a$ , sodass sich die Gerade $g$ und die Gerade durch die Punkte $B$ und $D_{a}$ orthogonal schneiden. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zwei zueinander senkrechte Geraden (analytische Geometrie)
Die Gerade durch die Punkte $A (4 | 0 | - 2)$ und $B (4 | 1,5 | - 0,5)$ wird mit $g$ bezeichnet. Der Richtungsvektor von $g$ ist $\vec{A B}$ und der Richtungsvektor der Geraden durch die Punkte $B$ und $D_{a}$ ist $\vec{D_{a} B}$ .
Die beiden Geraden schneiden sich orthogonal, wenn $\vec{A B} \circ \vec{D_{a} B} = 0$ ist.
$(\begin{array}{c} 0 \\ 1,5 \\ 1,5 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 4 - a \\ 0,5 \\ - 1,5 + 0,5 \cdot a \end{array}) = 0 + 1,5 \cdot 0,5 + 1,5 \cdot (- 1,5 + 0,5 \cdot a) = 0$
$\Rightarrow 0,75 - 2,25 + 0,75 \cdot a = 0 \Rightarrow - 1,5 + 0,75 \cdot a = 0 \Rightarrow a = 2$
Für $a = 2$ schneiden sich die Geraden orthogonal.
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Die beiden Geraden schneiden sich orthogonal, wenn $\vec{A B} \circ \vec{D_{a} B} = 0$ ist.
Bestimmen Sie den Wert von $a$ , für den der Abstand von $A$ und $D_{a}$ minimal ist. (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Der Wert von $a$ , für den der Abstand von $A$ und $D_{a}$ minimal ist
Berechne den Vektor $\vec{A D_{a}}$ :
$\vec{A D_{a}} = \vec{O D_{a}} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} a \\ 1 \\ 1 - 0,5 \cdot a \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} a - 4 \\ 1 \\ 3 - 0,5 \cdot a \end{array})$
Der Abstand $d = | \vec{A D_{a}} |$
Berechne den Betrag des Vektors:
$| \vec{A D_{a}} |$ $=$ $\sqrt{(a - 4)^{2} + 1^{2} + (3 - 0,5 \cdot a)^{2}}$
↓
Berechne die Quadrate.
$=$ $\sqrt{a^{2} - 8 a + 16 + 1 + 9 - 3 \cdot a + 0,25 \cdot a^{2}}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\sqrt{\frac{5}{4} \cdot a^{2} - 11 \cdot a + 26}$
$d = \sqrt{\frac{5}{4} \cdot a^{2} - 11 \cdot a + 26}$
$d$ ist minimal, wenn $\frac{5}{4} \cdot a^{2} - 11 \cdot a + 26$ minimal ist.
Der Term beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt S.
$S (- \frac{(- 11)}{2 \cdot \frac{5}{4}} | 26 - \frac{(- 11)^{2}}{4 \cdot \frac{5}{4}}) \Rightarrow S (4,4 | 1,8)$
Der gesuchte Wert ist $a = 4,4$ .
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Der Abstand ist $d = | \vec{A D_{a}} |$ .
Eine Wurzel hat dann einen minimalen Wert, wenn der Radikand minimal ist.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\| \vec{A D_{a}} \|$	$=$	$\sqrt{(a - 4)^{2} + 1^{2} + (3 - 0,5 \cdot a)^{2}}$
	↓	Berechne die Quadrate.
	$=$	$\sqrt{a^{2} - 8 a + 16 + 1 + 9 - 3 \cdot a + 0,25 \cdot a^{2}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\sqrt{\frac{5}{4} \cdot a^{2} - 11 \cdot a + 26}$

Aufgabe 3C

Es gibt Werte für a und b, sodass gilt: OC→=a⋅OA→+b⋅OB→

Die Gültigkeit folgender Aussagen: OC→ und AB→ sind nicht kollinear.

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Begründen Sie nur mit den Aussagen aus Teilaufgabe a), dass sich g und h in genau einem Punkt schneiden.

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Eine Gleichung der Geraden durch B und D1

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Der Punkt Da liegt für jeden Wert von a in der Ebene E

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Der Wert von a, für den der Abstand von A und Da minimal ist

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Es gibt Werte für $a$ und $b$ , sodass gilt: $\vec{O C} = a \cdot \vec{O A} + b \cdot \vec{O B}$

Die Gültigkeit folgender Aussagen: $\vec{O C}$ und $\vec{A B}$ sind nicht kollinear.

Begründen Sie nur mit den Aussagen aus Teilaufgabe a), dass sich $g$ und $h$ in genau einem Punkt schneiden.

Eine Gleichung der Geraden durch $B$ und $D_{1}$

Der Punkt $D_{a}$ liegt für jeden Wert von $a$ in der Ebene $E$

Der Wert von $a$ , für den der Abstand von $A$ und $D_{a}$ minimal ist