Aufgabe 1C
Gegeben ist die auf definierte Funktion mit . Der Querschnitt eines Deichs wird durch die von dem Graphen der Funktion und der -Achse eingeschlossenen Fläche modelliert. Dabei werden und in Metern angegeben.
Die Abbildung zeigt den Graphen von . Markieren Sie in der Abbildung auf der -Achse das Intervall, in dem der Deich mindestens hoch ist.
Ein moderner Deich ist etwa fünfmal so breit wie er hoch ist.
Entscheiden Sie, ob dieser Deich diese Regel erfüllt, und begründen Sie Ihre Entscheidung nur mithilfe der Abbildung. (5BE)
Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung des Deichs im Intervall .
Bestimmen Sie die größte Steigung des Deichs im Intervall
Berechnen Sie den Neigungswinkel des Deichs an der Stelle . (9BE)
In den Deich eindringendes Wasser teilt den Querschnitt des Deiches in einen unteren feuchten und einen oberen trockenen Bereich. Die Trennlinie zwischen dem trockenen und feuchten Bereich nennt man Sickerlinie. Bei einem bestimmten Wasserstand wird die Sickerlinie innerhalb des Deichs durch die auf definierte Funktion mit beschrieben. und werden in Metern angegeben.
Berechnen Sie die Höhe, in der die Sickerlinie auf der Wasserseite des Deichs beginnt.
Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Sickerlinie stets oberhalb des Bodens verläuft.
Berechnen Sie den prozentualen Anteil des feuchten Bereichs im Querschnitt des
Deichs. (10BE)
Die Sickerlinie verändert sich mit dem Wasserstand. Sie wird beschrieben durch die auf definierte Funktion mit und in Metern .
Bestimmen Sie einen Näherungswert für , sodass den Beginn der Sickerlinie in der Höhe von auf der Wasserseite beschreibt. (4BE)
Der Bereich der Deichkrone soll abgeplattet werden. Dazu wird Material abgetragen. Der Querschnitt des Deichs wird dabei so verändert, dass der obere Rand im Bereich der Deichkrone parallel zur Horizontalen verläuft.
Berechnen Sie die Breite des abgeplatteten Bereichs, wenn der Deich genau hoch sein soll.
Berechnen Sie die Höhe des Deichs, wenn der abgeplattete Bereich breit ist. (7BE)