Wahlteil - GTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3C

In einem Koordinatensystem mit Ursprung $O (0 ∣ 0 ∣ 0)$ sind die folgenden Vektoren gegeben:

$\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O A}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -2\end{array}\right), \overrightarrow{O B}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 1{,}5 \\ -0{,}5\end{array}\right)$ und $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O C}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ -3\end{array}\right)$

Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Aussagen:
- Es gibt Werte für $a$ und $b$ , sodass gilt: $\overrightarrow{O C}=a \cdot \overrightarrow{O A}+b \cdot \overrightarrow{O B}$
- $\overrightarrow{O C}$ und $\overrightarrow{A B}$ sind nicht kollinear.
(4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearkombination
Es gibt Werte für $a$ und $b$ , sodass gilt: $\overrightarrow{O C}=a \cdot \overrightarrow{O A}+b \cdot \overrightarrow{O B}$
Setze die gegebenen Vektoren in die Gleichung für $\overrightarrow{O C}$ ein:
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ -3\end{array}\right)=a\cdot \left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)+b\cdot \left(\begin{array}{c}4 \\ 1{,}5 \\ -0{,}5\end{array}\right)$
Aus Gleichung $\mathrm{(II)}$ folgt: $-2=1{,}5\cdot b\;\Rightarrow\;b=-\dfrac{4}{3}$
$b=-\dfrac{4}{3}$ in Gleichung $\mathrm{(I)}$ eingesetzt ergibt:
$2=4\cdot a -\dfrac{4}{3}\cdot 4\;\Rightarrow\;2+\dfrac{16}{3}=4\cdot a\;\Rightarrow\;a=\dfrac{11}{6}$
Die Werte sind $a=\dfrac{11}{6}$ und $b=-\dfrac{4}{3}$ .
Die Gültigkeit folgender Aussagen: $\overrightarrow{O C}$ und $\overrightarrow{A B}$ sind nicht kollinear.
$\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O C}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ -3\end{array}\right)$ , $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 1{,}5 \\ -0{,}5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1{,}5 \\ 1{,}5\end{array}\right)$
Der Koordinatenvergleich der beiden Vektoren zeigt, dass die Vektoren nicht kollinear sind: $\overrightarrow{O C}\neq r\cdot\overrightarrow{AB}$
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Teil 1
Setze die gegebenen Vektoren in $\overrightarrow{O C}=a \cdot \overrightarrow{O A}+b \cdot \overrightarrow{O B}$ ein und löse das Gleichungssystem.
Teil 2
Berechne den Vektor $\overrightarrow{AB}$ und zeige, dass $\overrightarrow{O C}\neq r\cdot\overrightarrow{AB}$ .
Die Gerade durch die Punkte $A (4 ∣ 0 ∣ - 2)$ und $B (4 ∣ 1,5 ∣ - 0,5)$ wird mit $g$ bezeichnet.
Die Gerade durch die Punkte $O$ und $C (2 ∣ - 2 ∣ - 3)$ wird mit $h$ bezeichnet.
Begründen Sie nur mit den Aussagen aus Teilaufgabe a), dass sich $g$ und $h$ in genau einem Punkt schneiden. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Begründen Sie nur mit den Aussagen aus Teilaufgabe a), dass sich $g$ und $h$ in genau einem Punkt schneiden.
Wie in Aufgabe a) gezeigt wurde, ist der Vektor $\overrightarrow{O C}$ eine Linearkombination der beiden Vektoren $\overrightarrow{O A}$ und $\overrightarrow{O B}$ . Somit folgt, die Geraden $g$ und $h$ liegen in einer Ebene. Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der Vektor $\overrightarrow{AB}$ und der Vektor $\overrightarrow{OC}$ ist der Richtungsvektor der Geraden $h$ . Die Vektoren $\overrightarrow{O C}$ und $\overrightarrow{A B}$ sind nicht kollinear, d.h. $g$ und $h$ sind weder parallel noch identisch und haben somit einen Schnittpunkt.
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Der Vektor $\overrightarrow{O C}$ ist eine Linearkombination der beiden Vektoren $\overrightarrow{O A}$ und $\overrightarrow{O B}$ .
Die Geraden $g$ und $h$ liegen in einer Ebene.
Der Richtungsvektor der Geraden $g$ und der Richtungsvektor der Geraden $h$ sind nicht kollinear.
Was folgt daraus für die Lage der beiden Geraden?
Die Geraden $g$ und $h$ liegen in der Ebene $E$ mit der Gleichung
$\def\arraystretch{1.25} \vec{x}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 1{,}5 \\ 1{,}5\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}-2 \\ -2 \\ -1\end{array}\right), s \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}$ .
Für jeden Wert von $a \in \mathbb{R}$ wird ein Punkt $D_{a}\left(a|1| 1-\frac{a}{2}\right)$ betrachtet.
Geben Sie eine Gleichung der Geraden durch $B$ und $D_{1}$ an. (2BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Eine Gleichung der Geraden durch $B$ und $D_{1}$
Es ist $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O B}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 1{,}5 \\ -0{,}5\end{array}\right)$ und $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O D_1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 0{,}5\end{array}\right)$ .
Dann ist die gesuchte Geradengleichung:
$\def\arraystretch{1.25} \vec x=\overrightarrow{O D_1}+r\cdot \overrightarrow{D_1B}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 0{,}5\end{array}\right)+r \cdot \left(\begin{array}{c}3 \\ 0{,}5 \\ -1\end{array}\right)$
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Bestimme den Vektor $\overrightarrow{O D_1}$ .
Erstelle die Geradengleichung durch $B$ und $D_{1}$ .
Zeigen Sie, dass der Punkt $D_{a}$ für jeden Wert von $a$ in der Ebene $E$ liegt. (4BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung Punkt-Ebene (Inzidenz)
Der Punkt $D_{a}$ liegt für jeden Wert von $a$ in der Ebene $E$
Gegeben sind der Vektor $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O D_a}=\left(\begin{array}{c}a \\ 1\\ 1-0{,}5\cdot a\end{array}\right)$ und die Ebene $\def\arraystretch{1.25} E:\;\vec{x}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 1{,}5 \\ 1{,}5\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}-2 \\ -2 \\ -1\end{array}\right), s \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}$ .
Der Punkt $D_{a}$ liegt in der Ebene $E$ . Dann ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}a \\ 1\\ 1-0{,}5\cdot a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 1{,}5 \\ 1{,}5\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}-2 \\ -2 \\ -1\end{array}\right)$
Die Gleichungen $\mathrm{(II)}$ und $\mathrm{(III)}$ werden mit dem TR gelöst:
Es ergeben sich die Lösungen $s=-\dfrac{2}{3} a+\dfrac{10}{3}=\dfrac{2}{3}\cdot(5-a)$ und $t=-\dfrac{1}{2} a+2=\dfrac{1}{2}\cdot (4-a)$ .
Damit liegen alle Punkte $D_{a}$ in der Ebene $E$ .
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Setze in der Ebenengleichung für den Vektor $\vec x$ den Vektor $\overrightarrow{O D_1}$ ein.
Löse das Gleichungssystem.
Berechnen Sie den Wert von $a$ , sodass sich die Gerade $g$ und die Gerade durch die Punkte $B$ und $D_{a}$ orthogonal schneiden. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zwei zueinander senkrechte Geraden (analytische Geometrie)
Die Gerade durch die Punkte $A (4 ∣ 0 ∣ - 2)$ und $B (4 ∣ 1,5 ∣ - 0,5)$ wird mit $g$ bezeichnet. Der Richtungsvektor von $g$ ist $\overrightarrow{AB}$ und der Richtungsvektor der Geraden durch die Punkte $B$ und $D_{a}$ ist $\overrightarrow{D_a B}$ .
Die beiden Geraden schneiden sich orthogonal, wenn $\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{D_a B}=0$ ist.
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}0 \\ 1{,}5\\ 1{,}5\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}4 -a\\ 0{,}5 \\ -1{,}5+0{,}5\cdot a\end{array}\right)=0+1{,}5\cdot 0{,}5+1{,}5\cdot (-1{,}5+0{,}5\cdot a)=0$
$\Rightarrow\;0{,}75-2{,}25+0{,}75 \cdot a=0\;\Rightarrow\;-1{,}5+0{,}75\cdot a=0\;\Rightarrow\;a=2$
Für $a = 2$ schneiden sich die Geraden orthogonal.
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Die beiden Geraden schneiden sich orthogonal, wenn $\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{D_a B}=0$ ist.

