Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler bei zehn Versuchen mehr als sechs Sterne gewinnt

Es ist $X$ die Anzahl der gewonnenen Sterne.

$X$ ist binomialverteilt mit $n = 10$ und $p = 0{,}4$.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P(X > 6)$:

$P(X > 6)=P(X\geq 7)=\text{binomcdf(10{,}0.4{,}7,10)}\approx0{,}0548$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler bei zehn Versuchen mehr als sechs Sterne gewinnt, beträgt rund $5\;\%$.

Gültigkeit der Aussage

Die Aussage ist falsch.

Die einzelnen Spiele sind stochastisch unabhängig, d.h. die Spiele der vergangenen Sonntage beeinflussen nicht die Wahrscheinlichkeiten der zukünftigen Spiele.

Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der vier Spieler jeweils fünf Sterne gewinnen

Es ist $Y$ die Anzahl der Spieler mit $5$ Sternen

$Y$ ist binomialverteilt mit $n = 4$ und $p = P(X = 5)$.

Dabei ist $P(X=5)=\text{binompdf(10{,}0.4{,}5)}\approx0{,}2007$.

Gesucht ist nun $P(Y=2)=\text{binompdf(4{,}0.2007{,}2)}\approx0{,}1544$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der vier Spieler jeweils fünf Sterne gewinnen, beträgt rund $15\;\%$.

Die geänderte Wahrscheinlichkeit, bei einem Versuch einen Stern zu gewinnen

Es ist bekannt, dass $P(X\leq 3)\approx0{,}62$ ist. Dabei ist $n=10$ und $p$ ist unbekannt.

$P(X\leq 3)=\text{binomcdf(10,p,0{,}3)}\approx0{,}62$

Erstelle eine Tabelle mit verschiedenen p-Werten:

Für $p=0{,}31$ ist $P(X\leq 3)=\text{binomcdf(10{,}0.31{,}0,3)}\approx0{,}623$.

Die geänderte Wahrscheinlichkeit, bei einem Versuch einen Stern zu gewinnen, beträgt etwa $0{,}31$ bzw. $31\;\%$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Spieler von Tag zu Tag weniger Bonuspunkte erhält

Angenommen, der Spieler erhält am ersten Tag $50$ Bonuspunkte mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}1$. Am nächsten Tag soll er weniger Bonuspunkte erhalten, also nun $20$, mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}4$. Einen Tag weiter erhält er dann $10$ Bonuspunkte mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}5$.

Insgesamt beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit also $0{,}1 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 2\;\%$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Spieler dabei insgesamt $80$ Bonuspunkte erhält

Der Spieler startet das Spiel an vier Tagen. An jedem Tag erhält der Spieler eine bestimmte Anzahl von Bonuspunkten. Die Summe aus den vier Tagen muss also $80$ sein.

Es gibt zwei mögliche Kombinationen $80$ Punkte zu erhalten:

$\mathrm{(I)}\;\;$$20+20+20+20=80$ oder $\mathrm{(II)}\;$ $10+10+10+50=80$

Die Wahrscheinlichkeit für die Kombination $\mathrm{(I)}$ ist $0{,}4^4$.

Die Wahrscheinlichkeit für die Kombination $\mathrm{(II)}$ ist $4\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^3\cdot 0{,}1$.

Die gesamte Wahrscheinlichkeit ist dann:

$0{,}4^4+4\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^3\cdot 0{,}1=0{,}0756$

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Spieler dabei insgesamt $80$ Bonuspunkte erhält, beträgt rund $8\;\%$.

Ermitteln Sie die beiden geänderten Wahrscheinlichkeiten

Die Spieler erhalten im Zeitraum von $200$ Tagen, an denen das Spiel gestartet wird, im Mittel $3000$ Bonuspunkte.

Pro Tag erhalten sie also im Mittel $\dfrac{3000}{200}=15$ Bonuspunkte.

Es ist x die Wahrscheinlichkeit für $10$ Bonuspunkte. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für $20$ Bonuspunkte $1-0{,}1-x=0{,}9-x$.

Siehe Tabelle:

Berechne den Erwartungswert mit der Tabelle und löse mit dem TR:

$10\cdot x+20\cdot (0{,}9-x)+50\cdot 0{,}1 =15$

Also ist $x=0{,}8$ und die Wahrscheinlichkeit für $10$ Bonuspunkte ist $80\;\%$.

Die Wahrscheinlichkeit für $20$ Bonuspunkte ist $10\;\%$.