Teil 1 Analysis

Gegeben ist die Funktion $g: x\rightarrow \dfrac{(x+2)(x-2)}{-x(x-2)}$ mit ihrer maximalen Definitionsmenge $D_g\subseteq\mathbb{R}$. Ihr Graph wird mit $G_g$ bezeichnet. Geben Sie $D_g$ sowie die Art der Definitionslücken von $g$ an und untersuchen Sie $g$ auf Nullstellen. Geben Sie auch jeweils die Art und die Gleichung aller Asymptoten von $G_g$ an.

In der untenstehenden Abbildung ist ein Ausschnitt des Graphen $G_f$ einer gebrochenrationalen Funktion $f$ mit der Definitionsmenge $D_f =\mathbb{R}$ dargestellt. $G_f$ besitzt den absoluten Hochpunkt $H(0{,}8|f(0{,}8))$, ist im Intervall $[0{,}8;+\infty [$ streng monoton fallend und besitzt die x-Achse als waagrechte Asymptote. Für die Funktion $h$ gilt: $h(x)=\ln(f(x))$. Die maximale Definitionsmenge der Funktion $h$ ist $D_h=]-2;+\infty[$.

Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals

$\int_{1}^{2} (\frac{1}{x^2}-2x+5) \mathrm{d}x$

Gegeben ist die Funktion $k: x\rightarrow \dfrac{x+1}{e^x-1}$ mit ihrer maximalen Definitionsmenge $D_k= \mathbb{R}$ $\setminus \{0\}$. Entscheiden Sie begründet, welche der folgenden Aussagen jeweils wahr oder falsch sind.