Bestimmen Sie den Wert von $a$ , für den der Abstand von $A$ und $D_{a}$ minimal ist. (4BE)

$\displaystyle \left\|\overrightarrow{ AD_a}\right\|$	$=$	$\displaystyle \sqrt{(a-4)^2+1^2+(3-0{,}5\cdot a)^2}$
	↓	Berechne die Quadrate.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{a^2-8a+16+1+9-3\cdot a+0{,}25\cdot a^2}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\dfrac{5}{4}\cdot a^2-11\cdot a+26}$

Aufgabe 3C

Es gibt Werte für aaa und bbb, sodass gilt: OC→=a⋅OA→+b⋅OB→\overrightarrow{O C}=a \cdot \overrightarrow{O A}+b \cdot \overrightarrow{O B}OC=a⋅OA+b⋅OB

Die Gültigkeit folgender Aussagen: OC→\overrightarrow{O C}OC und AB→\overrightarrow{A B}AB sind nicht kollinear.

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Begründen Sie nur mit den Aussagen aus Teilaufgabe a), dass sich ggg und hhh in genau einem Punkt schneiden.

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Eine Gleichung der Geraden durch BBB und D1D_{1}D1​

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Der Punkt DaD_{a}Da​ liegt für jeden Wert von aaa in der Ebene EEE

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Der Wert von aaa, für den der Abstand von AAA und DaD_{a}Da​ minimal ist

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Es gibt Werte für $a$ und $b$ , sodass gilt: $\overrightarrow{O C}=a \cdot \overrightarrow{O A}+b \cdot \overrightarrow{O B}$

Die Gültigkeit folgender Aussagen: $\overrightarrow{O C}$ und $\overrightarrow{A B}$ sind nicht kollinear.

Begründen Sie nur mit den Aussagen aus Teilaufgabe a), dass sich $g$ und $h$ in genau einem Punkt schneiden.

Eine Gleichung der Geraden durch $B$ und $D_{1}$

Der Punkt $D_{a}$ liegt für jeden Wert von $a$ in der Ebene $E$

Der Wert von $a$ , für den der Abstand von $A$ und $D_{a}$ minimal ist