Teil 2, Stochastik I - lernen mit Serlo!

In einer bestimmten Region Deutschlands sind vier verschiedene Arten von DSL Internetanschlüssen verfügbar, wobei pro Haushalt nur genau eine der vier möglichen Anschlussarten gewählt werden kann. Die Tabelle veranschaulicht die Verteilung der verschiedenen Anschlüsse unter denjenigen Haushalten mit DSL-Anschluss:

Haushalte mit DSL 2000	Haushalte mit DSL 6000	Haushalte mit DSL 1600	Haushalte mit DSL 50000
17,3%	17,9%	19,8%	15%

Im Auftrag eines Internetdienstanbieters soll eine Umfrage zur Internetnutzung durchgeführt werden. Zu diesem Zweck werden 25 Haushalte der Region zufällig ausgewählt.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

$\mathrm{E}_{4}$ : „Genau drei der ausgewählten Haushalte besitzen einen DSL 2000-Anschluss.“

$E_{5}$ : „Mindestens sechs, aber weniger als zehn der ausgewählten Haushalte besitzen einen DSL 50000-Anschluss.“

$E_{6}$ : „Weniger als die Hälfte der ausgewählten Haushalte verfügen über einen DSLInternetanschluss.“

(6 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

Bei allen Ereignissen werden 25 Kunden befragt und somit ist $n=25$ die Länge der Bernoulli-Kette

Wahrscheinlichkeit von $E_4$

Wahrscheinlichkeit für DSL 2000: $p=0{,}173$

Anzahl der Treffer: genau 3

Verwende die Bernoulli-Formel:

$P(E_4)=B(25;0{,}173;3)=\binom{25}3\cdot(0{,}173)^3\cdot(1-0{,}173)^{25-3}\approx0{,}18238$

Wahrscheinlichkeit von $E_5$

Wahrscheinlichkeit für DSL 5000: $p=0{,}15$

(Diese Wahrscheinlichkeit gibt es im Tafelwerk!)

Anzahl der Treffer: mindestens 6 aber weniger als 10

Es handelt sich also um eine kumulierte Wahrscheinlichkeit:

Im Tafelwerk und auch in den meisten Rechnern können nur Wahrscheinlichkeiten der Form "höchstens k Treffer" nachgeschaut werden.

	$\displaystyle P\left(6\le k<10\right)$
	↓ Ersetze "weniger als 10" durch "höchstens 9"
$=$	$\displaystyle P\left(6\le k\le9\right)$
	↓ Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann als Differenz ausgedrückt werden. Da $k=6$ aber in der kumulierten Wahrscheinlichkeit enthalten ist, muss alles bis zur 5 abgezogen werden
$=$	$\displaystyle P\left(k\le9\right)-P\left(k\le5\right)$
$=$	$\displaystyle F\left(25;0{,}15;9\right)-F\left(25;0{,}15;5\right)$
$≈$	$\displaystyle 0{,}15938$

Wahrscheinlichkeit von $E_6$

Wahrscheinlichkeit für DSL: $p=0{,}173+0{,}179+0{,}198+0{,}15=0{,}7$

(Diese Wahrscheinlichkeit steht im Tafelwerk)

Anzahl der Treffer: weniger als die Hälfte von 25, also $k<12{,}5$

Das ist gleichbedeutend mit höchstens 12 Treffer, also $k\leq12$

Das ist erneut eine kumulierte Wahrscheinlichkeit, die du direkt nachschauen kannst:

$F(25;0{,}7;12)\approx0{,}01747$

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Wahrscheinlichkeit von E4E_4E4​

Wahrscheinlichkeit von E5E_5E5​

Wahrscheinlichkeit von E6E_6E6​

Wahrscheinlichkeit von $E_4$

Wahrscheinlichkeit von $E_5$

Wahrscheinlichkeit von $E_6$