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Teil 1 Analysis

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Die Aufgaben zum Ausdrucken als PDF findest du hier.

Die Aufgaben in diesem Ordner sollen ohne Hilfsmittel wie Taschenrechner oder Formelsammlung bearbeitet werden.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion g:x(x+2)(x2)x(x2)g: x\rightarrow \dfrac{(x+2)(x-2)}{-x(x-2)} mit ihrer maximalen Definitionsmenge DgRD_g\subseteq\mathbb{R}. Ihr Graph wird mit GgG_g bezeichnet. Geben Sie DgD_g sowie die Art der Definitionslücken von gg an und untersuchen Sie gg auf Nullstellen. Geben Sie auch jeweils die Art und die Gleichung aller Asymptoten von GgG_g an.

  2. 2

    In der untenstehenden Abbildung ist ein Ausschnitt des Graphen GfG_f einer gebrochenrationalen Funktion ff mit der Definitionsmenge Df=RD_f =\mathbb{R} dargestellt. GfG_f besitzt den absoluten Hochpunkt H(0,8f(0,8))H(0{,}8|f(0{,}8)), ist im Intervall [0,8;+[[0{,}8;+\infty [ streng monoton fallend und besitzt die x-Achse als waagrechte Asymptote. Für die Funktion hh gilt: h(x)=ln(f(x))h(x)=\ln(f(x)). Die maximale Definitionsmenge der Funktion hh ist Dh=]2;+[D_h=]-2;+\infty[ .

    Bild
    1. Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von hh an den Rändern von DhD_h an.

    2. Geben Sie mithilfe der Abbildung die Nullstellen der Funktion hh an. Die abzulesenden Werte sind ganzzahlig.

    3. Begründen Sie, dass der Graph der Funktion hh genau einen Extrempunkt hat und geben Sie die Art sowie die x-Koordinate dieses Extrempunktes an.

  3. 3

    Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals

    12(1x22x+5)dx\int_{1}^{2} (\frac{1}{x^2}-2x+5) \mathrm{d}x

  4. 4

    Gegeben ist die Funktion k:xx+1ex1k: x\rightarrow \dfrac{x+1}{e^x-1} mit ihrer maximalen Definitionsmenge Dk=RD_k= \mathbb{R} {0}\setminus \{0\}. Entscheiden Sie begründet, welche der folgenden Aussagen jeweils wahr oder falsch sind.

    1. Der Graph der Funktion kk hat eine senkrechte Asymptote.

    2. xx\rightarrow \infty k(x)1\Rightarrow k(x)\rightarrow -1


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