Die Koordinaten des Punktes $T$

$\overrightarrow{OT}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$

Die Koordinaten des Punktes sind $T(1|1|0)$.

Der Inhalt der Oberfläche der Pyramide $ABCDS$

$O_{ABCDS}=A_G+4\cdot A_{\triangle}=2\cdot 2+4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot h=4+4\cdot h$

Berechnung der Höhe der Seitenfläche $h$

Die Mitte der Seite $\overline{BC}$ ist:$\overrightarrow{OU}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$

Dann ist der Vektor $\overrightarrow{US}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OU}=\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\4\end{pmatrix}$.

Die Höhe der Seitenfläche ist:

$h=\left|\overrightarrow{US}\right|=\left|\begin{pmatrix}-1\\0\\4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1)^2+0^2+4^2}=\sqrt{17}$

Damit ergibt sich der Inhalt der Pyramidenoberfläche zu:

$O_{ABCDS}=4+4\cdot h=4+4\cdot \sqrt{17}$

Die Größe des Winkels zwischen den Kanten $\overline{A S}$ und $\overline{A B}$

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{AS}$ und $\overrightarrow{AB}$:

$\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}$

Für den Winkel gilt dann:

$\cos\alpha=\dfrac{\overrightarrow{AS}\circ \overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AS}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|}$

$\alpha=\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{18}}\right)\approx76{,}4^\circ$

Die Größe des Winkels zwischen den Kanten $\overline{A S}$ und $\overline{A B}$ beträgt rund $76{,}4^\circ$.

Gibt es einen Punkt $P$ auf der Kante $\overline{D S}$, für den das Dreieck $B M P$ im Punkt $M$ rechtwinklig ist?

$M$ ist der Mittelpunkt der Kante $\overline{C D}$:

$\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$

Also ist $M(1|2|0)$.

Erstelle eine Geradengleichung durch die Punkte $D$ und $S$.

$\overrightarrow{DS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$

$g:\;\vec x=\overrightarrow{OD}+r\cdot \overrightarrow{D S}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$

Ein möglicher Punkt $P\in\overline{C S}$ hat die Form $(r|2 − r|4r)$ mit $0\leq r\leq 1$.

Das Dreieck soll im Punkt $M$ rechtwinklig sein $\;\Rightarrow\;\overrightarrow{MB}\circ\overrightarrow{MP}=0$.

$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}r\\2-r\\4r\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r-1\\-r\\4r\end{pmatrix}$

Man hat eine Lösung für $r$ gefunden, d.h. es gibt einen solchen Punkt.

Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den Ansatz der gegebenen Lösung

Aufgabenstellung: Bestimmen Sie die x- und y-Koordinaten des Punktes $F$.

Ansatz der gegebenen Lösung:

Auf der linken Seite der Gleichung steht die Geradengleichung durch die Punkte $D$ und $S$. Die rechte Seite der Gleichung ist ein Vektor zu einem Punkt auf der Geraden, der die z-Koordinate $1$ hat. Berechnet werden mit diesem Ansatz die Koordinaten des Punktes $F$.

Das Volumen der Pyramide $EFGHT$

$V_{EFGHT}=\dfrac{1}{3}\cdot \left|\overrightarrow{FG}\right|^2\cdot h$

Mit dem Ergebnis aus Aufgabe d) erhält man die Koordinaten von $F(1{,}75|0{,}25|1)$ und $G(1{,}75|1{,}75|1)$. (Da die Fläche quadratisch ist, muss die y-Koordinate von $G$ gleich der x-Koordinate von $F$ sein.)

$\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}1{,}75\\1{,}75\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1{,}75\\0{,}25\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1{,}5\\0\end{pmatrix}$

$\Rightarrow\left|\overrightarrow{FG}\right|=1{,}5$

Die Höhe entspricht $h=1$, da alle Punkte der Grundfläche die z-Koordinate $z=1$ haben.

$\;\Rightarrow\;V_{EFGHT}=\dfrac{1}{3}\cdot 1{,}5^2\cdot1=\dfrac{3}{4}$

Das Volumen der Pyramide $EFGHT$ beträgt $\dfrac{3}{4}$.