Die Vierfeldertafel vollständig ausgefüllt

Aus der Aufgabenstellung

• Aus dem Aufgabentext entnimmt man $P(E)=47{,}5\;\%$.

• Dann ist $P(\overline{E})=1-P(E)=52{,}5\;\%$.

• Weiterhin ist $P(B)=43{,}4\;\%$ und

• $P(\overline{B})=1-P(B)=56{,}6\;\%$.

• $34{,}7\; \%$ interessieren sich nicht für den Kauf eines Elektroautos und kaufen nicht in Bioläden ein$\;\Rightarrow\;P(\overline{E}\cap \overline{B})=34{,}7\;\%$

Berechnen in der Vierfeldertafel

• Dann ergibt sich $P(\overline{E}\cap {B})=P(E)-P(\overline{E}\cap \overline{B})=52{,}5\;\%-34{,}7\;\%=17{,}8\;\%$

• Es folgt dann $P({E}\cap \overline{B})=P(\overline{B})-P(\overline{E}\cap \overline{B})=56{,}6\;\%-34{,}7\;\%=21{,}9\;\%$.

• Der letzte Wert ist dann:$P({E}\cap {B})=P(E)-P({E}\cap \overline{B})=47{,}5\;\%-21{,}9\;\%=25{,}6\;\%$

Aussage bewerten

In der betrachteten Gruppe interessieren sich unter denjenigen, die in Bioläden einkaufen, mehr als die Hälfte für den Kauf eines Elektroautos

Die Aussage ist richtig, da $P({E}\cap {B})=25{,}6\;\%>P(\overline{E}\cap {B})=17{,}8\;\%$.

Wahrscheinlichkeit berechnen

Es ist $X$ die Anzahl von Personen mit Pkw-Fahrerlaubnis, die nicht am Kauf eines Elektroautos interessiert sind. $X$ ist binomialverteilt mit $n=30$ und $p=0{,}525$.

Zwei Drittel der ausgewählten Personen sind$\;\dfrac{2}{3}\cdot30=20$.

Gesucht ist also:$P(X\geq 20)=1-P(X\leq 19)=1-\text{binomCdf}(30{,}0.525{,}0,19)\approx0{,}0842$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei Drittel der ausgewählten Personen am Kauf eines Elektroautos nicht interessiert sind, beträgt rund $8{,}4\;\%$.

Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Elektroauto des Herstellers keines der beiden Merkmale aufweist

Es ist $P({A}\cap {B})+P({A}\cap \overline{B})+ P(\overline{A}\cap {B})=0{,}3$. (Auto weist eines der Merkmale auf)

$\Rightarrow\;P(\overline{A}\cap \overline{B})=1-\left(P({A}\cap {B})+P({A}\cap \overline{B})+ P(\overline{A}\cap {B})\right)=1-0{,}3=0{,}7$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Elektroauto des Herstellers keines der beiden Merkmale aufweist, beträgt $70\;\%$.

Ermitteln Sie den im Baumdiagramm genannten Anteil $x$

Es ist $P(\overline{A})=1-P(A)=1-0{,}1=0{,}9$ und $P_{\overline{A}}(B)=x\;\Rightarrow\;P_{\overline{A}}(\overline{B})=1-x$

Weiterhin ist $P(\overline{A}\cap \overline{B})=0{,}7=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(\overline{B})=0{,}9\cdot (1-x)$.

Der im Baumdiagramm genannte Anteil ist $x=\dfrac{2}{9}$.

Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Elektroauto des Herstellers das Merkmal $B$ aufweist

Da die Merkmale $A$ und $B$ unabhängig voneinander auftreten (siehe Aufgabentext), gilt: $P(B)=P_{\overline{A}}(B)=\dfrac{2}{9}$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Elektroauto des Herstellers das Merkmal $B$ aufweist, beträgt $\dfrac{2}{9}$.

Zufallsexperiment

Aus $10$ Elektroautos des Herstellers wird zufällig ausgewählt:

Ereignis

Es gilt: $P(X\geq 2)=1-P(X\leq 1)=1-\left(P(X=1)+P(X=0)\right)$

$P(X\geq 2)=1-\left(\begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix}\cdot0{,}3^1\cdot (1-0{,}3)^{10-1}+\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}\cdot0{,}3^0\cdot (1-0{,}3)^{n-0}\right)$

Mit $\begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix}=10$, $\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}=1$ und $0{,}3^0=1$ folgt dann:

$P(X\geq 2)=1-10\cdot0{,}3^1\cdot 0{,}7^{9}-1\cdot 1\cdot 0{,}7^{10}$

Die rechte Seite entspricht dem gegebenen Term.

Ereignis: „Unter den zufällig ausgewählten Elektroautos weisen mindestens zwei

eines der beiden Merkmale $A$ und $B$ auf.“

Ermitteln Sie, wie viele Autos mit dem Merkmal $A$ sich unter diesen zehn Autos mindestens befinden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90\; \%$ von den ersten drei betrachteten Autos mindestens eines das Merkmal $A$ aufweist

Gegeben sind $10$ Autos, davon haben $k$ Autos das Merkmal $A$ und $10-k$ Autos haben das Merkmal $A$ nicht. Betrachtet werden die ersten drei Autos.

Es ist also gesucht:

$P(\text{"mind. 1 Auto mit Merkmal A"})= 1- P(\text{"kein Auto mit Merkmal A"})\geq 0{,}9$

Für die ersten drei Autos gilt dann:

$P(\text{"kein Auto mit Merkmal A"})=\dfrac{10-k}{10}\cdot \dfrac{9-k}{9}\cdot \dfrac{8-k}{8}$

Dann muss folgende Ungleichung gelöst werden:

$P(\text{"mind. 1 Auto mit Merkmal A"})= 1- \left(\dfrac{10-k}{10}\cdot \dfrac{9-k}{9}\cdot \dfrac{8-k}{8}\right)\geq 0{,}9$

Bei $k$ handelt es sich um eine Anzahl, d.h. $k$ ist ganzzahlig. Also ist $k\geq 5$.

Es müssen sich mindestens $5$ Autos mit dem Merkmal $A$ unter diesen zehn Autos befinden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90\; \%$ von den ersten drei betrachteten Autos mindestens eines das Merkmal $A$ aufweist.

Anmerkung: Wenn $k$ die Werte $8, 9$ oder $10$ annimmt, dann ist das eine triviale Lösung, d.h. $p=100\;\%$.