Die Koordinaten des Punktes $T$

$\overrightarrow{OT}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Die Koordinaten des Punktes sind $T(1|1|0)$.

Der Inhalt der Oberfläche der Pyramide $ABCDS$

$O_{ABCDS}=A_G+4\cdot A_{△}=2\cdot 2+4\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\cdot h=4+4\cdot h$

Berechnung der Höhe der Seitenfläche $h$

Die Mitte der Seite $\overline{BC}$ ist:$\overrightarrow{OU}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Dann ist der Vektor $\overrightarrow{US}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OU}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$.

Die Höhe der Seitenfläche ist:

$h=\left|\overrightarrow{US}\right|=\left|\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 4\end{array}\right)\right|=\sqrt{(-1{)}^2+0^2+4^2}=\sqrt{17}$

Damit ergibt sich der Inhalt der Pyramidenoberfläche zu:

$O_{ABCDS}=4+4\cdot h=4+4\cdot \sqrt{17}$

Die Größe des Winkels zwischen den Kanten $\overline{AS}$ und $\overline{AB}$

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{AS}$ und $\overrightarrow{AB}$:

$\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Für den Winkel gilt dann:

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{AS}\circ \overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AS}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|}}$

$\alpha ={\cos }^{-1}\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{18}}}\right)\approx {\mathrm{76,4}}^{\circ }$

Die Größe des Winkels zwischen den Kanten $\overline{AS}$ und $\overline{AB}$ beträgt rund ${\mathrm{76,4}}^{\circ }$.

Gibt es einen Punkt $P$ auf der Kante $\overline{DS}$, für den das Dreieck $BMP$ im Punkt $M$ rechtwinklig ist?

$M$ ist der Mittelpunkt der Kante $\overline{CD}$:

$\overrightarrow{OM}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$

Also ist $M(1|2|0)$.

Erstelle eine Geradengleichung durch die Punkte $D$ und $S$.

$\overrightarrow{DS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OD}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 4\end{array}\right)$

$g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OD}+r\cdot \overrightarrow{DS}=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 4\end{array}\right)$

Ein möglicher Punkt $P\in \overline{CS}$ hat die Form $(r|2-r|4r)$ mit $0\le r\le 1$.

Das Dreieck soll im Punkt $M$ rechtwinklig sein $\Rightarrow \overrightarrow{MB}\circ \overrightarrow{MP}=0$.

$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}=\left(\begin{array}{c}r\\ 2-r\\ 4r\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r-1\\ -r\\ 4r\end{array}\right)$

Man hat eine Lösung für $r$ gefunden, d.h. es gibt einen solchen Punkt.

Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den Ansatz der gegebenen Lösung

Aufgabenstellung: Bestimmen Sie die x- und y-Koordinaten des Punktes $F$.

Ansatz der gegebenen Lösung:

Auf der linken Seite der Gleichung steht die Geradengleichung durch die Punkte $D$ und $S$. Die rechte Seite der Gleichung ist ein Vektor zu einem Punkt auf der Geraden, der die z-Koordinate $1$ hat. Berechnet werden mit diesem Ansatz die Koordinaten des Punktes $F$.

Das Volumen der Pyramide $EFGHT$

$V_{EFGHT}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\left|\overrightarrow{FG}\right|}^2\cdot h$

Mit dem Ergebnis aus Aufgabe d) erhält man die Koordinaten von $F(\mathrm{1,75}|\mathrm{0,25}|1)$ und $G(\mathrm{1,75}|\mathrm{1,75}|1)$. (Da die Fläche quadratisch ist, muss die y-Koordinate von $G$ gleich der x-Koordinate von $F$ sein.)

$\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OF}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{1,75}\\ \mathrm{1,75}\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\mathrm{1,75}\\ \mathrm{0,25}\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{1,5}\\ 0\end{array}\right)$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{FG}\right|=\mathrm{1,5}$

Die Höhe entspricht $h=1$, da alle Punkte der Grundfläche die z-Koordinate $z=1$ haben.

$\Rightarrow V_{EFGHT}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\mathrm{1,5}}^2\cdot 1={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Das Volumen der Pyramide $EFGHT$ beträgt ${\displaystyle \frac{3}{4}}$.