Teil 1 Stochastik

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Die Aufgaben zum Ausdrucken als PDF findest du hier.

Die Aufgaben in diesem Ordner sollen ohne Hilfsmittel wie Taschenrechner oder Formelsammlung bearbeitet werden.

Bei einem Glücksradspiel beträgt der Einsatz 2€, maximal werden 5€ ausbezahlt. Die Zufallsgröße X gibt den Nettogewinn bei diesem Spiel (in Euro) an.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X kann mithilfe der Parameter $a,b\in\R$ wie folgt dargestellt werden:

x	-2	-1	0,5	1,5	3
$P(X=x)$	0,20	a	0,20	b	0,10

Erläutern Sie, was der Ausdruck "faires Spiel" im Zusammenhang mit Glücksspielen bedeutet und nennen Sie eine Bedingung, die von der hier dargestellten Zufallsgröße X erfüllt werden muss, damit das beschriebene Glücksspiel fair ist. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Ein Glücksspiel ist fair, wenn weder die Personen, die das Glücksspiel betreiben, noch die Personen, die das Spiel spielen, auf lange Sicht etwas verlieren.
Das ist der Fall, wenn der Erwartungswert den Wert 0 hat.
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Berechnen Sie die Werte der Parameter a und b so, dass es sich bei diesem Glücksradspiel um ein faires Spiel handelt. (4 BE)

2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Ein Gaststättenverband hat unter 1500 Touristen in der Fränkischen Schweiz eine Befragung durchgeführt, um zu erfahren, ob die Touristen die heimischen Biergärten besuchen (B). Dabei wurde zwischen Personen, die eine Tagestour bei einem Veranstalter gebucht haben (V), und Individualtouristen ( $\overline{V})$ unterschieden. Tausend der Befragten gaben an, keine Tagestour bei einem Veranstalter gebucht zu haben. Von den Touristen, die sich für eine Tagestour entschieden hatten, besuchten 80% einen Biergarten. Nur 300 aller Befragten gaben an, keinen Biergarten besucht zu haben.
Anmerkung: Relative Häufigkeiten werden als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
1. Bestimmen Sie mithilfe einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel den Anteil der Touristen, die entweder eine Tagestour bei einem Veranstalter gebucht haben oder einen Biergarten in der Fränkischen Schweiz besucht haben. (4 BE)
  
  Du untersuchst die Merkmale "besucht Biergarten" (B) und "bucht bei Veranstalter" (V). Deshalb sieht deine Vierfeldertafel so aus:
  ${B}$
  $\overline{B}$
  ${V}$
  $\overline{V}$
  Entnehme dem Text nun möglichst viele Aussagen:
  Es sind 1500 Touristen.
  1000 haben keine Tagestour beim Veranstalter gebucht.
  Von den Buchern der Tagestour haben 80% auch einen Biergarten besucht. Das sind 80% von 500, also 400.
  300 haben keinen Biergarten besucht.
  ${B}$
  $\overline{B}$
  ${V}$
  400
  100
  500
  $\overline{V}$
  800
  200
  1000
  1200
  300
  1500
  Anteil der Touristen, die Biergarten besucht oder Tour gebucht haben
  Aufgrund der Formulierung mit "entweder... oder" werden nur die Leute betrachtet, die das eine oder das andere gemacht haben, aber nicht beides:
  $P(\text{"entweder Biergarten oder Tagestour"})=\frac{800}{1500}+\frac{100}{1500}=\frac{900}{1500}=0{,}6$
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  Überlege, welche Merkmale in der Vierfeldertafel erfasst werden.
  Entnehme dem Text möglichst viele Informationen, gegebenenfalls musst du Werte berechnen.
  Vergiss nicht, den Anteil der Personen auszurechnen, die entweder einen Biergarten besuchen oder eine Tour buchen.
2. Begründen Sie, ob der Gaststättenverband mit der folgenden Behauptung recht hat:
  "Die Biergärten in der Fränkischen Schweiz sind für alle Touristen gleich attraktiv, egal ob zuvor eine Tagestour bei einem Veranstalter gebucht wurde oder nicht." (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
  Die Wahrscheinlichkeit $P_V(B)$ hast du bereits in der Aufgabenstellung: $80%$ % der Touristen, die sich für eine Tagestour entschieden hatten, besuchten auch den Biergarten.
  Bestimme noch $P_{\overline{V}}(B)$ , also die Wahrscheinlichkeit, dass ein Biergarten besucht wurde, wenn bekannt ist, dass keine Tagestour gebucht wurde.
  $P_{\overline{V}}(B)=\frac{P(\overline{V}\cap B)}{P(\overline{V})}$ oder direkt $P_{\overline{V}}(B)=\frac{|\overline{V}\cap B|}{|\overline{V}|}=\frac{800}{1000}=0{,}8$
  Da beide Wahrscheinlichkeiten übereinstimmen, ist die Aussage korrekt.
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  Wenn es unerheblich sein soll, ob eine Tagestour gebucht wurde oder nicht, müssen die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_V(B)$ und $P_{\overline{V}}(B)$ übereinstimmen.

	${B}$	$\overline{B}$
${V}$	400	100	500
$\overline{V}$	800	200	1000
	1200	300	1500

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle -\left(0{,}5-b\right)+1{,}5b$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle -0{,}5+b+1{,}5b$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +0{,}5$
$\displaystyle 2{,}5b$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$	$\displaystyle :2{,}5$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{5}$

Teil 1 Stochastik

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Aufstellen der Gleichungen

Gleichungssystem lösen

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Anteil der Touristen, die Biergarten besucht oder Tour gebucht haben

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